Lineare Funktionen · Erklären & üben

Lineare Funktionen

Lineare Funktionen beschreiben eine gleichmäßige Änderung: Gleiche Schritte bei der Eingabe führen immer zu gleich großen Änderungen der Ausgabe. Ihr Graph ist eine Gerade oder ein entsprechender Ausschnitt davon.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Die Form y = mx + b lesen

In der schulischen Bezeichnung hat eine lineare Funktion die Form $\mathsf{f(x)=mx+b}$ . m und b sind feste Zahlen, x ist die Eingabe und $\mathsf{f(x)}$ die Ausgabe.

m heißt Steigung, b heißt y-Achsenabschnitt. Bei x = 0 ist $\mathsf{f(0)=b}$ , sofern 0 zum Definitionsbereich gehört. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist dann $\mathsf{(0\mid b)}$ .

Für $\mathsf{b=0}$ ist die Zuordnung proportional. Die mathematische Bezeichnung für die allgemeine Form mit beliebigem b ist auch „affine Funktion“.

So geht es am Beispiel

Lies die beiden Kennwerte aus $\mathsf{f(x)=2x-3}$ ab und berechne $\mathsf{f(4)}$ .

\mathsf{m=2}

\mathsf{b=-3}

\mathsf{f(4)=2\cdot4-3}

\mathsf{f(4)=5}

Erklärung 02

Steigung als konstante Änderung

Bei $\mathsf{m>0}$ steigt der Graph, bei $\mathsf{m<0}$ fällt er. Bei $\mathsf{m=0}$ bleibt die Ausgabe konstant: Der Graph ist waagerecht.

Für eine beliebige Änderung $\mathsf{\Delta x}$ gilt $\mathsf{\Delta y=m\Delta x}$ . Bei $\mathsf{m=1/2}$ steigt y beispielsweise um 1, wenn x um 2 zunimmt.

Die Einheit von m ist „Einheit der Ausgabe pro Einheit der Eingabe“. In einem Preis-Strecke-Modell bedeutet Euro pro Kilometer etwas anderes als der Anfangspreis in Euro.

Erklärung 03

Term, Tabelle und Graph verbinden

Wähle Eingabewerte, berechne die Ausgaben und trage die Punkte mit beschrifteten Achsen ein. Zwei verschiedene Punkte legen eine Gerade fest; ein dritter Punkt hilft beim sorgfältigen Zeichnen.

Im mathematischen Grundmodell ist $\mathsf{D=\mathbb R}$ . Ein Sachmodell kann nur ein Intervall oder einzelne ganzzahlige Eingaben erlauben. Dann gehört nur dieser Teil der Geraden zum Graphen.

Beschriftete Gerade mit vier Tabellenpunkten, Achsenabschnitt und Steigungsdreieck.

So geht es am Beispiel

Erstelle für $\mathsf{f(x)=\frac12x+1}$ eine Tabelle zu x = −2, 0, 2, 4.

\mathsf{f(-2)=-1+1=0}

\mathsf{f(0)=1}

\mathsf{f(2)=1+1=2}

\mathsf{f(4)=2+1=3}

Punkte: $\mathsf{(-2\mid0),(0\mid1),(2\mid2),(4\mid3)}$ .

Erklärung 04

Sachmodell mit Einheiten

Eine Grundgebühr wird durch b beschrieben, ein gleichbleibender Preis pro Einheit durch m. Das Modell gilt nur im angegebenen Bereich.

Preistabelle mit konstantem Zuwachs von 3 Euro je Stunde und 4 Euro Grundgebühr.

So geht es am Beispiel

Ein Fahrradverleih verlangt 4 Euro Grundgebühr und 3 Euro je Stunde. Für Buchungen von 0 bis 6 Stunden wird minutengenau abgerechnet. Stelle das Modell auf und berechne den Preis für 2,5 Stunden.

\mathsf{K(t)=3t+4}

\mathsf{D=[0,6]}

\mathsf{K(2{,}5)=3\cdot2{,}5+4}

\mathsf{K(2{,}5)=11{,}50\,\mathsf{Euro}}

Erklärung 05

Nullstelle und konstante Funktionen

Eine Nullstelle erfüllt $\mathsf{mx+b=0}$ . Für $\mathsf{m\ne0}$ folgt $\mathsf{x=-b/m}$ . Prüfe im Sachmodell zusätzlich, ob dieser Wert erlaubt und sinnvoll ist.

Bei $\mathsf{m=0}$ darfst du nicht durch m teilen. Die Funktion $\mathsf{f(x)=5}$ besitzt keine Nullstelle, $\mathsf{f(x)=0}$ besitzt jede erlaubte Eingabe als Nullstelle.

Eine senkrechte Gerade $\mathsf{x=c}$ ist kein Graph einer Funktion y von x: Zur einen Eingabe c gehören viele verschiedene y-Werte.

So geht es am Beispiel

Bestimme die Nullstelle von $\mathsf{f(x)=-2x+6}$ auf $\mathsf{\mathbb R}$ .

\mathsf{-2x+6=0}

\mathsf{-2x=-6}

\mathsf{x=3}

\mathsf{f(3)=-6+6=0}

Erklärung 06

Geraden vergleichen: ein erster Überblick

Gleiche Steigung und verschiedene Achsenabschnitte ergeben parallele Geraden. Stimmen m und b überein, ist es dieselbe Gerade.

