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Daten in Tabellen · Erklären & üben

Kontingenztabelle

Eine Kontingenztabelle ordnet Beobachtungen nach zwei Merkmalen. Du liest gemeinsame Häufigkeiten ab, bildest Randsummen und wählst bei relativen und bedingten Häufigkeiten den passenden Nenner.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Zellen und Ränder lesen

Die Zeilen stehen für ein Merkmal, die Spalten für das andere. Jede innere Zelle zählt eine gemeinsame Kombination. Bei genau einer Klassenzugehörigkeit und genau einem erfassten Verkehrsmittel pro Person darf jede Beobachtung nur einmal in der Tabelle auftreten. Die Zeilen- und Spaltensummen heißen Randhäufigkeiten; beide Summenwege führen zur selben Gesamtzahl.

  1. Lies zuerst Zeilen- und Spaltenüberschriften.

  2. Addiere die Zellen zeilenweise und spaltenweise.

Bei einer2×2-Tabelle werden zwei Merkmale mit je zwei Kategorien kombiniert.

Vierfeldertafel mit vollständigen Zeilen-, Spalten- und Gesamthäufigkeiten.

So geht es am Beispiel

In der dargestellten fiktiven Tabelle nutzen in Klasse A acht Personen das Rad und zwölf den Bus. In Klasse B sind es sechzehn mit Rad und vier mit Bus. Ergänze die Ränder.

Klasse A und B umfassen jeweils20Personen.

24Personen nutzen das Rad,16den Bus; insgesamt sind es40.

Ergebnis

Zeilenränder20und20; Spaltenränder24und16; Gesamtzahl40.

Erklärung 02

Absolute und relative Häufigkeiten

Eine absolute Häufigkeit ist eine Anzahl. Für gemeinsame relative Häufigkeiten teilst du durch die Gesamtzahl aller Beobachtungen. Die vier gemeinsamen Anteile ergeben zusammen eins. Eine bedingte relative Häufigkeit verwendet dagegen nur die Teilgruppe im Nenner, auf die sich die Bedingung bezieht.

  1. Nenne die Bezugsgruppe vor der Division.

  2. Verwechsle einen Zeilenanteil nicht mit einem Anteil an der Gesamttabelle.

Gemeinsam: Zelle geteilt durch Gesamtzahl. Bedingt: Zelle geteilt durch passende Randhäufigkeit.

Vergleich von gemeinsamer und bedingter relativer Häufigkeit mit verschiedenen Bezugsgruppen.

So geht es am Beispiel

Bestimme den Anteil Klasse B und Rad an allen Personen und den Radanteil innerhalb Klasse B.

Gemeinsam:16von40=40Prozent.

Bedingt auf B:16von20=80Prozent.

Ergebnis

40Prozent aller Personen gehören zu B und fahren Rad. Innerhalb von B fahren80Prozent Rad.

Erklärung 03

Tabellenunabhängigkeit und begrenzte Kennzahlen

Die relativen Tabellenhäufigkeiten sind unabhängig, wenn jede gemeinsame Häufigkeit dem Produkt der zugehörigen Randanteile entspricht. Bei positiven Bezugsgruppen kann dies auch mit bedingten Anteilen geprüft werden. Ein Unterschied in einer beobachteten Tabelle ist noch kein Signifikanznachweis für eine Grundgesamtheit. Optionaler Anschluss: Der Pearson-Kontingenzkoeffizient C=χ2χ2+n\mathsf{C=\sqrt{\frac{\chi^2}{\chi^2+n}}} beschreibt einen Zusammenhang aus einer Chi²-Kennzahl. Sein möglicher Höchstwert hängt von der Tabellenform ab; bei2×2 liegt er bei12\mathsf{\frac{1}{\sqrt2}}. Er ist nicht Cramérs V. Ein Chi²-Test mit Voraussetzungen wird im eigenen Testthema behandelt.

  1. Vergleiche bedingte und unbedingte Anteile oder prüfe Zellenprodukte.

  2. Trenne die Beschreibung der Tabelle von einer Aussage über die Grundgesamtheit.

Unabhängige Tabellenanteile faktorisieren; eine Stichprobenbeschreibung allein ersetzt keinen Test.

So geht es am Beispiel

Ist der Radanteil in der gegebenen Tabelle unabhängig von der Klasse?

In A beträgt er8/20=40Prozent; in B16/20=80Prozent.

Insgesamt beträgt er24/40=60Prozent. Die bedingten Anteile stimmen damit nicht überein.

