Brüche: Grundlagen · Erklären & üben

Brüche

Ein Bruch kann einen Anteil beschreiben oder eine Division ausdrücken. Zum Deuten brauchst du ein klares Ganzes und gleich große Teile.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Ein Ganzes in gleich große Teile teilen

Ein Streifen wird in acht gleich große Teile geteilt. Drei markierte Teile sind drei Achtel. In $\mathsf{\frac{3}{8}}$ steht der Zähler 3 oben und der Nenner 8 unten. Der Nenner beschreibt die Teilung eines Ganzen, der Zähler die gezählten Teile.

Ein gemeiner Bruch ist die Schreibweise $\mathsf{\frac{a}{b}}$ mit ganzzahligem Zähler und ganzzahligem Nenner ungleich null. Der Bruchstrich bedeutet zugleich Division. Die Schreibweise mit Bruchstrich unterscheidet sich von einer Dezimalschreibweise wie 0,75.

Lege fest, was ein Ganzes ist.
Teile dieses Ganze in gleich große Teile.
Zähle die ausgewählten Teile.

$\mathsf{\frac{a}{b}=a:b\quad(b\ne0)}$

1 gleich große Ganze, jedes in 8 gleich große Rechtecke geteilt. 3 Teile markiert.

So geht es am Beispiel

Ein Streifen besteht aus acht gleich großen Feldern. Drei Felder sind markiert. Welcher Anteil ist das?

Die Teilungszahl ist 8; sie steht im Nenner.

Die Anzahl der markierten Teile ist 3; sie steht im Zähler.

Der markierte Anteil ist $\mathsf{\frac{3}{8}}$

So geht es am Beispiel

Drei gleich große Brote werden gerecht auf vier Personen verteilt. Wie viel Brot erhält jede Person?

Jedes Brot wird in vier gleich große Stücke geteilt.

Jede Person erhält von jedem Brot ein Viertel, also insgesamt drei Viertel.

Die Verteilung entspricht $\mathsf{3:4=\frac{3}{4}}$

Erklärung 02

Brucharten können sich überschneiden

Wir schreiben den Nenner zunächst positiv. Für einen nichtnegativen Zähler gilt: Ist der Zähler kleiner als der Nenner, heißt der Bruch echt. Ist er mindestens so groß, heißt er unecht. Für negative Zähler verwenden wir dieselbe Unterscheidung mit dem Betrag des Zählers.

Ein Scheinbruch hat einen ganzzahligen Wert. Er kann zugleich unecht sein: Zwölf Viertel sind drei Ganze. Nach der hier verwendeten Betragskonvention zählt null als echter Bruch; ein Bruch mit Zähler null ist auch ein Scheinbruch. Die Kategorien sind daher keine getrennten Schubladen.

Eine gemischte Zahl schreibt einen positiven unechten Bruch als ganze Zahl und echten Restbruch. Weitere Bezeichnungen beschreiben andere Eigenschaften: Ein Stammbruch hat Zähler 1 und positiven Nenner. Ein Dezimalbruch hat einen Nenner wie 10, 100 oder 1000. Ein Bruch kann mehrere dieser Eigenschaften besitzen.

Sorge für einen positiven Nenner.
Vergleiche den Betrag des Zählers mit dem Nenner.
Prüfe zusätzlich, ob der Bruch einen ganzzahligen Wert hat.

Echt: $\mathsf{|a|<b}$ ; unecht: $\mathsf{|a|\ge b}$ , jeweils bei $\mathsf{b>0}$ .

3 gleich große Ganze, jedes in 4 gleich große Rechtecke geteilt. 11 Teile markiert.

So geht es am Beispiel

Schreibe $\mathsf{\frac{11}{4}}$ als gemischte Zahl. Ordne außerdem $\mathsf{\frac{12}{4}}$ ein.

Elf Viertel enthalten zwei Ganze und drei Viertel, denn $\mathsf{11=2\cdot4+3}$

Daher gilt $\mathsf{\frac{11}{4}=2+\frac{3}{4}}$

Die gemischte Schreibweise ist $\mathsf{2\frac{3}{4}}$

Für zwölf Viertel ergibt die Division $\mathsf{12:4=3}$

Zwölf Viertel sind unecht und zugleich ein Scheinbruch.

So geht es am Beispiel

Ordne $\mathsf{\frac{3}{5}}$ und $\mathsf{\frac{0}{5}}$ nach der angegebenen Konvention ein.

