Trigonometrie vertiefen · Erklären & üben

Eulersche Formel

Optionale Vertiefung: Dieses Thema verbindet komplexe Zahlen mit Sinus, Kosinus und dem Einheitskreis. Du benötigst sicheres Rechnen mit Klammern, bekannte trigonometrische Werte und Winkel im Bogenmaß. Die Formel wird hier verwendet; eine Herleitung über Potenzreihen ist nicht Gegenstand des Materials.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Die imaginäre Einheit und komplexe Zahlen

Die imaginäre Einheit i ist durch i² = −1 festgelegt. Eine komplexe Zahl hat die Form z = a+bi mit reellen Zahlen a und b. a ist der Realteil und b der Imaginärteil; der Imaginärteil ist also die reelle Zahl b, nicht bi.

Beim Addieren fasst du Real- und Imaginärteile getrennt zusammen. Beim Multiplizieren gelten die üblichen Klammerregeln, anschließend ersetzt du i² durch −1.

So geht es am Beispiel

Berechne (1+i)(1−i).

\mathsf{(1+i)(1-i)=1-i+i-i^2}

\mathsf{=1-i^2}

\mathsf{=1-(-1)}

\mathsf{=2}

Erklärung 02

Komplexe Zahlen als Punkte

Die Zahl a+bi wird als Punkt (a | b) in der komplexen Ebene dargestellt. Die waagerechte Achse zeigt den Realteil, die senkrechte den Imaginärteil.

Der Betrag ist der Abstand vom Ursprung: $\mathsf{|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}}$ . Auf dem Einheitskreis ist dieser Abstand 1. Ein Winkel x wird von der positiven reellen Achse aus gegen den Uhrzeigersinn positiv gemessen.

Erklärung 03

Die Eulersche Formel

Für reelle Winkel x im Bogenmaß gilt $\mathsf{e^{ix}=\cos x+i\sin x}$ . Links steht die komplexe Exponentialfunktion. Rechts stehen die Koordinaten eines Punkts auf dem Einheitskreis.

Der Realteil ist cos x und der Imaginärteil sin x. Wegen cos²x+sin²x = 1 gilt |eⁱˣ| = 1. Die Zahl bewegt sich mit wachsendem x auf dem Kreis, nicht auf der positiven reellen Achse wie die reelle Funktion eˣ.

Ein voller Umlauf beträgt 2π. Daher gilt e^(i(x+2π)) = eⁱˣ. Verwende im Exponenten keine unkonvertierte Gradzahl: 90° entspricht π/2.

Einheitskreis in der komplexen Ebene mit gleich skalierten Real- und Imaginärachsen. Der Punkt e hoch ix besitzt Koordinaten cos x und sin x; Winkel und Projektionen sind markiert.

So geht es am Beispiel

Berechne e^(iπ/2).

\mathsf{e^{i\pi/2}=\cos(\pi/2)+i\sin(\pi/2)}

\mathsf{e^{i\pi/2}=0+i\cdot1}

\mathsf{e^{i\pi/2}=i}

Erklärung 04

Die Eulersche Identität

Setze x = π in die Eulersche Formel ein. Der Kreiswinkel π führt auf den Punkt (−1 | 0).

So geht es am Beispiel

Leite die Eulersche Identität aus der Formel ab.

\mathsf{e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi}

\mathsf{e^{i\pi}=-1+i\cdot0}

\mathsf{e^{i\pi}=-1}

\mathsf{e^{i\pi}+1=0}

Erklärung 05

Weitere Winkel und negative Richtung

Negative Winkel laufen im Uhrzeigersinn. Wegen cos(−x) = cos x und sin(−x) = −sin x gilt e^(−ix) = cos x−i sin x. Das spiegelt den Punkt an der reellen Achse.

Bei x = π/4 sind Real- und Imaginärteil beide √2/2. Ihr Betrag ist trotzdem 1; Real- und Imaginärteil werden beim Betrag nicht einfach addiert.

So geht es am Beispiel

Berechne e^(iπ/4) und e^(−iπ/4).

\mathsf{e^{i\pi/4}=\frac{\sqrt2}2+i\frac{\sqrt2}2}

\mathsf{e^{-i\pi/4}=\frac{\sqrt2}2-i\frac{\sqrt2}2}

\mathsf{|e^{i\pi/4}|=\sqrt{\frac12+\frac12}=1}

Erklärung 06

Beim Multiplizieren werden die Winkel addiert

Für reelle α und β gilt $\mathsf{e^{i\alpha}e^{i\beta}=e^{i(\alpha+\beta)}}$ . Die Multiplikation zweier Einheitskreiszahlen addiert ihre Winkel; der Betrag bleibt 1.