Ergebnis

Die Tabellenanteile sind nicht unabhängig. Daraus folgt ohne weiteren Test noch keine statistisch abgesicherte Aussage über eine Grundgesamtheit.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Kontingenztabelle · EinstiegErgänze die Ränder der Tafel: Klasse A: Rad8, Bus12; Klasse B: Rad16, Bus4.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Die Zeilensummen sind20und20. Spaltenweise ergeben sich24Rad und16Bus. Insgesamt sind es40Personen.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Klasse A gesamt20
    2. Klasse B gesamt20
    3. Rad gesamt24
    4. Bus gesamt16
    5. Gesamtzahl40
  2. Aufgabe 2Kontingenztabelle · EinstiegWandle die vier inneren absoluten Häufigkeiten8,12,16,4 in gemeinsame relative Häufigkeiten um. Die Gesamtzahl beträgt40.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Teile jede Zelle durch40. Die Anteile lauten20,30,40und10Prozent und addieren sich zu100Prozent.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. A und Rad20 %
    2. A und Bus30 %
    3. B und Rad40 %
    4. B und Bus10 %
  3. Aufgabe 3Kontingenztabelle · StandardBestimme den Radanteil innerhalb Klasse A sowie den Anteil von Klasse B innerhalb der Radfahrenden.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Für die erste Frage lautet der Nenner20:8/20=40Prozent.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Für die zweite Frage lautet der Nenner24:16/24=2/3≈66,67Prozent.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Rad innerhalb A40 %
    2. B innerhalb Rad2/3 bzw. etwa66,67 %
  4. Aufgabe 4Kontingenztabelle · StandardPrüfe die Unabhängigkeit an der Zelle A und Rad. Die Randanteile sind A:1/2 und Rad:3/5.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Das Produkt der Ränder beträgt3/10=30Prozent. Der gemeinsame beobachtete Anteil ist8/40=20Prozent.

    Ergebnis

    1. Vergleich und Entscheidung20Prozent ist ungleich30Prozent; die Tabellenanteile faktorisieren nicht.
  5. Aufgabe 5Kontingenztabelle · TransferErgänze die vorbereiteten100-Prozent-Balken für die Klassen: A mit8Rad und12Bus, B mit16Rad und4Bus. Verwende die vorgegebene Legende.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Prozentbalken

    Zwei vorbereitete Prozentbalken mit Klassenbezeichnung,0bis100Prozentachse und Legende Rad/Bus.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Beide Klassen umfassen20Personen. Rad erhält in A40Prozent, Bus60Prozent; in B erhält Rad80Prozent, Bus20Prozent.

    Ergebnis

    1. ProzentbalkenDie geschützte Musterzeichnung zeigt die vorgegebenen Häufigkeiten.
  6. Aufgabe 6Kontingenztabelle · TransferEine andere Tabelle enthält C: Rad6, Bus4 und D: Rad12, Bus8. Sind die Radanteile in diesen beiden Gruppen gleich?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      In C gilt6/10=60Prozent, in D12/20=60Prozent. Auch insgesamt sind18von30gleich60Prozent.

    Ergebnis

    1. EntscheidungJa. Die relativen Anteile der beiden Merkmale faktorisieren in dieser Tabelle.
  7. Aufgabe 7Kontingenztabelle · TransferOptional: Für die erste Tabelle sind χ2=203\mathsf{\chi^2=\frac{20}{3}} und n=40\mathsf{n=40} gegeben. Berechne den Pearson-Kontingenzkoeffizienten mit C=χ2χ2+n\mathsf{C=\sqrt{\frac{\chi^2}{\chi^2+n}}}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Im Bruch ergibt sich20/3140/3=17\mathsf{\frac{20/3}{140/3}=\frac17}. Die positive Wurzel ist etwa0,378.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      C ist eine Zusammenhangskennzahl mit tabellenabhängigem Höchstwert und keine Irrtumswahrscheinlichkeit.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Koeffizient C17≈0,378\mathsf{\frac1{\sqrt7}\approx0{,}378}
    2. EinordnungKein p-Wert und kein Signifikanznachweis; Tabellenform beachten.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich ordne Zellen, Zeilen- und Spaltensummen richtig zu.
  • Ich nenne vor jeder relativen Häufigkeit die Bezugsgruppe.
  • Ich trenne gemeinsame und bedingte Häufigkeiten sowie Beschreibung und Testaussage.

AT Academy · Version 2026-10-21

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