Kurven untersuchen · Erklären & üben

Grenzwerte von Funktionen

Ein Grenzwert beschreibt, welchem Wert sich eine Funktion nähert, wenn x einer bestimmten Stelle näherkommt. Der Wert genau an dieser Stelle ist eine eigene Frage.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Annäherung an eine endliche Stelle

Die Schreibweise lim für x gegen a betrachtet x-Werte in der Nähe von a, aber nicht x=a selbst. Ein endlicher Grenzwert L bedeutet: Die Funktionswerte kommen L beliebig nahe, wenn x ausreichend nahe an a liegt.

Bei einer stetigen Funktion darfst du einsetzen. Polynome sind überall stetig. Bei einem Quotienten stetiger Funktionen darfst du einsetzen, sofern der Nenner an der Zielstelle nicht null ist.

$\mathsf{\lim_{x\to a}f(x)=L}$

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\lim_{x\to2}(x^2+3x-1)}$ .

Der Term ist ein Polynom und deshalb bei 2 stetig.

$\mathsf{2^2+3\cdot2-1=4+6-1}$ — einsetzen und Potenz ausrechnen.

$\mathsf{4+6-1=9}$ — addieren.

Erklärung 02

Definitionslücke, Grenzwert und Funktionswert

Ein Funktionswert f(a) existiert nur, wenn a zum Definitionsbereich gehört. Ein Grenzwert kann trotzdem existieren, wenn f(a) nicht definiert ist.

Kürzen eines gemeinsamen Faktors verändert die Werte an den erlaubten Stellen nicht. Die ursprüngliche Ausschlussstelle bleibt aber bestehen. Eine stetige Ergänzung muss ausdrücklich als neue Definition angegeben werden.

Skalierter Graph y=x+1 mit offenem Punkt bei (1|2); Grenzwert 2 und fehlender Funktionswert getrennt beschriftet.

So geht es am Beispiel

Untersuche $\mathsf{f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}}$ bei x=1.

$\mathsf{x\ne1}$ — ursprünglicher Nenner.

$\mathsf{x^2-1=(x-1)(x+1)}$ — faktorisieren.

$\mathsf{f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}}$ — einsetzen.

$\mathsf{f(x)=x+1\quad(x\ne1)}$ — kürzen.

$\mathsf{\lim_{x\to1}f(x)=1+1}$ — stetigen vereinfachten Term verwenden.

$\mathsf{\lim_{x\to1}f(x)=2}$ — ausrechnen.

Erklärung 03

Von links und von rechts

Linksseitig bedeutet x<a, rechtsseitig x>a. Ein beidseitiger endlicher Grenzwert existiert genau dann, wenn beide einseitigen Grenzwerte existieren und übereinstimmen.

Bei einem Sprung können beide einseitigen Grenzwerte endlich, aber verschieden sein. Dann gibt es keinen beidseitigen Grenzwert. Der einzelne Funktionswert an der Sprungstelle kann das nicht ändern.

$\mathsf{\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=L}$

So geht es am Beispiel

Es gilt s(x)=−1 für x<0 und s(x)=2 für x≥0. Untersuche die Stelle 0.

$\mathsf{\lim_{x\to0^-}s(x)=-1}$ — linker Ast konstant.

$\mathsf{\lim_{x\to0^+}s(x)=2}$ — rechter Ast konstant.

$\mathsf{-1\ne2}$ — einseitige Grenzwerte unterscheiden sich.

$\mathsf{s(0)=2}$ — Wert folgt aus der zweiten Fallvorschrift.

Erklärung 04

Wertetabellen geben Hinweise

Für den gekürzten Term x+1 ergeben sich nahe 1 die Werte: Bei x=0,9 ist y=1,9; bei 0,99 ist y=1,99; bei 1,01 ist y=2,01; bei 1,1 ist y=2,1.

Die Tabelle legt den Grenzwert 2 nahe. Endlich viele Werte beweisen aber keine Aussage über alle hinreichend nahen x. Hier begründet die exakte Gleichheit mit x+1 für x≠1 zusammen mit dessen Stetigkeit das Ergebnis.

Auch ein gezeichneter Graph ist eine Darstellung, kein Ersatz für die Begründung aus dem Funktionsterm.

Erklärung 05

Unbeschränkte Annäherung an einer Polstelle

Für 1/(x−1) wird der Nenner links von 1 negativ und betragsmäßig beliebig klein. Die Werte werden unbegrenzt negativ. Rechts von 1 werden sie unbegrenzt positiv.

Die Schreibweise mit plus oder minus unendlich beschreibt dieses unbeschränkte Verhalten; unendlich ist kein reeller Funktionswert. Hier gibt es keinen endlichen beidseitigen Grenzwert und auch keinen gemeinsamen uneigentlichen Grenzwert.

Bei 1/(x−1)² sind die Werte dagegen auf beiden Seiten positiv und wachsen unbegrenzt. Man schreibt den uneigentlichen Grenzwert +∞. Die Gerade x=1 ist in beiden Beispielen eine senkrechte Asymptote.

Grenzwerte für x gegen plus oder minus unendlich, einschließlich Exponentialfunktionen und waagerechten Asymptoten, werden im eigenen Thema „Verhalten im Unendlichen“ behandelt.

