Orthogonale Projektion · Erklären & üben

Orthogonale Projektion

Eine orthogonale Projektion trifft die Zielgerade oder Zielebene im rechten Winkel. Du berechnest den Lotfuß und kontrollierst, ob der verbleibende Abstand wirklich senkrecht zur Zielrichtung ist.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Projektion und senkrechter Rest

Bei einer Projektion auf die Richtung $\mathsf{\vec u}$ zerlegst du einen Vektor $\mathsf{\vec a}$ in einen parallelen Anteil $\mathsf{\vec p}$ und einen senkrechten Rest $\mathsf{\vec r}$ : $\mathsf{\vec a=\vec p+\vec r}$ .

Es muss $\mathsf{\vec u\ne\vec0}$ gelten. Sonst gibt es keine Projektionsrichtung. Die Projektion kann der Nullvektor sein, obwohl $\mathsf{\vec a}$ nicht null ist.

Der Vektor a wird in den waagerechten Projektionsvektor p und den dazu senkrechten Rest r zerlegt.

Erklärung 02

Auf eine Vektorrichtung projizieren

Der parallele Anteil hat die Form $\mathsf{\vec p=t\vec u}$ . Wegen der geforderten Orthogonalität gilt $\mathsf{(\vec a-t\vec u)\cdot\vec u=0}$ .

Daraus folgt $\mathsf{\vec a\cdot\vec u-t(\vec u\cdot\vec u)=0}$ . Auflösen liefert $\mathsf{t=\frac{\vec a\cdot\vec u}{\vec u\cdot\vec u}}$ .

Die Projektionsformel lautet somit $\mathsf{\vec p=\frac{\vec a\cdot\vec u}{\vec u\cdot\vec u}\vec u}$ . Sie funktioniert in der Ebene und im Raum. Der Nenner ist $\mathsf{|\vec u|^2}$ , nicht nur $\mathsf{|\vec u|}$ .

So geht es am Beispiel

Projiziere $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}}$ auf die Richtung $\mathsf{\vec u=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$ .

\mathsf{\vec a\cdot\vec u=4+2=6}

\mathsf{\vec u\cdot\vec u=1+1=2}

\mathsf{t=\frac62=3}

\mathsf{\vec p=3\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}}

\mathsf{\vec r=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}

\mathsf{\vec r\cdot\vec u=1-1=0}

Erklärung 03

Lotfuß auf einer Geraden

Eine Gerade besitzt die Form $\mathsf{g:\vec x=\vec A+t\vec u}$ . Um einen Punkt P zu projizieren, verwendest du zuerst den Verbindungsvektor $\mathsf{\vec w=\vec P-\vec A}$ .

Berechne $\mathsf{t=\frac{(\vec P-\vec A)\cdot\vec u}{\vec u\cdot\vec u}}$ . Der Lotfuß ist $\mathsf{\vec H=\vec A+t\vec u}$ . Erst am Ende addierst du den Stützvektor wieder dazu.

Die Kontrolle lautet $\mathsf{(\vec P-\vec H)\cdot\vec u=0}$ . Die Entfernung von P zur Geraden ist $\mathsf{|\vec P-\vec H|}$ .

So geht es am Beispiel

Bestimme den Lotfuß von P(4 | 3) auf $\mathsf{g:\vec x=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$ .

\mathsf{\vec w=\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}}

\mathsf{\vec w\cdot\vec u=3\cdot2+4\cdot1=10}

\mathsf{\vec u\cdot\vec u=2^2+1^2=5}

\mathsf{t=\frac{10}5=2}

\mathsf{\vec H=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}}

\mathsf{\vec P-\vec H=\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}}

\mathsf{(-1)\cdot2+2\cdot1=0}

Erklärung 04

Im Raum genauso rechnen

In drei Dimensionen ergänzt du jeweils die dritte Komponente. Der Lotfuß muss auf der Geraden liegen; der Rest muss senkrecht auf ihrem Richtungsvektor stehen. Beide Bedingungen sind nötig.

So geht es am Beispiel

Projiziere P(4 | 3 | 1) auf $\mathsf{g:\vec x=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}}$ .

