Statistische Tests · Erklären & üben

Chi Quadrat Test

Der Pearson-Chi-Quadrat-Test vergleicht beobachtete Häufigkeiten mit den unter Unabhängigkeit erwarteten Häufigkeiten. Hier behandeln wir ausschließlich den Unabhängigkeitstest für eine 2×2-Tafel.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Was wird hier geprüft?

Die Nullhypothese lautet: Die beiden kategorialen Merkmale sind in der Population unabhängig. Die Alternative behauptet einen Zusammenhang. Jede zufällig ausgewählte Beobachtung gehört genau einer Zelle an; die Beobachtungen seien voneinander unabhängig. Wir verwenden die Näherung nur bei ausreichend großen erwarteten Häufigkeiten, hier mindestens 5 in jeder Zelle. Eingetragen werden Anzahlen, keine Prozentwerte. Nominale Kategorien benötigen keine Reihenfolge. Auch ordinale Kategorien können so ausgewertet werden; der Pearson-Test nutzt ihre Rangordnung jedoch nicht und testet keinen gerichteten Trend.

Lege Hypothesen, Richtung, Voraussetzungen und Niveau vor der Entscheidung fest.
Trenne Rechenwert, Entscheidungsregel und sachliche Interpretation.

$\mathsf{H_0:\textsf{Unabhängigkeit};\,H_1:\textsf{Zusammenhang}}$

Eigene beobachtete 2×2-Tafel mit sämtlichen Randhäufigkeiten.

Erklärung 02

Erwartete Werte und Abweichungen

Die Randhäufigkeiten liefern die erwartete Besetzung jeder Zelle. Ziehe vom beobachteten Wert O den erwarteten Wert E ab, quadriere und teile durch E. Addiere alle Zellbeiträge. Große Prüfwerte bedeuten starke Abweichungen von der Unabhängigkeit. Wir verwenden die Pearson-Statistik ohne Kontinuitätskorrektur.

Lege Hypothesen, Richtung, Voraussetzungen und Niveau vor der Entscheidung fest.
Trenne Rechenwert, Entscheidungsregel und sachliche Interpretation.

$\mathsf{E_{ij}=\frac{R_i C_j}{n},\qquad\chi^2=\sum_{i,j}\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}}$

So geht es am Beispiel

In der dargestellten Tafel stehen die Anzahlen 24, 16, 16, 24. Berechne erwartete Werte und Prüfgröße.

\mathsf{E_{ij}=40\cdot40/80=20}

Alle vier erwarteten Werte sind 20 und damit ausreichend groß. Jede Abweichung hat den Betrag 4.

\mathsf{\chi^2=4\cdot\frac{4^2}{20}=3{,}2}

Erklärung 03

Kritischen Wert ablesen und entscheiden

Unter der Nullhypothese folgt die Prüfgröße näherungsweise einer Chi-Quadrat-Verteilung. Sie liegt ab 0, ist rechtsschief und hängt von den Freiheitsgraden ab. Beim gewählten Kontingenztest gelten (r−1)(c−1) Freiheitsgrade für r Zeilen und c Spalten ohne Summen. Die 2×2-Tafel hat daher einen Freiheitsgrad. Tabellenwert: Bei df = 1 liegen 95 Prozent der Referenzverteilung links von 3,841 und 5 Prozent rechts. Bei vorab gewähltem Niveau 0,05 verwerfen wir für größere Prüfwerte. Nichtverwerfen beweist keine Unabhängigkeit. Ein p-Wert wäre die rechte Randwahrscheinlichkeit, nicht die Wahrscheinlichkeit von H0. Dichteherleitung und allgemeine Verteilungstheorie bleiben ausgeklammert. Der t-Test verwendet für Mittelwerte eine andere Referenzverteilung; der allgemeine Entscheidungsablauf steht im Thema Hypothesentest.

Lege Hypothesen, Richtung, Voraussetzungen und Niveau vor der Entscheidung fest.
Trenne Rechenwert, Entscheidungsregel und sachliche Interpretation.

$\mathsf{df=(r-1)(c-1)=1,\qquad \chi^2>3{,}841:\textsf{ verwerfen}}$

Maßstäblicher kritischer Bereich mit beobachtetem Pearson-Wert.

So geht es am Beispiel

Entscheide für die Tafel aus Beispiel 1 bei Niveau 0,05.

\mathsf{3{,}2<3{,}841}

Der Prüfwert liegt nicht im rechten kritischen Bereich. Es gibt in dieser Stichprobe keinen statistisch signifikanten Hinweis auf einen Zusammenhang auf dem gewählten Niveau.

