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Geradengleichungen · Erklären & üben

Geradengleichung

Eine Geradengleichung beschreibt alle Punkte einer Geraden. Mit einer Steigung und einem Punkt oder mit zwei verschiedenen Punkten lässt sie sich bestimmen. Dabei muss der senkrechte Fall getrennt behandelt werden.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Steigung und Achsenabschnitt

Eine nichtsenkrechte Gerade hat die Form y = mx+b. Die Steigung m beschreibt die Höhenänderung pro horizontaler Einheit. Der y-Achsenabschnitt b ist die Höhe bei x = 0.

Für m > 0 steigt die Gerade, für m < 0 fällt sie. Für m = 0 ist sie waagerecht und lautet y = b. Die Gleichung beschreibt alle Punkte (x | mx+b).

Erklärung 02

Punkt und Steigung einsetzen

Gegeben seien P(x₀ | y₀) und eine endliche Steigung m. Dann gilt die Punkt-Steigungsform y−y₀ = m(x−x₀), also y = m(x−x₀)+y₀.

Durch Ausmultiplizieren erhältst du y = mx+b mit b = y₀−mx₀. Die Punktkoordinate y₀ ist nur dann unmittelbar der Achsenabschnitt, wenn x₀ = 0 oder der besondere Fall m = 0 vorliegt.

So geht es am Beispiel

Bestimme die Gerade durch P(2 | 5) mit Steigung −3.

y=−3(x−2)+5\mathsf{y=-3(x-2)+5} — Punkt-Steigungsform.

y=−3x+6+5\mathsf{y=-3x+6+5} — Klammer auflösen.

y=−3x+11\mathsf{y=-3x+11} — zusammenfassen.

−3⋅2+11=5\mathsf{-3\cdot2+11=5} — Punktprobe.

Ergebnis

y=−3x+11\mathsf{y=-3x+11}

Erklärung 03

Zwei Punkte mit verschiedenen x-Werten

Für P(x₁ | y₁) und Q(x₂ | y₂) mit x₁ ≠ x₂ berechnest du m=y2−y1x2−x1\mathsf{m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}. Zähler und Nenner müssen dieselbe Punktreihenfolge verwenden.

Setze danach einen Punkt in die Punkt-Steigungsform ein. Prüfe die fertige Gleichung an beiden Punkten.

Gerade y = minus 2x plus 2 mit den vorgegebenen Punkten P(minus 1 | 4) und Q(3 | minus 4).

So geht es am Beispiel

Bestimme die Gerade durch P(−1 | 4) und Q(3 | −4).

m=−4−43−(−1)\mathsf{m=\frac{-4-4}{3-(-1)}} — Differenzen.

m=−8/4=−2\mathsf{m=-8/4=-2} — Steigung.

y=−2(x+1)+4\mathsf{y=-2(x+1)+4} — Punkt P.

y=−2x+2\mathsf{y=-2x+2} — vereinfachen.

−2⋅(−1)+2=4\mathsf{-2\cdot(-1)+2=4} — Probe P.

−2⋅3+2=−4\mathsf{-2\cdot3+2=-4} — Probe Q.

Ergebnis

y=−2x+2\mathsf{y=-2x+2}

Erklärung 04

Waagerechte und senkrechte Geraden

Haben zwei verschiedene Punkte dieselbe y-Koordinate, ist ihre Gerade waagerecht. Der Zähler der Steigungsformel ist 0, der Nenner nicht.

Haben zwei verschiedene Punkte dieselbe x-Koordinate c, ist ihre Gerade senkrecht: x = c. Die Steigungsformel würde durch 0 teilen und ist hier nicht anwendbar. Eine senkrechte Gerade lässt sich nicht als y = mx+b darstellen und ist kein Funktionsgraph y = f(x).

So geht es am Beispiel

Bestimme die Gerade durch P(2 | −1) und Q(2 | 5).

Beide Punkte besitzen die x-Koordinate 2 und verschiedene y-Koordinaten.

x2−x1=0\mathsf{x_2-x_1=0} — keine Division möglich.

x=2\mathsf{x=2} — senkrechte Gerade.

Ergebnis

x=2\mathsf{x=2}

Erklärung 05

Wann reichen die Angaben?

Zwei verschiedene Punkte bestimmen genau eine Gerade, einschließlich des senkrechten Falls. Ein Punkt allein bestimmt unendlich viele Geraden. Zwei identische Punkte liefern ebenfalls nur eine einzige Punktbedingung.

Eine vorgegebene endliche Steigung ohne Punkt legt nur die Richtung fest. Ein Punkt zusammen mit dieser Steigung bestimmt dagegen genau eine nichtsenkrechte Gerade.

Drei Punkte liegen nur dann auf derselben Geraden, wenn der dritte Punkt die durch die ersten beiden bestimmte Gleichung erfüllt.

Erklärung 06

Zeichnen und andere Formen lesen

Trage einen bekannten Punkt ein. Für m = 2/3 gehst du beispielsweise drei Einheiten nach rechts und zwei nach oben. Zeichne die Gerade durch beide Punkte und verlängere sie.

