Sinus, Cosinus und Tangens · Erklären & üben

arcsin und arccos

arcsin und arccos liefern zu einem zulässigen Sinus- oder Cosinuswert einen festgelegten Hauptwinkel. Dieser eindeutige Funktionswert ist von der vollständigen Lösungsmenge einer periodischen Gleichung zu unterscheiden.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Durch Einschränkung eindeutig umkehren

Sinus und Cosinus nehmen auf der ganzen reellen Achse jeden zulässigen Wert mehrfach an. Für die Umkehrung wird Sinus auf [−π/2,π/2] und Cosinus auf [0,π] eingeschränkt. arcsin und arccos sind deshalb beide nur für Eingaben zwischen −1 und 1 reell definiert. arcsin liefert Werte zwischen −π/2 und π/2, arccos zwischen 0 und π. Auf dem Taschenrechner kann die Schreibweise sin⁻¹ für arcsin stehen; sie meint dann nicht den Kehrwert 1/sin. Im DEG-Modus werden Winkel in Grad, im RAD-Modus im Bogenmaß ausgegeben.

Kläre zuerst Winkelmaß, Definitionsbereich und gesuchte Größe.
Nutze exakte Werte oder begründe die Rundung und kontrolliere die Lage am Graphen.

$\mathsf{\arcsin:[-1,1]\to[-\pi/2,\pi/2],\qquad\arccos:[-1,1]\to[0,\pi]}$

Arcussinus mit explizitem reellem Eingabe- und Hauptwertbereich.

Arcuscosinus als fallende Hauptwertfunktion auf demselben Eingabebereich.

So geht es am Beispiel

Bestimme arcsin(1/2) und arccos(−1/2) im Bogenmaß.

\mathsf{\arcsin(1/2)=\pi/6}

\mathsf{\arccos(-1/2)=2\pi/3}

Im Gradmaß wären die Hauptwerte 30° und 120°.

Erklärung 02

Weitere Winkel ergänzen

Ein Hauptwert löst die Gleichung, ist aber nicht unbedingt ihre einzige Lösung. Ist α = arcsin(u), erhält man für sin(x) = u die Familien α + 2kπ und π−α + 2kπ. Ist β = arccos(u), erhält man für cos(x) = u die Familie ±β + 2kπ. k ist ganzzahlig. Auf einem vorgegebenen Intervall werden nur passende Winkel behalten; an Randwerten können die Familien gleiche Lösungen beschreiben und dürfen nicht doppelt gezählt werden.

Kläre zuerst Winkelmaß, Definitionsbereich und gesuchte Größe.
Nutze exakte Werte oder begründe die Rundung und kontrolliere die Lage am Graphen.

$\mathsf{\sin x=u:\ x=\alpha+2k\pi\textsf{ oder }\pi-\alpha+2k\pi}$

So geht es am Beispiel

Löse sin(x) = 1/2 im Intervall [0,2π).

\mathsf{\alpha=\arcsin(1/2)=\pi/6}

\mathsf{x_1=\pi/6,\qquad x_2=\pi-\pi/6=5\pi/6}

Erklärung 03

Was sich wirklich aufhebt

Für zulässige Eingaben hebt sin(arcsin(u)) die Umkehrung auf. Umgekehrt gilt arcsin(sin(x)) = x nur, wenn x im gewählten Hauptwertintervall liegt. arcsin ist streng steigend und ungerade, arccos streng fallend. Es gelten arcsin(−u) = −arcsin(u) und arccos(−u) = π−arccos(u) für u zwischen −1 und 1. Außerdem ergänzen sich arcsin(u) und arccos(u) zu π/2. Arcustangens ist eine weitere Umkehrfunktion, bleibt hier jedoch ein Anschluss; Reihenentwicklungen werden in diesem Schulmodul nicht behandelt.

Kläre zuerst Winkelmaß, Definitionsbereich und gesuchte Größe.
Nutze exakte Werte oder begründe die Rundung und kontrolliere die Lage am Graphen.

$\mathsf{\arcsin u+\arccos u=\pi/2}$

So geht es am Beispiel

Berechne arcsin(sin(5π/6)).

\mathsf{\sin(5\pi/6)=1/2}

\mathsf{\arcsin(1/2)=\pi/6}

5π/6 liegt außerhalb des arcsin-Hauptwertintervalls; deshalb kommt nicht der ursprüngliche Winkel zurück.