\mathsf{\vec w=\begin{pmatrix}3\\3\\0\end{pmatrix}}

\mathsf{\vec w\cdot\vec u=3+6+0=9}

\mathsf{\vec u\cdot\vec u=1+4+4=9}

\mathsf{t=1}

\mathsf{\vec H=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\\3\end{pmatrix}}

\mathsf{\vec r=\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}}

\mathsf{\vec r\cdot\vec u=2+2-4=0}

Erklärung 05

Vertiefung: auf eine Ebene projizieren

Eine Ebene durch A mit Normalenvektor $\mathsf{\vec n\ne\vec0}$ hat die Gleichung $\mathsf{\vec n\cdot(\vec x-\vec A)=0}$ . Der Lotweg verläuft diesmal parallel zur Normalen.

Ziehe vom Punkt die Normalenkomponente ab: $\mathsf{\vec H=\vec P-\frac{(\vec P-\vec A)\cdot\vec n}{\vec n\cdot\vec n}\vec n}$ . Kontrolliere danach die Ebenengleichung.

Hier geht es um konkrete Geraden und Ebenen. Allgemeine Projektionsoperatoren und abstrakte Hilberträume sind nicht Gegenstand dieses Themas.

So geht es am Beispiel

Projiziere P(4 | 2 | 1) auf die Ebene x + y + z = 1. Nutze A(1 | 0 | 0) und $\mathsf{\vec n=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}$ .

\mathsf{\vec P-\vec A=\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}}

\mathsf{(\vec P-\vec A)\cdot\vec n=6}

\mathsf{\vec n\cdot\vec n=3}

\mathsf{\vec H=\begin{pmatrix}4\\2\\1\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}