Erklärung 04

Optional: Zusammenhangsstärke mit Cramérs V

Cramérs V beschreibt die Stärke eines kategorialen Zusammenhangs ohne Richtung. Für nichtleere Tafeln mit mindestens zwei Zeilen und zwei Spalten und positiven Randhäufigkeiten liegt V zwischen 0 und 1. Es verwendet die schon berechnete Pearson-Statistik und ist kein zweiter Test. Der Wert allein begründet weder Signifikanz noch Kausalität. Universelle Grenzen für „schwach“ oder „stark“ werden hier nicht verwendet. Die Pearson-Korrelation beschreibt dagegen lineare Zusammenhänge quantitativer Merkmale; andere Zusammenhangsmaße bleiben ein Weiterverweis.

Lege Hypothesen, Richtung, Voraussetzungen und Niveau vor der Entscheidung fest.
Trenne Rechenwert, Entscheidungsregel und sachliche Interpretation.

$\mathsf{V=\sqrt{\frac{\chi^2}{n\min(r-1,c-1)}}}$

So geht es am Beispiel

Eine zweite eigene Tafel hat Zeilen (30,10) und (10,30), wiederum n = 80. Berechne V.

Die Randhäufigkeiten bleiben 40; alle erwarteten Zellen sind 20.

\mathsf{\chi^2=4\cdot\frac{10^2}{20}=20}

\mathsf{V=\sqrt{20/80}=0{,}5}

Der Test würde auf Niveau 0,05 verwerfen. V beschreibt ergänzend eine Zusammenhangsstärke von 0,5, ohne eine Ursache zu benennen.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Chi Quadrat Test · EinstiegFormuliere H0 und H1 für einen Unabhängigkeitstest der kategorialen Merkmale Gruppe und Antwort.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Nullhypothese
Alternative
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Hypothesen betreffen den Zusammenhang in der Population, nicht die zufällige Gleichheit einzelner Stichprobenzellen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. NullhypotheseGruppe und Antwort sind unabhängig.
2. AlternativeGruppe und Antwort hängen zusammen.
02
Aufgabe 2Chi Quadrat Test · EinstiegDie Zeilensumme ist 40, die Spaltensumme 40 und n = 80. Bestimme die erwartete Zellenhäufigkeit unter Unabhängigkeit.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erwartete Anzahl
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{E=40\cdot40/80=20}$
Ergebnis
1. Erwartete Anzahl $\mathsf{20}$
03
Aufgabe 3Chi Quadrat Test · StandardFür die Tafel mit Zeilen (24,16) und (16,24) sind alle erwarteten Werte 20. Berechne die Pearson-Prüfgröße.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Chi-Quadrat-Prüfwert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Vier Zellen tragen jeweils 16/20 = 0,8 bei.
  $\mathsf{\chi^2=0{,}8+0{,}8+0{,}8+0{,}8=3{,}2}$
Ergebnis
1. Chi-Quadrat-Prüfwert $\mathsf{3{,}2}$
04
Aufgabe 4Chi Quadrat Test · StandardBestimme die Freiheitsgrade der 2×2-Tafel. Entscheide bei Prüfwert 3,2 und Niveau 0,05 mit dem gegebenen kritischen Wert 3,841.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Freiheitsgrade
Entscheidung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{df=(2-1)(2-1)=1}$
  $\mathsf{3{,}2<3{,}841}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Es wird nicht verworfen; dies beweist keine Unabhängigkeit.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Freiheitsgrade $\mathsf{1}$
2. EntscheidungH0 nicht verwerfen.
05
Aufgabe 5Chi Quadrat Test · TransferErgänze in der vorbereiteten Tafel alle vier erwarteten Innenhäufigkeiten unter Unabhängigkeit. Die gegebenen Randsummen bleiben erhalten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erwartete Häufigkeitstafel
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Erwartete Häufigkeitstafel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{E_{ij}=40\cdot40/80=20}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Jedes Innenfeld enthält 20. Damit ergeben sich zeilen- und spaltenweise wieder die gegebenen Summen 40.
Ergebnis
1. Erwartete HäufigkeitstafelAlle vier Innenfelder: 20; Randsummen unverändert.
06
Aufgabe 6Chi Quadrat Test · TransferOptional: Eine 2×2-Tafel mit n = 80 hat Pearson-Prüfwert 20. Berechne Cramérs V. Beweist dieser Wert eine Ursache?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Cramérs V
Kausalaussage
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{V=\sqrt{20/(80\cdot1)}=0{,}5}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Ein Zusammenhangsmaß enthält keine Information über eine kausale Wirkung.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Cramérs V $\mathsf{0{,}5}$
2. KausalaussageKeine Ursache bewiesen.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich lese Titel, Achsen, Einheiten und Legende.
Ich zeichne proportional zur angegebenen Skala.
Ich begründe Aussagen mit den dargestellten Daten.

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