$\mathsf{\lim_{x\to1^-}\frac1{x-1}=-\infty\qquad\lim_{x\to1^+}\frac1{x-1}=+\infty}$

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Grenzwerte von Funktionen · GrundlagenBestimme $\mathsf{\lim_{x\to3}(2x^2-x+1)}$ und begründe das Einsetzen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Das Polynom ist bei 3 stetig.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2\cdot3^2-3+1=18-3+1}$ — einsetzen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{18-3+1=16}$ — ausrechnen.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisGrenzwert 16.
02
Aufgabe 2Grenzwerte von Funktionen · GrundlagenBerechne $\mathsf{\lim_{x\to1}(x+2)/(x+3)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1+3=4\ne0}$ — Nenner an der Zielstelle.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\lim_{x\to1}\frac{x+2}{x+3}=\frac{1+2}{1+3}}$ — Stetigkeit des Quotienten.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\frac{1+2}{1+3}=\frac34}$ — ausrechnen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{3/4}$
03
Aufgabe 3Grenzwerte von Funktionen · GrundlagenUntersuche $\mathsf{f(x)=(x^2-4)/(x-2)}$ bei 2: Definitionsbereich, Grenzwert und f(2).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x\ne2}$ — Nennerbedingung.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2-4=(x-2)(x+2)}$ — faktorisieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(x)=x+2\quad(x\ne2)}$ — kürzen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\lim_{x\to2}f(x)=4}$ — stetigen Term einsetzen.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisBereich R ohne 2; Grenzwert 4; f(2) nicht definiert.
04
Aufgabe 4Grenzwerte von Funktionen · AnwendenUntersuche $\mathsf{f(x)=(x^2+3x)/x}$ bei 0. Darf nach dem Kürzen einfach f(0)=3 geschrieben werden?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x\ne0}$ — ursprünglicher Bereich.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2+3x=x(x+3)}$ — faktorisieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(x)=x+3\quad(x\ne0)}$ — kürzen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\lim_{x\to0}f(x)=3}$ — Grenzwert.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisNein. Grenzwert 3; f(0) bleibt ohne neue Definition undefiniert.
05
Aufgabe 5Grenzwerte von Funktionen · AnwendenEs gilt h(x)=4 für x<2 und h(x)=−2 für x≥2. Bestimme beide einseitigen Grenzwerte bei 2, den beidseitigen Grenzwert und h(2).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\lim_{x\to2^-}h(x)=4}$ — linker Ast.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\lim_{x\to2^+}h(x)=-2}$ — rechter Ast.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{4\ne-2}$ — kein gemeinsamer Grenzwert.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h(2)=-2}$ — zweiter Fall.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisLinks 4, rechts −2; beidseitig nicht existent; Funktionswert −2.
06
Aufgabe 6Grenzwerte von Funktionen · AnwendenBestimme beide einseitigen Grenzwerte von $\mathsf{|x|}$ bei 0 und folgere den beidseitigen Grenzwert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Für x<0 gilt $\mathsf{|x|=-x}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\lim_{x\to0^-}(-x)=0}$ — von links.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Für x>0 gilt $\mathsf{|x|=x}$ .
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\lim_{x\to0^+}x=0}$ — von rechts.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisBeide Seiten liefern 0; beidseitiger Grenzwert 0.
07
Aufgabe 7Grenzwerte von Funktionen · AnwendenBeschreibe das einseitige Verhalten von $\mathsf{1/(x-2)}$ bei 2. Begründe die Vorzeichen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Links von 2 ist x−2 negativ und nähert sich 0.
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{\lim_{x\to2^-}\frac1{x-2}=-\infty}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Rechts von 2 ist x−2 positiv und nähert sich 0.
4. Schritt 4 · Erklärung
  $\mathsf{\lim_{x\to2^+}\frac1{x-2}=+\infty}$ .
Ergebnis
1. Antwort und BegründungKein endlicher beidseitiger Grenzwert; senkrechte Asymptote x=2.
08
Aufgabe 8Grenzwerte von Funktionen · VertiefenEine Tabelle zeigt bei x=0,99 den Wert 1,99 und bei x=1,01 den Wert 2,01. Ist damit der Grenzwert bei 1 bewiesen? Welche zusätzliche Information hilft beim Term (x²−1)/(x−1)?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Zwei einzelne Werte sind kein Beweis für beliebige Annäherung.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Für x≠1 gilt exakt $\mathsf{(x^2-1)/(x-1)=x+1}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die Funktion x+1 ist bei 1 stetig und hat dort den Wert 2.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungTabelle als Hinweis; exakte Umformung und Stetigkeit begründen Grenzwert 2.
09
Aufgabe 9Grenzwerte von Funktionen · VertiefenFür g gilt g(x)=x+1 für x≠1 und g(1)=0. Zeichne in der Vorlage die Gerade mit offenem Punkt an der ausgeschlossenen Stelle und den tatsächlichen Einzelwert als ausgefüllten Punkt. Bestimme Grenzwert und g(1).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Für Annäherungen an 1 gilt g(x)=x+1.
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{\lim_{x\to1}g(x)=2}$ — stetiger Term.
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{g(1)=0}$ — ausdrücklich definierter Einzelwert.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungOffener Punkt (1|2), ausgefüllter Punkt (1|0); Grenzwert 2, Funktionswert 0.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich trenne Grenzwert, Funktionswert und Definitionsbereich.
Ich vergleiche bei Bedarf beide einseitigen Grenzwerte.
Ich verwende Tabellen als Hinweise und begründe aus dem Term.

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