Dreiecke · Erklären & üben

Inkreis und Umkreis Dreieck

Der Inkreis berührt die drei Seiten. Der Umkreis geht durch die drei Eckpunkte. Ihre Mittelpunkte entstehen aus verschiedenen Linien.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Inkreis: gleicher Abstand zu den Seiten

Die inneren Winkelhalbierenden schneiden sich im Inkreismittelpunkt I. I liegt immer im Inneren. Fälle von I ein Lot auf eine Seitengerade: diese Lotstrecke ist der Radius r. Der Kreis berührt jede Seite genau einmal.

Konstruiere zwei innere Winkelhalbierende.
Markiere ihren Schnittpunkt I.
Fälle das Lot von I auf eine Seite und verwende die Lotlänge als Radius.

Der Inkreisradius ist ein Seitenabstand, kein Eckpunktabstand.

Maßhaltiges3-4-5-Dreieck; Inkreiszentrum(1,1), Radius1 berührt alle Seiten.

So geht es am Beispiel

Ein rechtwinkliges Dreieck hat Katheten 3 und 4 sowie Hypotenuse 5 cm. Bestimme den Inkreisradius über Fläche und Halbumfang.

\mathsf{A=\frac{3\cdot4}{2}=6\,\mathsf{cm}^2}

\mathsf{s=\frac{3+4+5}{2}=6\,\mathsf{cm}}

Die drei Teildreiecke mit Spitze I haben dieselbe Höhe r. Deshalb gilt Fläche = Radius mal Halbumfang.

\mathsf{A=r s\quad\Rightarrow\quad r=6:6=1\,\mathsf{cm}}

Erklärung 02

Umkreis: gleicher Abstand zu den Ecken

Die Mittelsenkrechten der Seiten schneiden sich im Umkreismittelpunkt U. Jeder Punkt einer Mittelsenkrechten ist von den beiden Seitenendpunkten gleich weit entfernt. Deshalb sind die Abstände von U zu A, B und C gleich.

Konstruiere die Mittelsenkrechten von zwei Seiten.
Markiere ihren Schnittpunkt U.
Wähle den Abstand UA als Radius und zeichne den Kreis.

$\mathsf{R=|UA|=|UB|=|UC|}$

Maßhaltiges3-4-5-Dreieck mit Umkreismittelpunkt inHypotenusenmitte; Radius2,5.

So geht es am Beispiel

Ein rechtwinkliges Dreieck hat Hypotenuse 13 cm. Berechne den Umkreisradius.

Beim rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse ein Durchmesser des Umkreises.

\mathsf{R=13:2=6{,}5\,\mathsf{cm}}

Erklärung 03

Wo liegen die Mittelpunkte?

Der Inkreismittelpunkt liegt immer innen. Der Umkreismittelpunkt liegt beim spitzwinkligen Dreieck innen, beim rechtwinkligen auf der Hypotenusenmitte und beim stumpfwinkligen außen. Ein äußerer Mittelpunkt verhindert den Umkreis nicht.

Unterscheide I und U.
Nutze für U die Winkelart.

Gleicher Seitenabstand und gleicher Eckpunktabstand sind verschiedene Bedingungen.

Erklärung 04

Mit den Radien weiterrechnen

Das Thema Flächeninhalt Kreis nutzt einen bereits bestimmten Radius. Bei Inkreis und Umkreis musst du zuerst klären, welcher Radius gesucht ist; die Kreisflächen sind im Allgemeinen verschieden.

Bestimme den passenden Mittelpunkt und Radius.
Nutze danach die Kreisflächenformel.

$\mathsf{A_{\mathsf{Kreis}}=\pi r^2}$

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Inkreis und Umkreis Dreieck · AnwendenWelche Linien bestimmen I, welche bestimmen U?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Inkreismittelpunkt I
Umkreismittelpunkt U
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Gleiche Winkelhälften führen zum gleichen Abstand zu den Seiten.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Mittelsenkrechte führen zum gleichen Abstand zu den Ecken.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Inkreismittelpunkt ISchnittpunkt der inneren Winkelhalbierenden.
2. Umkreismittelpunkt USchnittpunkt der Mittelsenkrechten.
02
Aufgabe 2Inkreis und Umkreis Dreieck · AnwendenEin Dreieck hat Seiten 3,4,5 cm und Fläche 6 Quadratzentimeter. Berechne den Halbumfang und den Inkreisradius.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Halbumfang
Inkreisradius
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{s=(3+4+5):2=6\,\mathsf{cm}}$
  $\mathsf{r=A/s=6:6=1\,\mathsf{cm}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Halbumfang $\mathsf{6\,\mathsf{cm}}$
2. Inkreisradius $\mathsf{1\,\mathsf{cm}}$
03
Aufgabe 3Inkreis und Umkreis Dreieck · AnwendenEin rechtwinkliges Dreieck hat eine Hypotenuse von 10 cm. Berechne seinen Umkreisradius.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Umkreisradius
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{R=10:2=5\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Umkreisradius $\mathsf{5\,\mathsf{cm}}$
04
Aufgabe 4Inkreis und Umkreis Dreieck · AnwendenDas Gitter zeigt A(0|0), B(6|0), C(0|8). Markiere den Umkreismittelpunkt und zeichne den Umkreis. Gib Mittelpunkt und Radius an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Umkreis
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Umkreis
Mittelpunkt
Radius
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Bei A liegt der rechte Winkel. Die Hypotenusenmitte von BC ist U(3|4).
  $\mathsf{R=\sqrt{3^2+4^2}=5}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zeichne um U einen Kreis durch A; er geht auch durch B und C.
Ergebnisse & Teilantworten
1. UmkreisKreis um U(3|4) durch A, B und C.
2. MittelpunktU(3|4)
3. Radius5 Längeneinheiten.
05
Aufgabe 5Inkreis und Umkreis Dreieck · AnwendenBei einem stumpfwinkligen Dreieck wird behauptet: Beide Kreismittelpunkte liegen außen. Beurteile I und U getrennt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Lage von I
Lage von U
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die inneren Winkelhalbierenden treffen sich im Inneren.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Der Umkreismittelpunkt des stumpfwinkligen Dreiecks liegt außen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Lage von IInnen; die Aussage ist für I falsch.
2. Lage von UAußen; die Aussage ist für U richtig.
06
Aufgabe 6Inkreis und Umkreis Dreieck · AnwendenJemand zeichnet den Inkreis um I mit Radius IA. Warum ist das im Allgemeinen falsch?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Korrektur
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  IA misst den Abstand zu einer Ecke.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Der Inkreisradius ist der senkrechte Abstand zu einer Seite.
Ergebnis
1. KorrekturVon I das Lot auf eine Seite fällen und diese Lotlänge als Radius nehmen.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich prüfe die Voraussetzungen vor jeder Rechnung.
Ich kann die Zeichnung und meine Begründung vergleichen.

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