Extrempunkte · Erklären & üben

Extremstellen und Extrempunkte

Eine Extremstelle beschreibt eine Position auf der x-Achse. Erst mit dem Funktionswert erhältst du den zugehörigen Hoch- oder Tiefpunkt.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Stelle, Wert und Punkt

An einer lokalen Minimumstelle ist der Funktionswert nicht größer als die Werte in einer hinreichend kleinen Umgebung. Bei einem lokalen Maximum ist er nicht kleiner. Streng heißt: Alle anderen Werte dieser Umgebung sind tatsächlich größer beziehungsweise kleiner.

Die Extremstelle ist die Zahl x₀, der Extremwert ist f(x₀), der Extrempunkt ist das Paar (x₀|f(x₀)). Ein lokales Maximum heißt Hochpunkt, ein lokales Minimum Tiefpunkt.

„Hoch“ bedeutet nicht automatisch positiv: Auch ein Hochpunkt kann unter der x-Achse liegen. Entscheidend ist der Vergleich mit benachbarten Funktionswerten.

So geht es am Beispiel

Für $\mathsf{f(x)=(x-2)^2-3}$ ist das Quadrat immer nichtnegativ. Benenne das Minimum.

$\mathsf{(x-2)^2\ge0}$ — ein reelles Quadrat ist nichtnegativ.

$\mathsf{f(x)\ge-3}$ — 3 abziehen.

$\mathsf{f(2)=-3}$ — kleinster Wert wird erreicht.

Erklärung 02

Kandidaten finden und Voraussetzungen nennen

Ist f in einer offenen Umgebung einer inneren Extremstelle x₀ differenzierbar, gilt f′(x₀)=0. Anschaulich ist die Tangente dort waagerecht.

Umgekehrt genügt f′(x₀)=0 nicht: Auch ein Graph, der ohne Extremum weitersteigt, kann eine waagerechte Tangente besitzen. Die Gleichung liefert zunächst nur Kandidaten.

Randpunkte und nicht differenzierbare Stellen müssen getrennt betrachtet werden. Die Funktion |x| hat bei 0 ein Minimum, obwohl sie dort nicht differenzierbar ist. Auf [0,1] hat f(x)=x ein globales Randminimum bei 0, obwohl ihre Ableitung 1 ist.

Erklärung 03

Mit der zweiten Ableitung entscheiden

Sei f in einer offenen Umgebung von x₀ zweimal stetig differenzierbar. Gilt f′(x₀)=0 und f″(x₀)>0, liegt ein strenges lokales Minimum vor. Bei f″(x₀)<0 liegt ein strenges lokales Maximum vor.

Wenn f″(x₀)=0 ist, trifft dieser Test keine Entscheidung. Ein Extremum ist weder bewiesen noch ausgeschlossen.

So geht es am Beispiel

Bestimme die Extrempunkte von $\mathsf{f(x)=x^3-3x}$ .

$\mathsf{f^{\prime}(x)=3x^2-3}$ — ableiten.

$\mathsf{3x^2-3=0}$ — Kandidaten suchen.

$\mathsf{3x^2=3}$ — 3 addieren.

$\mathsf{x^2=1}$ — durch 3 teilen.

$\mathsf{x=-1\ \textsf{oder}\ x=1}$ — beide Lösungen.

$\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=6x}$ — nochmals ableiten.

$\mathsf{f^{\prime\prime}(-1)=-6<0}$ — Hochpunkt.

$\mathsf{f^{\prime\prime}(1)=6>0}$ — Tiefpunkt.

$\mathsf{f(-1)=2}$ — Hochpunktwert.

$\mathsf{f(1)=-2}$ — Tiefpunktwert.

Erklärung 04

Vorzeichenwechsel statt unentschiedenem Test

Ist f in einer Umgebung differenzierbar, bedeutet ein Wechsel von f′ von positiv nach negativ: f steigt vor der Stelle und fällt danach; es liegt ein lokales Maximum vor. Ein Wechsel von negativ nach positiv liefert ein lokales Minimum.

Gemeint sind feste Vorzeichen in unmittelbar angrenzenden offenen Intervallen. Ohne Wechsel folgt aus diesem Kriterium kein Extremum.