Für drei Fünftel gilt $\mathsf{3<5}$

Drei Fünftel sind echt und kein Scheinbruch.

Für null Fünftel gilt $\mathsf{0<5}$

Außerdem ist $\mathsf{\frac{0}{5}=0}$

Null Fünftel sind nach unserer Konvention echt und zugleich ein Scheinbruch.

Erklärung 03

Brüche auf dem Zahlenstrahl

Zwischen 0 und 1 liegt eine Einheit. Teile jede Einheit in so viele gleiche Abschnitte, wie der positive Nenner angibt. Vom Nullpunkt aus gehst du bei einem positiven Zähler entsprechend viele Schritte nach rechts. Mehr Schritte als Teile einer Einheit führen über 1 hinaus. Für negative Brüche verwendest du die entsprechend verlängerte Zahlengerade links von null.

Bestimme die Strecke von 0 bis 1.
Unterteile jede Einheit gleichmäßig.
Zähle die Teilstrecken vom Nullpunkt aus.

Nicht die Striche zählen, sondern die gleich langen Zwischenräume.

Zahlenstrahl von 0 bis 2; jede Einheit in vier gleich lange Abschnitte geteilt. Markierte Punkte: O, P, Q.

So geht es am Beispiel

Wo liegen $\mathsf{\frac{0}{4}}$ , $\mathsf{\frac{3}{4}}$ und $\mathsf{\frac{5}{4}}$ auf einer Viertelskala?

Null Schritte ergeben $\mathsf{\frac{0}{4}=0}$

Drei Viertelschritte enden einen Schritt vor 1.

Fünf Viertelschritte enden bei $\mathsf{\frac{5}{4}=1+\frac{1}{4}}$

Erklärung 04

Bruchteile von Größen bestimmen

Für einen Bruchteil einer Größe teilst du zunächst durch den Nenner. So erhältst du einen Teil. Danach multiplizierst du mit dem Zähler. Die Einheit bleibt erhalten. Rechne bei Bedarf zuerst in eine kleinere Einheit um.

Ist umgekehrt ein positiver Bruchteil bekannt, kannst du zuerst durch seinen Zähler teilen und dann mit seinem Nenner multiplizieren. Aus dem Teil erhältst du so wieder das Ganze.

Bestimme einen gleich großen Teil.
Berechne die geforderte Anzahl dieser Teile.
Notiere das Ergebnis mit Einheit.

Ein Teil: Ganzes durch Nenner. Mehrere Teile: ein Teil mal Zähler.

40 cm werden in fünf gleich lange Abschnitte zu 8 cm geteilt; die ersten drei ergeben 24 cm.

So geht es am Beispiel

Wie lang sind $\mathsf{\frac{3}{5}}$ von 40 cm?

Ein Fünftel in Zentimetern ist $\mathsf{40:5=8}$

Drei Fünftel in Zentimetern sind $\mathsf{8\cdot3=24}$

So geht es am Beispiel

Bestimme $\mathsf{\frac{2}{3}}$ von 1,5 m.

1,5 m entsprechen 150 cm.

Ein Drittel in Zentimetern ist $\mathsf{150:3=50}$

Zwei Drittel in Zentimetern sind $\mathsf{50\cdot2=100}$

100 cm entsprechen 1 m.

So geht es am Beispiel

Drei Viertel einer Länge sind 18 cm. Wie lang ist das Ganze?

Ein Viertel in Zentimetern ist $\mathsf{18:3=6}$

Vier Viertel in Zentimetern sind $\mathsf{6\cdot4=24}$

Erklärung 05

Vorzeichen und nächste Schritte

Ein negatives Vorzeichen im Nenner lässt sich in den Zähler verschieben. Zwei negative Vorzeichen ergeben einen positiven Bruchwert. Ein Nenner null ist nie erlaubt. Zum Einordnen negativer Brüche schreibe den Nenner positiv und vergleiche den Betrag des Zählers mit dem Nenner.

Weiterlernen: Bruchrechnen erklärt das Kürzen, Erweitern und die vier Rechenarten mit Brüchen. Hier stehen die Bedeutung und Darstellung im Mittelpunkt.

Schreibe den Nenner positiv.
Behalte das Vorzeichen des Bruchwerts bei.
Verwende für die Bruchart den Betrag des Zählers.

