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Integrale verstehen · Erklären & üben

Integralfunktion

Eine Integralfunktion ordnet jeder oberen Grenze x ein bestimmtes Integral zu. Die untere Grenze a bleibt fest. So wird aus der aufsummierten, vorzeichenbehafteten Änderung eine neue Funktion.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Eine Grenze bleibt fest, die andere bewegt sich

Für eine auf einem Intervall stetige Funktion f und einen festen Ausgangspunkt a definieren wir Fa(x)=∫axf(t) dt\mathsf{F_a(x)=\int_a^x f(t)\,dt}. Dabei liegen a und x im betrachteten Intervall.

Die Variable t ist die Integrationsvariable. Sie läuft zwischen den Grenzen. x ist die Eingabe der neuen Funktion und steht als obere Grenze. a wird während der Betrachtung nicht verändert.

Am Ausgangspunkt gilt stets Fa(a)=∫aaf(t) dt=0\mathsf{F_a(a)=\int_a^a f(t)\,dt=0}. Die Integralfunktion beginnt dort mit dem Wert 0, unabhängig davon, wie groß f(a) ist.

Erklärung 02

Mit einer Stammfunktion berechnen

Ist G eine Stammfunktion von f, dann gilt Fa(x)=G(x)−G(a)\mathsf{F_a(x)=G(x)-G(a)}. Du setzt also zuerst die variable Grenze x ein und ziehst danach den festen Wert an a ab.

Für diese festgelegte Integralfunktion kommt kein frei wählbares +C hinzu. Die Bedingung Fₐ(a) = 0 legt die Konstante bereits fest.

So geht es am Beispiel

Bestimme F1(x)=∫1x2t dt\mathsf{F_1(x)=\int_1^x 2t\,dt}.

G(t)=t2\mathsf{G(t)=t^2} — eine Stammfunktion von 2t wählen.

G(x)=x2\mathsf{G(x)=x^2} — obere Grenze einsetzen.

G(1)=1\mathsf{G(1)=1} — festen unteren Wert berechnen.

F1(x)=x2−1\mathsf{F_1(x)=x^2-1} — untere Grenze abziehen.

F1(1)=0\mathsf{F_1(1)=0} — Ausgangswert.

Ergebnis

F1(x)=x2−1\mathsf{F_1(x)=x^2-1}

Erklärung 03

Links der unteren Grenze kehrt sich die Orientierung um

Für x < a gilt ∫axf(t) dt=−∫xaf(t) dt\mathsf{\int_a^x f(t)\,dt=-\int_x^a f(t)\,dt}. Die Integralfunktion ist auch links von a definiert, sofern f auf dem ganzen Zwischenintervall stetig ist.

Liegt f zwischen x und a über der Achse, liefert die umgekehrte Orientierung einen negativen Wert. Ein Integralwert ist deshalb nicht automatisch ein positiver geometrischer Flächeninhalt.

Konstante Funktion f(t) = 2. Links der festen unteren Grenze a = 1 ergibt die Orientierung von 1 nach −1 den Integralwert −4; rechts bis 3 den Wert 4. Beide geometrischen Rechtecke haben Fläche 4.

So geht es am Beispiel

Berechne für f(t) = 2 und a = 1 die Werte bei x = 3 und x = −1.

F1(x)=2x−2\mathsf{F_1(x)=2x-2} — feste untere Grenze berücksichtigen.

F1(3)=6−2\mathsf{F_1(3)=6-2} — rechte Stelle einsetzen.

F1(3)=4\mathsf{F_1(3)=4} — Wert rechts.

F1(−1)=−2−2\mathsf{F_1(-1)=-2-2} — linke Stelle einsetzen.

F1(−1)=−4\mathsf{F_1(-1)=-4} — umgekehrte Orientierung.

Ergebnis

Beide Streifen haben den geometrischen Flächeninhalt 4. Die Integralwerte sind rechts 4 und links −4.

Erklärung 04

Aus f die Monotonie von F erkennen

Für stetiges f gilt nach dem Hauptsatz Fa′(x)=f(x)\mathsf{F_a^{\prime}(x)=f(x)}. f beschreibt also die Steigung der Integralfunktion.

Wo f positiv ist, steigt Fₐ streng; wo f negativ ist, fällt Fₐ streng. Bei f = 0 ist die Tangente an Fₐ waagerecht. Ein Vorzeichenwechsel von f von minus nach plus erzeugt einen Tiefpunkt von Fₐ; von plus nach minus einen Hochpunkt.

Eine Nullstelle von f allein genügt nicht für einen Extrempunkt. Bei f(x) = x² ist F₀(x) = x³/3 trotz der waagerechten Tangente im Ursprung streng steigend.