Für r > 0 beschreibt reⁱˣ einen Punkt mit Abstand r vom Ursprung. Beispielsweise ist 2e^(iπ/2) = 2i. Diese Polarform ist eine weitere Schreibweise derselben komplexen Zahl.

So geht es am Beispiel

Berechne e^(iπ/3)·e^(iπ/6).

\mathsf{e^{i\pi/3}e^{i\pi/6}=e^{i(\pi/3+\pi/6)}}

\mathsf{=e^{i\pi/2}}

\mathsf{=i}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Eulersche Formel · EinstiegBerechne (2+i)+(3−4i).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Realteile: 2+3 = 5. Imaginärteile: 1−4 = −3.
  $\mathsf{(2+i)+(3-4i)=5-3i}$
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnis $\mathsf{5-3i}$
02
Aufgabe 2Eulersche Formel · EinstiegBerechne (1+i)² und gib Real- und Imaginärteil an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(1+i)^2=1+2i+i^2}$
  $\mathsf{=1+2i-1}$
  $\mathsf{=2i}$
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisRealteil 0, Imaginärteil 2.
03
Aufgabe 3Eulersche Formel · StandardBerechne e^(i·0) und e^(iπ) mit der Eulerschen Formel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{e^{i\cdot0}=\cos0+i\sin0}$
  $\mathsf{e^{i\cdot0}=1}$
  $\mathsf{e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi}$
  $\mathsf{e^{i\pi}=-1}$
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisDie Werte sind 1 und −1.
04
Aufgabe 4Eulersche Formel · StandardBerechne e^(i3π/2) und markiere gedanklich die Position auf dem Einheitskreis.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{e^{i3\pi/2}=\cos(3\pi/2)+i\sin(3\pi/2)}$
  $\mathsf{=0-i}$
  $\mathsf{=-i}$
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnis−i; Punkt (0 | −1), unten auf dem Kreis.
05
Aufgabe 5Eulersche Formel · StandardBerechne e^(iπ/6) exakt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\cos(\pi/6)=\frac{\sqrt3}2}$
  $\mathsf{\sin(\pi/6)=\frac12}$
  $\mathsf{e^{i\pi/6}=\frac{\sqrt3}2+\frac12i}$
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnis $\mathsf{\frac{\sqrt3}2+\frac12i}$
06
Aufgabe 6Eulersche Formel · StandardBerechne e^(−iπ/2) und erkläre den negativen Winkel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{e^{-i\pi/2}=\cos(-\pi/2)+i\sin(-\pi/2)}$
  $\mathsf{=0-i}$
  $\mathsf{=-i}$
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisDer Winkel läuft um eine Vierteldrehung im Uhrzeigersinn zum Punkt (0 | −1).
07
Aufgabe 7Eulersche Formel · StandardBerechne e^(iπ/4)·e^(iπ/4) und prüfe durch Ausmultiplizieren.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{e^{i\pi/4}e^{i\pi/4}=e^{i\pi/2}=i}$
  $\mathsf{(\frac{\sqrt2}2+i\frac{\sqrt2}2)^2=\frac12+i+\frac12i^2}$
  $\mathsf{=i}$
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnis $\mathsf{i}$
08
Aufgabe 8Eulersche Formel · VertiefungBestimme die kartesische Form und den Betrag von 3e^(iπ).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3e^{i\pi}=3(\cos\pi+i\sin\pi)}$
  $\mathsf{=3(-1)}$
  $\mathsf{=-3}$
  $\mathsf{|-3|=3}$
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisZahl −3+0i, Betrag 3.
09
Aufgabe 9Eulersche Formel · VertiefungEine Person setzt für eine Vierteldrehung e^(i90) = i. Erkläre den Fehler und korrigiere.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der Winkel im Exponenten der Formel wird im Bogenmaß eingesetzt.
  $\mathsf{90^\circ=\frac\pi2}$
  $\mathsf{e^{i\pi/2}=i}$
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisRichtig ist e^(iπ/2) = i. Die Zahl 90 ohne Gradzeichen im Exponenten bezeichnet 90 Radiant.
10
Aufgabe 10Eulersche Formel · VertiefungZeichne im vorbereiteten Einheitskreis die Punkte zu e^(iπ/4), e^(iπ) und e^(−iπ/2) ein. Beschrifte die komplexen Zahlen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{e^{i\pi/4}=\frac{\sqrt2}2+i\frac{\sqrt2}2}$
  $\mathsf{e^{i\pi}=-1}$
  $\mathsf{e^{-i\pi/2}=-i}$
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisPunkte (√2/2 | √2/2), (−1 | 0) und (0 | −1).

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich nutze i² = −1 beim Rechnen.
Ich verwende Winkel im Bogenmaß.
Ich lese Real- und Imaginärteil als Kreis-Koordinaten.
Ich unterscheide die reelle und die komplexe Exponentialdarstellung.

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