Ein negatives Vorzeichen ändert nicht die Größe der gleich großen Teilstücke.

So geht es am Beispiel

Ordne $\mathsf{\frac{7}{-4}}$ ein.

Das Minus wird in den Zähler verschoben: $\mathsf{\frac{7}{-4}=\frac{-7}{4}}$

Der Betrag des Zählers ist $\mathsf{|-7|=7}$

Der Vergleich ergibt $\mathsf{7\ge4}$

Der Bruch ist nach der Betragskonvention unecht. Sein Wert ist negativ.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Brüche · BasisLies den markierten Anteil des Achtelstreifens ab. Gib den Bruch sowie seinen Zähler und Nenner an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Markierter Anteil
Zähler
Nenner
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Streifen hat acht gleich große Teile.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Fünf Teile sind markiert.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Der markierte Anteil ist $\mathsf{\frac{5}{8}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Markierter Anteil $\mathsf{\frac{5}{8}}$
2. Zähler5
3. Nenner8
02
Aufgabe 2Brüche · BasisSchreibe die Division 5 durch 6 als Bruch. Erkläre, was der Bruchstrich bedeutet.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bruch
Bedeutung des Bruchstrichs
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Dividend kommt in den Zähler und der Divisor in den Nenner: $\mathsf{5:6=\frac{5}{6}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Bruchstrich steht für die Division durch den Nenner.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Bruch $\mathsf{\frac{5}{6}}$
2. Bedeutung des BruchstrichsEr bedeutet: Zähler durch Nenner teilen.
03
Aufgabe 3Brüche · BasisOrdne $\mathsf{\frac{3}{8}}$ , $\mathsf{\frac{11}{4}}$ und $\mathsf{\frac{12}{4}}$ jeweils als echt oder unecht ein. Entscheide zusätzlich für jeden Bruch, ob er ein Scheinbruch ist.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
3 Achtel: echt oder unecht?
3 Achtel: Scheinbruch?
11 Viertel: echt oder unecht?
11 Viertel: Scheinbruch?
12 Viertel: echt oder unecht?
12 Viertel: Scheinbruch?
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Drei Achtel sind echt, denn $\mathsf{3<8}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Drei Achtel sind keine ganze Zahl und daher kein Scheinbruch.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Elf Viertel sind unecht, denn $\mathsf{11\ge4}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Elf Viertel sind keine ganze Zahl und daher kein Scheinbruch.
5. Schritt 5 · Erklärung
  Zwölf Viertel sind unecht, denn $\mathsf{12\ge4}$
6. Schritt 6 · Erklärung
  Die Division $\mathsf{12:4=3}$ zeigt: Zwölf Viertel sind auch ein Scheinbruch.
Ergebnisse & Teilantworten
1. 3 Achtel: echt oder unecht?Echt.
2. 3 Achtel: Scheinbruch?Nein.
3. 11 Viertel: echt oder unecht?Unecht.
4. 11 Viertel: Scheinbruch?Nein.
5. 12 Viertel: echt oder unecht?Unecht.
6. 12 Viertel: Scheinbruch?Ja.
04
Aufgabe 4Brüche · ÜbungSchreibe $\mathsf{\frac{13}{5}}$ als gemischte Zahl. Schreibe außerdem $\mathsf{3\frac{1}{4}}$ als einen Bruch.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gemischte Zahl
Ein Bruch
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Zwei Ganze benötigen $\mathsf{2\cdot5=10}$ Fünftel
2. Schritt 2 · Erklärung
  Es bleiben $\mathsf{13-10=3}$ Fünftel
3. Schritt 3 · Erklärung
  Damit gilt $\mathsf{\frac{13}{5}=2\frac{3}{5}}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Drei Ganze enthalten $\mathsf{3\cdot4=12}$ Viertel
5. Schritt 5 · Erklärung
  Das weitere Viertel ergibt $\mathsf{12+1=13}$ Viertel
6. Schritt 6 · Erklärung
  Also gilt $\mathsf{3\frac{1}{4}=\frac{13}{4}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Gemischte Zahl $\mathsf{2\frac{3}{5}}$
2. Ein Bruch $\mathsf{\frac{13}{4}}$
05
Aufgabe 5Brüche · ÜbungMarkiere $\mathsf{\frac{7}{4}}$ auf den beiden vorbereiteten Viertelstreifen. Jeder Streifen ist ein Ganzes. Gib die Anzahl voller Ganzer und den Restbruch an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Volle Ganze
Restbruch
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Markiere im ersten Streifen alle vier Viertel.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Markiere im zweiten Streifen drei Viertel.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die Zerlegung lautet $\mathsf{\frac{7}{4}=1+\frac{3}{4}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Volle Ganze1