Bei x³ ist f′=3x² auf beiden Seiten von 0 positiv. Trotz f′(0)=f″(0)=0 gibt es dort kein Extremum. Der Punkt (0|0) ist eine stationäre Wendestelle, hier auch Sattelpunkt genannt.

Bei x⁴ ist f′=4x³ links von 0 negativ und rechts positiv: Minimum bei 0, obwohl f″(0)=0. Alternativ beweist x⁴>0 für x≠0 sofort das strenge Minimum.

Beschriftete Graphen von x³ und x⁴ zeigen unterschiedliche Entscheidungen trotz zweiter Ableitung null bei 0.

Erklärung 05

Lokal und global unterscheiden

Lokal vergleicht nur eine Umgebung. Global vergleicht den gesamten betrachteten Definitionsbereich. Bei x³−3x sind H und T nur lokal: Nach rechts wächst die Funktion unbegrenzt, nach links fällt sie unbegrenzt.

Eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen beschränkten Intervall erreicht ihr globales Minimum und Maximum. Für ein Polynom vergleichst du die Werte aller inneren kritischen Stellen und beider Randpunkte.

Der kleinste dieser Werte ist das globale Minimum, der größte das globale Maximum. Randpunkte müssen dazu keine waagerechte Tangente haben.

So geht es am Beispiel

Bestimme die globalen Extrema von $\mathsf{g(x)=x^2-2x}$ auf [0,3].

$\mathsf{g^{\prime}(x)=2x-2}$ — ableiten.

$\mathsf{2x-2=0}$ — innere Kandidaten suchen.

$\mathsf{2x=2}$ — 2 addieren.

$\mathsf{x=1}$ — durch 2 teilen; liegt im Intervall.

$\mathsf{g(0)=0}$ — linker Rand.

$\mathsf{g(1)=-1}$ — innerer Kandidat.