Eine Gleichung wie 2x+3y = 6 beschreibt ebenfalls eine Gerade. Nach y aufgelöst lautet sie y = −2x/3+2. Bei einer Form Ax+By = C muss mindestens einer der Koeffizienten A oder B ungleich 0 sein; B = 0 führt zu einer senkrechten Geraden.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Geradengleichung · EinstiegBestimme die Gerade durch P(1 | 4) mit m = 2 und mache die Punktprobe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      y=2(x−1)+4\mathsf{y=2(x-1)+4}
      y=2x+2\mathsf{y=2x+2}
      2⋅1+2=4\mathsf{2\cdot1+2=4}

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebnisy=2x+2\mathsf{y=2x+2}
  2. Aufgabe 2Geradengleichung · EinstiegBestimme die Gerade durch P(−2 | 3) mit m = −1/2.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      y=−12(x+2)+3\mathsf{y=-\frac12(x+2)+3}
      y=−12x+2\mathsf{y=-\frac12x+2}
      −12(−2)+2=3\mathsf{-\frac12(-2)+2=3}

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebnisy=−12x+2\mathsf{y=-\frac12x+2}
  3. Aufgabe 3Geradengleichung · StandardBestimme die Gerade durch (0 | −3) und (4 | 5) mit beiden Proben.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      m=5−(−3)4−0=2\mathsf{m=\frac{5-(-3)}{4-0}=2}
      b=−3\mathsf{b=-3}
      y=2x−3\mathsf{y=2x-3}
      2⋅0−3=−3\mathsf{2\cdot0-3=-3}
      2⋅4−3=5\mathsf{2\cdot4-3=5}

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebnisy=2x−3\mathsf{y=2x-3}
  4. Aufgabe 4Geradengleichung · StandardBestimme die Gerade durch (−1 | 2) und (3 | 4).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      m=4−23−(−1)=12\mathsf{m=\frac{4-2}{3-(-1)}=\frac12}
      y=12(x+1)+2\mathsf{y=\frac12(x+1)+2}
      y=12x+52\mathsf{y=\frac12x+\frac52}
      12(−1)+52=2\mathsf{\frac12(-1)+\frac52=2}
      12⋅3+52=4\mathsf{\frac12\cdot3+\frac52=4}

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebnisy=12x+52\mathsf{y=\frac12x+\frac52}
  5. Aufgabe 5Geradengleichung · StandardBestimme die Gerade durch (−3 | 2) und (5 | 2).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      m=2−25−(−3)=0\mathsf{m=\frac{2-2}{5-(-3)}=0}
      y=0(x+3)+2\mathsf{y=0(x+3)+2}
      y=2\mathsf{y=2}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisWaagerechte Gerade y = 2; beide Punkte haben die geforderte Höhe.
  6. Aufgabe 6Geradengleichung · StandardBestimme die Gerade durch (−2 | 1) und (−2 | 7).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Die x-Koordinaten sind gleich; die Punkte sind verschieden.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Der Nenner der Steigungsformel wäre 0.

      x=−2\mathsf{x=-2}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisSenkrechte Gerade x = −2; keine Darstellung als y = mx+b.
  7. Aufgabe 7Geradengleichung · StandardP und Q sind beide (1 | 2). Ist die Gerade eindeutig? Gib zwei mögliche Gleichungen an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Die beiden Angaben beschreiben denselben Punkt.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      y=2\mathsf{y=2} — waagerechte Möglichkeit.

    3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg

      y=x+1\mathsf{y=x+1} — zweite Möglichkeit.

    4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg

      Beide Geraden enthalten (1 | 2), sind aber verschieden.

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisNein, identische Punkte liefern keine eindeutige Gerade.
  8. Aufgabe 8Geradengleichung · VertiefungLiegen (0 | 1), (2 | 5) und (3 | 6) auf einer Geraden?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      m=(5−1)/(2−0)=2\mathsf{m=(5-1)/(2-0)=2}
      y=2x+1\mathsf{y=2x+1}
      2⋅3+1=7\mathsf{2\cdot3+1=7}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Der dritte Punkt hat Höhe 6 statt 7.

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisNein. Der dritte Punkt liegt nicht auf der durch die ersten beiden bestimmten Geraden.
  9. Aufgabe 9Geradengleichung · VertiefungForme 2x+4y = 8 nach y um. Gib Steigung und y-Achsenabschnitt an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      4y=8−2x\mathsf{4y=8-2x}
      y=2−12x\mathsf{y=2-\frac12x}
      y=−12x+2\mathsf{y=-\frac12x+2}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisSteigung −1/2; y-Achsenabschnitt 2.
  10. Aufgabe 10Geradengleichung · VertiefungBestimme und zeichne im vorbereiteten System die Gerade durch P(−1 | 1) und Q(2 | 4). Prüfe beide Punkte.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Leeres beschriftetes Koordinatensystem zum Ergänzen der Geraden; die gegebenen Punkte P(-1 | 1) und Q(2 | 4) sind bereits markiert.

    Rechnung und Ergebnis

    Leeres beschriftetes Koordinatensystem zum Ergänzen der Geraden; die gegebenen Punkte P(-1 | 1) und Q(2 | 4) sind bereits markiert.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      m=(4−1)/(2−(−1))=1\mathsf{m=(4-1)/(2-(-1))=1}
      y=1(x+1)+1\mathsf{y=1(x+1)+1}
      y=x+2\mathsf{y=x+2}
      −1+2=1\mathsf{-1+2=1}
      2+2=4\mathsf{2+2=4}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die Gerade durch P und Q zeichnen und beidseitig verlängern.

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebnisy=x+2\mathsf{y=x+2}

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich prüfe vor der Steigungsformel, ob die x-Werte verschieden sind.
  • Ich setze den Punkt mit korrekten Vorzeichen ein.
  • Ich mache die Probe mit beiden gegebenen Punkten.
  • Ich erkenne senkrechte Geraden und unzureichende Angaben.

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