Zwei Koordinatensysteme: oben f(t) = t − 1 mit negativer und positiver Teilfläche von 0 bis 2; unten F₀(x) = x²/2 − x mit Nullstellen 0 und 2 sowie Tiefpunkt (1 | −1/2).

So geht es am Beispiel

Untersuche F0(x)=∫0x(t−1) dt\mathsf{F_0(x)=\int_0^x(t-1)\,dt}.

F0(x)=12x2−x\mathsf{F_0(x)=\frac12x^2-x} — Stammfunktion und Ausgangswert.

F0′(x)=x−1\mathsf{F_0^{\prime}(x)=x-1} — Ableitung ist f.

Links von 1 ist f negativ, rechts positiv.

F0(1)=−12\mathsf{F_0(1)=-\frac12} — Tiefpunkthöhe.

Ergebnis

F₀ fällt bis 1 und steigt danach. Tiefpunkt: T(1∣−1/2)\mathsf{T(1\mid-1/2)}.

Erklärung 05

Funktionswert und Steigung nicht verwechseln

Das Vorzeichen von Fₐ hängt von der gesamten vorzeichenbehafteten Bilanz ab a ab. Das Vorzeichen von f(x) beschreibt dagegen nur, ob diese Bilanz gerade zu- oder abnimmt.

Im Beispiel F0(x)=x2/2−x\mathsf{F_0(x)=x^2/2-x} ist F₀ zwischen 1 und 2 negativ und steigt dort trotzdem. Erst bei 2 ist die zuvor negative Bilanz vollständig ausgeglichen.

Erklärung 06

Andere untere Grenze: nur eine Verschiebung

Für zwei feste Ausgangspunkte a und b gilt Fb(x)=Fa(x)−Fa(b)\mathsf{F_b(x)=F_a(x)-F_a(b)}. Die beiden Integralfunktionen unterscheiden sich nur durch eine Konstante; beide haben dieselbe Ableitung f.

Der Graph wird senkrecht verschoben. Für Fᵦ liegt der vorgegebene Nullwert nun bei b. Weitere Nullstellen können trotzdem vorkommen.

So geht es am Beispiel

Vergleiche für f(t) = 2t die Funktionen F₀ und F₂.

F0(x)=x2\mathsf{F_0(x)=x^2} — untere Grenze 0.

F0(2)=4\mathsf{F_0(2)=4} — Verschiebungswert.

F2(x)=x2−4\mathsf{F_2(x)=x^2-4} — festen Wert abziehen.

F2(2)=0\mathsf{F_2(2)=0} — neue Ausgangsstelle.

Ergebnis

Der Graph von F₂ liegt um 4 Einheiten unter dem von F₀. Beide haben die Ableitung 2x.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Integralfunktion · EinstiegBestimme F0(x)=∫0x3 dt\mathsf{F_0(x)=\int_0^x3\,dt} und berechne F₀(2).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      G(t)=3t\mathsf{G(t)=3t}
      F0(x)=3x−0\mathsf{F_0(x)=3x-0}
      F0(2)=6\mathsf{F_0(2)=6}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisF0(x)=3x,F0(2)=6\mathsf{F_0(x)=3x,\quad F_0(2)=6}
  2. Aufgabe 2Integralfunktion · EinstiegBestimme F2(x)=∫2x2t dt\mathsf{F_2(x)=\int_2^x2t\,dt} und prüfe den Wert an der unteren Grenze.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      G(t)=t2\mathsf{G(t)=t^2}
      F2(x)=x2−4\mathsf{F_2(x)=x^2-4}
      F2(2)=4−4\mathsf{F_2(2)=4-4}
      F2(2)=0\mathsf{F_2(2)=0}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisF2(x)=x2−4\mathsf{F_2(x)=x^2-4}
  3. Aufgabe 3Integralfunktion · StandardBerechne ∫203 dt\mathsf{\int_2^0 3\,dt} und erkläre das Vorzeichen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      ∫203 dt=−∫023 dt\mathsf{\int_2^0 3\,dt=-\int_0^2 3\,dt}
      −∫023 dt=−(6−0)\mathsf{-\int_0^2 3\,dt=-(6-0)}
      ∫203 dt=−6\mathsf{\int_2^0 3\,dt=-6}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisDie positive Rechteckfläche hat Inhalt 6; die Grenzen sind rückwärts orientiert, daher ist das Integral −6.
  4. Aufgabe 4Integralfunktion · StandardBestimme F1(x)=∫1x(t2+1) dt\mathsf{F_1(x)=\int_1^x(t^2+1)\,dt}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      G(t)=13t3+t\mathsf{G(t)=\frac13t^3+t}
      G(1)=43\mathsf{G(1)=\frac43}
      F1(x)=13x3+x−43\mathsf{F_1(x)=\frac13x^3+x-\frac43}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisF1(x)=13x3+x−43\mathsf{F_1(x)=\frac13x^3+x-\frac43}
  5. Aufgabe 5Integralfunktion · StandardFür f(x) = x−2 und a = 0: Bestimme F₀ und ihre Monotonieintervalle sowie den Tiefpunkt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      F0(x)=12x2−2x\mathsf{F_0(x)=\frac12x^2-2x}
      F0′(x)=x−2\mathsf{F_0^{\prime}(x)=x-2}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Für x < 2 ist die Ableitung negativ, für x > 2 positiv.