$\mathsf{g(3)=3}$ — rechter Rand.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Extremstellen und Extrempunkte · GrundlagenFür $\mathsf{f(x)=(x+1)^2+2}$ : Nenne Extremstelle, Extremwert und Extrempunkt. Begründe ohne Ableitung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{(x+1)^2\ge0}$ — Quadrat.
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{f(x)\ge2}$ — 2 addieren.
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{f(-1)=2}$ — Gleichheit wird erreicht.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungExtremstelle −1; Extremwert 2; globaler Tiefpunkt T(−1|2).
02
Aufgabe 2Extremstellen und Extrempunkte · GrundlagenBestimme den Extrempunkt von $\mathsf{f(x)=x^2-6x+5}$ mit Ableitungen und benenne auch Stelle und Wert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=2x-6}$ — ableiten.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2x-6=0}$ — Kandidat.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2x=6}$ — Konstante auf die andere Seite bringen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=3}$ — durch den Faktor von x teilen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=2}$ — zweite Ableitung.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(3)=-4}$ — Funktionswert.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisTiefpunkt (3|-4); Stelle 3, Wert -4.
03
Aufgabe 3Extremstellen und Extrempunkte · GrundlagenBestimme den Extrempunkt von $\mathsf{f(x)=-x^2+4x-7}$ mit Ableitungen und benenne auch Stelle und Wert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=-2x+4}$ — ableiten.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-2x+4=0}$ — Kandidat.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-2x=-4}$ — Konstante auf die andere Seite bringen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=2}$ — durch den Faktor von x teilen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=-2}$ — zweite Ableitung.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(2)=-3}$ — Funktionswert.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisHochpunkt (2|-3); Stelle 2, Wert -3.
04
Aufgabe 4Extremstellen und Extrempunkte · AnwendenBestimme die lokalen Extrempunkte von $\mathsf{f(x)=x^3-12x}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=3x^2-12}$ — ableiten.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3x^2-12=0}$ — Kandidaten.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3x^2=12}$ — 12 addieren.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2=4}$ — durch 3 teilen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=-2\ \textsf{oder}\ x=2}$ — beide Wurzeln.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=6x}$ — zweite Ableitung.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime\prime}(-2)=-12<0}$ — Hochpunkt.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime\prime}(2)=12>0}$ — Tiefpunkt.
9. Schritt 9 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(-2)=16}$ — einsetzen.
10. Schritt 10 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(2)=-16}$ — einsetzen.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisH(−2|16), T(2|−16). Auf ganz R keine globalen Extrema.
05
Aufgabe 5Extremstellen und Extrempunkte · AnwendenPrüfe bei $\mathsf{f(x)=x^3}$ die Stelle 0. Warum reicht die Gleichung f′=0 nicht aus?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=3x^2}$ — ableiten.
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{f^{\prime}(0)=0}$ — stationär.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Für x<0 und x>0 ist f′ positiv.
4. Schritt 4 · Erklärung
  Es fehlt ein Vorzeichenwechsel; f steigt durch 0 hindurch.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungKein Extremum bei 0.
06
Aufgabe 6Extremstellen und Extrempunkte · AnwendenUntersuche $\mathsf{f(x)=x^4}$ bei 0 mit f″ und anschließend mit dem Vorzeichen von f′.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=4x^3}$ — erste Ableitung.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=12x^2}$ — zweite Ableitung.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime\prime}(0)=0}$ — Test unentschieden.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  Links von 0 ist f′ negativ; rechts ist f′ positiv.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(0)=0}$ — Wert.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisStrenges lokales und globales Minimum, T(0|0).
07
Aufgabe 7Extremstellen und Extrempunkte · AnwendenBestimme die globalen Extremwerte von $\mathsf{f(x)=-x^2+2x}$ auf [−1,2] samt Stellen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=-2x+2}$ — ableiten.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-2x+2=0}$ — innerer Kandidat.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-2x=-2}$ — 2 abziehen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=1}$ — durch −2 teilen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(-1)=-3}$ — linker Rand.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(1)=1}$ — innerer Kandidat.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(2)=0}$ — rechter Rand.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisGlobales Minimum −3 bei −1; globales Maximum 1 bei 1.
08
Aufgabe 8Extremstellen und Extrempunkte · VertiefenErkläre an $\mathsf{f(x)=|x|}$ , warum „An jeder Minimumstelle ist f′=0“ ohne Voraussetzung falsch ist.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{|x|\ge0}$ — kleinster Wert ist 0.
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{f(0)=0}$ — Minimum bei 0.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Links beträgt die Steigung −1, rechts +1.
4. Schritt 4 · Erklärung
  Die Ableitung bei 0 existiert nicht.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungDie notwendige Bedingung setzt Differenzierbarkeit an einer inneren Stelle voraus.
09
Aufgabe 9Extremstellen und Extrempunkte · VertiefenFür $\mathsf{f(x)=x^3-3x}$ sind H(−1|2), T(1|−2) und (0|0) gegeben. Zeichne links den Graphen durch die Punkte; rechts die Ableitung. Erkläre die Extremtypen über die Vorzeichenwechsel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=3x^2-3}$ — Ableitung.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Für x<−1 ist f′ positiv.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Für −1<x<1 ist f′ negativ.
4. Schritt 4 · Erklärung
  Für x>1 ist f′ positiv.
5. Schritt 5 · Erklärung
  Bei −1: positiv nach negativ; bei 1: negativ nach positiv.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungH(−1|2) und T(1|−2); Ableitung hat Nullstellen −1 und 1.
10
Aufgabe 10Extremstellen und Extrempunkte · VertiefenJemand behauptet: Ein lokaler Hochpunkt ist immer das globale Maximum. Widerlege das mit x³−3x.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der lokale Hochpunkt ist H(−1|2).
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{f(3)=27-9}$ — anderen Wert einsetzen.
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{f(3)=18}$ — ausrechnen.
4. Schritt 4 · Erklärung
  $\mathsf{18>2}$ — größerer Wert außerhalb der unmittelbaren Umgebung.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungDie Aussage ist falsch; lokal vergleicht nur eine Umgebung.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich unterscheide Stelle, Wert und Punkt.
Ich klassifiziere Kandidaten und beachte die Voraussetzungen.
Bei globalen Extrema auf einem abgeschlossenen Intervall vergleiche ich auch die Randwerte.

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