Bei verschiedenen Steigungen gibt es im vollständigen reellen Modell genau einen Schnittpunkt. Dort sind die Funktionswerte gleich. Ausführliche Verfahren für Geradengleichungen, Steigung und Schnittwinkel folgen in eigenen Themen.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Lineare Funktionen · EinstiegLies m und b aus $\mathsf{f(x)=-3x+7}$ ab. Beschreibe den Verlauf.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bearbeitung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{m=-3}$
  $\mathsf{b=7}$
Ergebnis
1. Bearbeitung und ErgebnisFallende Gerade; pro 1 nach rechts geht es 3 nach unten. y-Achsenabschnitt 7.
02
Aufgabe 2Lineare Funktionen · EinstiegFülle die Tabelle von $\mathsf{f(x)=2x-1}$ für x = −1, 0, 1, 2.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bearbeitung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(-1)=-2-1=-3}$
  $\mathsf{f(0)=-1}$
  $\mathsf{f(1)=1}$
  $\mathsf{f(2)=3}$
Ergebnis
1. Bearbeitung und ErgebnisWerte: −3, −1, 1, 3.
03
Aufgabe 3Lineare Funktionen · StandardZeichne $\mathsf{f(x)=-x+2}$ auf kariertem Papier. Nutze die Punkte bei x = 0, 1, 2 und nenne die Achsenschnittpunkte.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bearbeitung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(0)=2}$
  $\mathsf{f(1)=1}$
  $\mathsf{f(2)=0}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die Punkte $\mathsf{(0\mid2),(1\mid1),(2\mid0)}$ geradlinig verbinden.
Ergebnis
1. Bearbeitung und Ergebnisy-Achse: $\mathsf{(0\mid2)}$ ; x-Achse: $\mathsf{(2\mid0)}$ . Die Gerade fällt.
04
Aufgabe 4Lineare Funktionen · StandardEin Graph hat Steigung 4 und schneidet die y-Achse bei −2. Gib den Term und den Wert bei 3 an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bearbeitung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(x)=4x-2}$
  $\mathsf{f(3)=12-2=10}$
Ergebnis
1. Bearbeitung und Ergebnis $\mathsf{f(x)=4x-2}$ , $\mathsf{f(3)=10}$ .
05
Aufgabe 5Lineare Funktionen · StandardEine Tabelle enthält die Werte 5, 8, 11 bei x = 0, 1, 2. Bestimme das passende lineare Modell.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bearbeitung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Je Schritt um 1 steigt der Wert um 3.
  $\mathsf{m=3}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Bei 0 ist der Wert 5: $\mathsf{b=5}$ .
Ergebnis
1. Bearbeitung und Ergebnis $\mathsf{f(x)=3x+5}$ .
06
Aufgabe 6Lineare Funktionen · StandardEin Lieferdienst verlangt 6 Euro Grundgebühr und 2 Euro pro Kilometer. Stelle K(s) auf und berechne die Kosten für 4 Kilometer.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bearbeitung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{K(s)=2s+6}$
  $\mathsf{K(4)=8+6=14}$
Ergebnis
1. Bearbeitung und Ergebnis14 Euro; Steigung 2 Euro/km, Anfangswert 6 Euro. Die Strecke s ist nicht negativ.
07
Aufgabe 7Lineare Funktionen · StandardBestimme die Nullstelle von $\mathsf{f(x)=3x-12}$ und führe die Probe aus.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bearbeitung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3x-12=0}$
  $\mathsf{3x=12}$
  $\mathsf{x=4}$
  $\mathsf{f(4)=12-12=0}$
Ergebnis
1. Bearbeitung und ErgebnisNullstelle 4; Punkt $\mathsf{(4\mid0)}$ .
08
Aufgabe 8Lineare Funktionen · VertiefungVergleiche $\mathsf{f(x)=5}$ , $\mathsf{g(x)=0}$ und die senkrechte Gerade x = 2.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bearbeitung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  f und g haben beide Steigung 0.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  f nimmt nie den Wert 0 an.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  g nimmt überall den Wert 0 an.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  Bei x = 2 sind auf der senkrechten Geraden viele y-Werte möglich.
Ergebnis
1. Bearbeitung und Ergebnisf: konstante Funktion ohne Nullstelle. g: Nullfunktion. x = 2: kein Funktionsgraph y von x.
09
Aufgabe 9Lineare Funktionen · VertiefungSind $\mathsf{f(x)=2x+1}$ und $\mathsf{g(x)=2x-4}$ parallel? Gib eine weitere zu f parallele, verschiedene Gerade an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bearbeitung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Beide Steigungen sind 2, die Achsenabschnitte sind verschieden.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Eine weitere Gerade muss m = 2 und ein anderes b besitzen.
Ergebnis
1. Bearbeitung und ErgebnisJa. Zum Beispiel $\mathsf{h(x)=2x+3}$ .
10
Aufgabe 10Lineare Funktionen · VertiefungBestimme den Schnittpunkt von $\mathsf{f(x)=x+1}$ und $\mathsf{g(x)=-x+5}$ im vollständigen reellen Modell.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bearbeitung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x+1=-x+5}$
  $\mathsf{2x=4}$
  $\mathsf{x=2}$
  $\mathsf{y=f(2)=3}$
  $\mathsf{g(2)=-2+5=3}$
Ergebnis
1. Bearbeitung und ErgebnisSchnittpunkt $\mathsf{(2\mid3)}$ .

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich deute Steigung und Achsenabschnitt mit passenden Einheiten.
Ich wechsle zwischen Term, Tabelle, Graph und Sachbeschreibung.
Ich beachte den Definitionsbereich und konstante Sonderfälle.

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