      F0(2)=−2\mathsf{F_0(2)=-2}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisStreng fallend auf (−∞;2]\mathsf{(-\infty;2]}, streng steigend auf [2;∞)\mathsf{[2;\infty)}. Tiefpunkt T(2 | −2).
  6. Aufgabe 6Integralfunktion · StandardFür f(x) = 2x vergleiche F₁ und F₃. Gib ihre Differenz F₃−F₁ an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      F1(x)=x2−1\mathsf{F_1(x)=x^2-1}
      F3(x)=x2−9\mathsf{F_3(x)=x^2-9}
      F3(x)−F1(x)=−8\mathsf{F_3(x)-F_1(x)=-8}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisF₃ liegt überall 8 Einheiten unter F₁.
  7. Aufgabe 7Integralfunktion · StandardEine Person folgert aus f(1) > 0, dass Fₐ(1) > 0 sein muss. Widerlege das mit f(t) = 2 und a = 3.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f(1)=2>0\mathsf{f(1)=2>0}
      F3(x)=2x−6\mathsf{F_3(x)=2x-6}
      F3(1)=−4\mathsf{F_3(1)=-4}

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebnisf(1) > 0 bedeutet, dass F₃ dort steigt; der Funktionswert kann trotzdem negativ sein.
  8. Aufgabe 8Integralfunktion · VertiefungEine Person ergänzt bei F0(x)=∫0x2t dt\mathsf{F_0(x)=\int_0^x2t\,dt} ein beliebiges +C. Erkläre, welche Konstante hier möglich ist.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      F0(x)=x2+C\mathsf{F_0(x)=x^2+C} — allgemeine Stammfunktion.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      F0(0)=C\mathsf{F_0(0)=C} — Ausgangsstelle.

    3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg

      C=0\mathsf{C=0} — aus der Integraldefinition.

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisF0(x)=x2\mathsf{F_0(x)=x^2}
  9. Aufgabe 9Integralfunktion · VertiefungWarum hat F0(x)=∫0xt2 dt\mathsf{F_0(x)=\int_0^x t^2\,dt} bei 0 keinen Hoch- oder Tiefpunkt?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      F0(x)=13x3\mathsf{F_0(x)=\frac13x^3}
      F0′(x)=x2\mathsf{F_0^{\prime}(x)=x^2}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      f ist auf beiden Seiten von 0 positiv, wechselt dort also nicht das Vorzeichen. F₀ steigt weiter.

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisWaagerechte Tangente, aber kein Extrempunkt.
  10. Aufgabe 10Integralfunktion · VertiefungDer obere Graph zeigt f(t) = t−1. Berechne F₀(x). Zeichne F₀ in das vorbereitete untere System für 0 ≤ x ≤ 3. Markiere Nullstellen und Tiefpunkt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Leeres unteres Koordinatensystem für F₀; oben bleibt der gegebene Graph f(t) = t − 1 vollständig sichtbar.

    Rechnung und Ergebnis

    Leeres unteres Koordinatensystem für F₀; oben bleibt der gegebene Graph f(t) = t − 1 vollständig sichtbar.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      F0(x)=12x2−x\mathsf{F_0(x)=\frac12x^2-x}
      F0(x)=x(12x−1)\mathsf{F_0(x)=x(\frac12x-1)}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Nullstellen: x = 0 und x = 2.

      F0′(x)=x−1\mathsf{F_0^{\prime}(x)=x-1}
      T(1∣−12)\mathsf{T(1\mid-\frac12)}
      F0(3)=32\mathsf{F_0(3)=\frac32}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisF0(x)=x2/2−x\mathsf{F_0(x)=x^2/2-x}, Nullstellen 0 und 2, Tiefpunkt T(1 | −1/2).

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich halte die untere Grenze fest.
  • Ich beachte die Orientierung links von a.
  • Ich unterscheide den Wert von F und ihre Steigung f.
  • Ich kann den Wechsel der unteren Grenze als konstante Verschiebung erklären.

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