\mathsf{\vec H=\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}}

\mathsf{2+0-1=1}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Orthogonale Projektion · EinstiegProjiziere $\mathsf{\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}}$ auf die Richtung $\mathsf{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$ . Gib auch den senkrechten Rest an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Projektion mit Rechenweg
Rest und Orthogonalitätskontrolle
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{t=\frac{5+1}{1+1}=3}$
  $\mathsf{\vec p=\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}}$
  $\mathsf{\vec r=\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}}$
  $\mathsf{\vec r\cdot\vec u=2-2=0}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Projektion mit Rechenweg $\mathsf{\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}}$
2. Rest und Orthogonalitätskontrolle $\mathsf{\begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}}$ ; $\mathsf{\vec r\cdot\vec u=0}$ .
02
Aufgabe 2Orthogonale Projektion · EinstiegProjiziere $\mathsf{\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}}$ auf $\mathsf{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$ . Deute das Ergebnis.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Projektion und Bedeutung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec a\cdot\vec u=2-2=0}$
  $\mathsf{t=0}$
  $\mathsf{\vec p=\vec0}$
Ergebnis
1. Projektion und BedeutungDie Projektion ist der Nullvektor. Der Ausgangsvektor steht bereits senkrecht auf der Zielrichtung.
03
Aufgabe 3Orthogonale Projektion · StandardProjiziere $\mathsf{\begin{pmatrix}-2\\4\end{pmatrix}}$ auf $\mathsf{\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}$ . Erkläre das negative Vorzeichen des Faktors.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Projektion
Vorzeichen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{t=\frac{-4}{4}=-1}$
  $\mathsf{\vec p=-1\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\0\end{pmatrix}}$
  $\mathsf{\vec r=\begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Projektion $\mathsf{\begin{pmatrix}-2\\0\end{pmatrix}}$
2. VorzeichenDie Projektion zeigt entgegen der gewählten Richtung von u.
04
Aufgabe 4Orthogonale Projektion · StandardProjiziere $\mathsf{\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}}$ auf die Raumrichtung $\mathsf{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}$ . Kontrolliere den Rest.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Projektion
Rest und Kontrolle
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{t=\frac{2+0+1}{1+0+1}=\frac32}$
  $\mathsf{\vec p=\begin{pmatrix}\frac32\\0\\\frac32\end{pmatrix}}$
  $\mathsf{\vec r=\begin{pmatrix}\frac12\\3\\-\frac12\end{pmatrix}}$
  $\mathsf{\vec r\cdot\vec u=\frac12-\frac12=0}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Projektion $\mathsf{\begin{pmatrix}\frac32\\0\\\frac32\end{pmatrix}}$
2. Rest und Kontrolle $\mathsf{\begin{pmatrix}\frac12\\3\\-\frac12\end{pmatrix}}$ ; Skalarprodukt mit u: 0.
05
Aufgabe 5Orthogonale Projektion · StandardBestimme den Lotfuß von P(3 | 5) auf $\mathsf{g:\vec x=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Lotfuß mit Rechenweg
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec w=\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}$
  $\mathsf{t=\frac{1+8}{1+4}=\frac95}$
  $\mathsf{\vec H=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}+\frac95\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$
  $\mathsf{\vec H=\begin{pmatrix}\frac{19}5\\\frac{23}5\end{pmatrix}}$
Ergebnis
1. Lotfuß mit Rechenweg $\mathsf{H\left(\frac{19}5\mid\frac{23}5\right)}$
06
Aufgabe 6Orthogonale Projektion · StandardP(4 | 5) soll auf die Gerade durch A(1 | 2) mit Richtung $\mathsf{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ projiziert werden. Jemand nennt H(4 | 0). Finde den Fehler und den richtigen Lotfuß.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fehler
Richtiger Lotfuß
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der falsche Punkt liegt auf der x-Achse statt auf der gegebenen Geraden y = 2.
  $\mathsf{\vec w=\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}}$
  $\mathsf{t=3}$
  $\mathsf{\vec H=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. FehlerDer Stützpunkt wurde nicht berücksichtigt.
2. Richtiger LotfußH(4 | 2)
07
Aufgabe 7Orthogonale Projektion · StandardIn der Zeichnung sind P(4 | 2) und die Gerade g: y = x gegeben. Konstruiere den Lotfuß H, zeichne die Strecke PH und berechne H.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zeichnung und Lotfuß
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Zeichnung und Lotfuß
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{t=\frac{4+2}{1+1}=3}$
  $\mathsf{\vec H=\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}}$
  $\mathsf{\vec P-\vec H=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$
  $\mathsf{1\cdot1+(-1)\cdot1=0}$
Ergebnis
1. Zeichnung und LotfußH(3 | 3); PH steht senkrecht auf g.
08
Aufgabe 8Orthogonale Projektion · VertiefungBestimme den Lotfuß von P(3 | 2 | 4) auf $\mathsf{g:\vec x=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}}$ und die Entfernung zur Geraden.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Lotfuß
Entfernung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec w=\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}}$
  $\mathsf{t=\frac{0+2+4}{0+1+1}=3}$
  $\mathsf{\vec H=\begin{pmatrix}1\\3\\3\end{pmatrix}}$
  $\mathsf{\vec P-\vec H=\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}}$
  $\mathsf{d=\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt6}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. LotfußH(1 | 3 | 3)
2. Entfernung $\mathsf{\sqrt6}$ Längeneinheiten.
09
Aufgabe 9Orthogonale Projektion · VertiefungBegründe ohne neue Projektion: a) Ändert sich der Lotfuß, wenn u durch −2u ersetzt wird? b) Darf als Richtung der Nullvektor eingesetzt werden?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
a) Begründung
b) Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  a) Beide Richtungsvektoren beschreiben dieselbe Gerade. Der Faktor t passt sich an, sodass der Projektionsvektor gleich bleibt.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  b) Der Nenner u · u wäre 0; außerdem fehlt eine Richtung.
Ergebnisse & Teilantworten
1. a) BegründungNein. Die Zielgerade bleibt gleich, daher auch der Lotfuß.
2. b) BegründungNein. Der Nullvektor ist keine zulässige Projektionsrichtung.
10
Aufgabe 10Orthogonale Projektion · VertiefungVertiefung: Projiziere P(2 | 3 | 4) auf die Ebene x + z = 2. Nutze A(2 | 0 | 0) und $\mathsf{\vec n=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}$ . Kontrolliere das Ergebnis.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Lotfuß
Kontrolle
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec P-\vec A=\begin{pmatrix}0\\3\\4\end{pmatrix}}$
  $\mathsf{\lambda=\frac{0+0+4}{1+0+1}=2}$
  $\mathsf{\vec H=\begin{pmatrix}2\\3\\4\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}$
  $\mathsf{\vec H=\begin{pmatrix}0\\3\\2\end{pmatrix}}$
  $\mathsf{0+2=2}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. LotfußH(0 | 3 | 2)
2. KontrolleDer Punkt erfüllt x + z = 2. Der Rest (2 | 0 | 2) ist parallel zum Normalenvektor.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich verwende einen von null verschiedenen Richtungsvektor.
Bei einer Geraden berücksichtige ich den Stützpunkt.
Ich prüfe Lotfuß und Orthogonalität des Restes.

AT Academy · Version 2026-10-21