Erklärung 04

Optionale Analysis im Inneren des Definitionsbereichs

Für −1 < u < 1 sind die Hauptwertfunktionen differenzierbar. Die Ableitungsformeln gelten für Ausgaben im Bogenmaß. An den Randpunkten ±1 sind die Funktionen zwar definiert, die angegebenen endlichen Ableitungen aber nicht. Die Stammfunktionen lassen sich durch Produkt- und Kettenregel überprüfen. Sie sind ein optionaler Anschluss und werden nicht für das Lösen der Winkelgleichungen benötigt.

Kläre zuerst Winkelmaß, Definitionsbereich und gesuchte Größe.
Nutze exakte Werte oder begründe die Rundung und kontrolliere die Lage am Graphen.

$\mathsf{(\arcsin u)^{\prime}=\frac1{\sqrt{1-u^2}},\qquad(\arccos u)^{\prime}=-\frac1{\sqrt{1-u^2}}}$

So geht es am Beispiel

Nenne Stammfunktionen der beiden Hauptwertfunktionen im Inneren von [−1,1].

\mathsf{\int\arcsin u\,du=u\arcsin u+\sqrt{1-u^2}+C}

\mathsf{\int\arccos u\,du=u\arccos u-\sqrt{1-u^2}+C}

Beim Ableiten heben sich die zusätzlichen Bruchterme jeweils auf; übrig bleibt die entsprechende Umkehrfunktion.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1arcsin und arccos · EinstiegBestimme arcsin(1/2) im Bogenmaß.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Hauptwert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der Hauptwert liegt zwischen −π/2 und π/2.
  $\mathsf{\arcsin(1/2)=\pi/6}$
Ergebnis
1. Hauptwert $\mathsf{\pi/6}$
02
Aufgabe 2arcsin und arccos · EinstiegBestimme arccos(−1/2) im Bogenmaß.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Hauptwert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Im Bereich [0,π] nimmt Cosinus den Wert −1/2 bei 2π/3 an.
Ergebnis
1. Hauptwert $\mathsf{2\pi/3}$
03
Aufgabe 3arcsin und arccos · StandardIst arcsin(1,2) als reelle Zahl definiert? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  1,2 liegt außerhalb des Definitionsbereichs [−1,1]. Kein reeller Winkel hat Sinuswert 1,2.
Ergebnis
1. BegründungNicht reell definiert, weil 1,2 > 1.
04
Aufgabe 4arcsin und arccos · StandardLöse sin(x) = 1/2 im Intervall [0,2π).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erste Lösung
Zweite Lösung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=\pi/6\textsf{ oder }5\pi/6}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erste Lösung $\mathsf{\pi/6}$
2. Zweite Lösung $\mathsf{5\pi/6}$
05
Aufgabe 5arcsin und arccos · TransferLöse cos(x) = −1/2 im Intervall [0,2π).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erste Lösung
Zweite Lösung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\beta=2\pi/3,\quad2\pi-\beta=4\pi/3}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erste Lösung $\mathsf{2\pi/3}$
2. Zweite Lösung $\mathsf{4\pi/3}$
06
Aufgabe 6arcsin und arccos · TransferSkizziere arcsin(u) in die vorbereiteten Achsen. Nutze (−1|−π/2), (0|0), (1|π/2), die steigende Form und die Punktsymmetrie zum Ursprung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Hauptwertgraph
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Hauptwertgraph
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Verbinde die drei Leitpunkte glatt und monoton steigend. In der Nähe der Randpunkte wird die Kurve steiler; außerhalb [−1,1] wird nichts gezeichnet.
Ergebnis
1. HauptwertgraphSteigender arcsin-Graph auf [−1,1] durch die drei Leitpunkte.
07
Aufgabe 7arcsin und arccos · TransferBerechne arcsin(sin(5π/6)). Warum entsteht nicht 5π/6?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\sin(5\pi/6)=1/2,\quad\arcsin(1/2)=\pi/6}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  arcsin liefert den Winkel im eingeschränkten Hauptwertbereich.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Ergebnis $\mathsf{\pi/6}$
2. Begründung5π/6 liegt außerhalb des arcsin-Hauptwertbereichs.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich lese Titel, Achsen, Einheiten und Legende.
Ich zeichne proportional zur angegebenen Skala.
Ich begründe Aussagen mit den dargestellten Daten.

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