2. Restbruch $\mathsf{\frac{3}{4}}$
06
Aufgabe 6Brüche · ÜbungLies die Punkte A und B auf dem Zahlenstrahl ab. Schreibe beide Werte als Brüche mit Nenner 4.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Punkt A
Punkt B
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  A liegt zwei Viertelschritte rechts von null.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Daher ist $\mathsf{A=\frac{2}{4}}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  B liegt sieben Viertelschritte rechts von null.
4. Schritt 4 · Erklärung
  Daher ist $\mathsf{B=\frac{7}{4}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Punkt A $\mathsf{\frac{2}{4}}$
2. Punkt B $\mathsf{\frac{7}{4}}$
07
Aufgabe 7Brüche · TransferMarkiere P bei $\mathsf{\frac{3}{4}}$ und Q bei $\mathsf{\frac{5}{4}}$ auf dem vorbereiteten Zahlenstrahl. Ergänze außerdem das Vergleichszeichen zwischen den beiden Brüchen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vergleichszeichen zwischen 3 Vierteln und 5 Vierteln
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  P liegt drei Viertelschritte rechts von null.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Q liegt fünf Viertelschritte rechts von null.
3. Schritt 3 · Erklärung
  P liegt links von Q; sein Wert ist kleiner.
Ergebnis
1. Vergleichszeichen zwischen 3 Vierteln und 5 Vierteln $\mathsf{<}$
08
Aufgabe 8Brüche · TransferSchreibe $\mathsf{\frac{7}{-4}}$ mit positivem Nenner. Ordne den Bruch als echt oder unecht ein und begründe mit der Betragskonvention.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bruch mit positivem Nenner
Bruchart
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Das Vorzeichen wird in den Zähler verschoben: $\mathsf{\frac{7}{-4}=\frac{-7}{4}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Betrag des Zählers ist $\mathsf{|-7|=7}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Weil $\mathsf{7\ge4}$ gilt, ist der Bruch unecht.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Bruch mit positivem Nenner $\mathsf{\frac{-7}{4}}$
2. BruchartUnecht.
3. BegründungDer Betrag des Zählers ist 7 und damit größer als der positive Nenner 4.
09
Aufgabe 9Brüche · TransferBerechne $\mathsf{\frac{3}{4}}$ von 28 cm. Bei einer anderen Länge sind $\mathsf{\frac{3}{5}}$ genau 12 cm lang: Bestimme dort die ganze Länge.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bruchteil von 28 cm
Ganzes zur zweiten Länge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Ein Viertel der ersten Länge in Zentimetern ist $\mathsf{28:4=7}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Drei Viertel in Zentimetern sind $\mathsf{7\cdot3=21}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Ein Fünftel der zweiten Länge in Zentimetern ist $\mathsf{12:3=4}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Fünf Fünftel in Zentimetern sind $\mathsf{4\cdot5=20}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Bruchteil von 28 cm21 cm
2. Ganzes zur zweiten Länge20 cm
10
Aufgabe 10Brüche · TransferIn der Skizze ist eines von drei unterschiedlich großen Feldern markiert. Jemand nennt den markierten Anteil ein Drittel. Stimmt das? Gib den richtigen Bruch an und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Richtiger Anteil
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die drei Felder haben die Breiten 2, 1 und 1 bei gleicher Höhe.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Das markierte Feld ist so breit wie die beiden anderen zusammen.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Sein Flächenanteil ist $\mathsf{\frac{2}{4}=\frac{1}{2}}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Ein Drittel würde drei gleich große Teile voraussetzen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein.
2. Richtiger Anteil $\mathsf{\frac{1}{2}}$
3. BegründungDie drei Felder sind nicht gleich groß. Das markierte Feld nimmt die Hälfte des ganzen Rechtecks ein.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich beziehe einen Anteil auf ein gleich geteiltes Ganzes.
Ich unterscheide Brucharten und erkenne Überschneidungen.
Ich stelle Brüche am Zahlenstrahl dar.
Ich bestimme Bruchteile von Größen.

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