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Dreiecke und Winkelfunktionen · Erklären & üben

Periodizität

Eine Funktion ist periodisch, wenn sich ihr gesamter Verlauf nach einer festen positiven Verschiebung wiederholt. Zwei zufällig gleich hohe Punkte genügen dafür nicht: Die Wiederholung muss für jede zulässige Stelle gelten.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Was bedeutet eine Periode?

Eine Zahl T>0\mathsf{T>0} ist eine Periode, wenn der Definitionsbereich unter Verschiebung um T unverändert bleibt und f(x+T)=f(x)\mathsf{f(x+T)=f(x)} für alle x im Definitionsbereich gilt. Existiert eine kleinste positive Periode, heißt sie Grundperiode. Auch positive ganzzahlige Vielfache einer Periode sind Perioden. Bei einer konstanten Funktion ist jede positive Zahl eine Periode; es gibt keine kleinste positive.

  1. Kläre Winkeleinheit und ob die Funktion konstant ist.

  2. Bestimme eine positive Wiederholung und begründe, ob sie die kleinste ist.

f(x+T)=f(x),T>0\mathsf{f(x+T)=f(x),\qquad T>0}

Zwei Wiederholungen auf [0, 2π]

So geht es am Beispiel

Welche kleinste positive Periode hat f(x)=sin⁡x\mathsf{f(x)=\sin x} im Bogenmaß?

Nach einer vollen Umdrehung wiederholen sich alle Sinuswerte.

sin⁡(x+2π)=sin⁡x\mathsf{\sin(x+2\pi)=\sin x}

Ergebnis

T=2π\mathsf{T=2\pi}

Erklärung 02

Der Faktor vor x verändert die Periode

Für f(x)=asin⁡(bx+c)+d\mathsf{f(x)=a\sin(bx+c)+d} mit a≠0\mathsf{a\ne0} und b≠0\mathsf{b\ne0} gilt im Bogenmaß T=2π/∣b∣\mathsf{T=2\pi/|b|}. Dieselbe Regel gilt für Cosinus. Der Betrag sorgt für eine positive Länge. Amplitude a und Verschiebungen c,d verändern diese Grundperiode nicht. Im Gradmaß steht anstelle von 2π\mathsf{2\pi} der Vollwinkel 360∘\mathsf{360^\circ}. Beim Tangens lautet der Zähler π\mathsf{\pi} beziehungsweise 180∘\mathsf{180^\circ}.

  1. Kläre Winkeleinheit und ob die Funktion konstant ist.

  2. Bestimme eine positive Wiederholung und begründe, ob sie die kleinste ist.

T=2π∣b∣\mathsf{T=\frac{2\pi}{|b|}}

So geht es am Beispiel

Bestimme die Grundperiode von f(x)=3sin⁡(−2x+π/3)+4\mathsf{f(x)=3\sin(-2x+\pi/3)+4} im Bogenmaß.

b=−2,∣b∣=2\mathsf{b=-2,\quad|b|=2}
T=2π/2=π\mathsf{T=2\pi/2=\pi}

Die3 vor dem Sinus und beide Verschiebungen ändern die Periodenlänge nicht.

Ergebnis

T=π\mathsf{T=\pi}

Erklärung 03

Eine Summe braucht eine gemeinsame Wiederholung

Für eine Summe suchst du eine positive Zahl, die für beide Summanden eine Periode ist. Eine solche gemeinsame Periode ist auch eine Periode der Summe; die kleinste Periode der Summe kann durch besondere Vereinfachungen kleiner werden. Die einzelnen Perioden werden nicht addiert. Prüfe eine behauptete Periode durch Einsetzen; ein einziges Gegenbeispiel widerlegt sie.

  1. Kläre Winkeleinheit und ob die Funktion konstant ist.

  2. Bestimme eine positive Wiederholung und begründe, ob sie die kleinste ist.

f(x)=sin⁡x+sin⁡(2x)\mathsf{f(x)=\sin x+\sin(2x)}

Perioden werden nicht addiert

So geht es am Beispiel

Ist 3π\mathsf{3\pi} eine Periode dieser Summe? Nenne außerdem eine gültige Periode.

f(π/2)=1+0=1\mathsf{f(\pi/2)=1+0=1}
f(π/2+3π)=f(7π/2)=−1+0=−1\mathsf{f(\pi/2+3\pi)=f(7\pi/2)=-1+0=-1}

2π\mathsf{2\pi} ist eine Periode beider Summanden und damit der Summe.

Ergebnis

3π\mathsf{3\pi} ist keine Periode; 2π\mathsf{2\pi} ist eine gültige Periode.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Periodizität · standardBestimme die kleinste positive Periode von f(x)=sin⁡(4x)\mathsf{f(x)=\sin(4x)} im Bogenmaß.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      b=4⇒T=2π/4\mathsf{b=4\Rightarrow T=2\pi/4}

    Ergebnis

    1. GrundperiodeT=π/2\mathsf{T=\pi/2}
  2. Aufgabe 2Periodizität · standardBestimme die Grundperiode von g(x)=cos⁡(−3x)\mathsf{g(x)=\cos(-3x)} im Bogenmaß.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      ∣−3∣=3\mathsf{|-3|=3}
      T=2π/3\mathsf{T=2\pi/3}

    Ergebnis

    1. GrundperiodeT=2π/3\mathsf{T=2\pi/3}
  3. Aufgabe 3Periodizität · standardBei h(α)=sin⁡(2α)\mathsf{h(\alpha)=\sin(2\alpha)} wird α\mathsf{\alpha} im Gradmaß angegeben. Bestimme die Grundperiode.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      T=360∘/2\mathsf{T=360^\circ/2}

    Ergebnis

    1. GrundperiodeT=180∘\mathsf{T=180^\circ}
  4. Aufgabe 4Periodizität · standardBestimme die Grundperiode von f(x)=4sin⁡(2x−1)+7\mathsf{f(x)=4\sin(2x-1)+7} im Bogenmaß. Welche Zahl ist dafür entscheidend?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      b=2⇒T=2π/2=π\mathsf{b=2\Rightarrow T=2\pi/2=\pi}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Amplitude4 sowie Verschiebungen minus1 im Argument und plus7 außerhalb ändern diese Periode nicht.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. GrundperiodeT=π\mathsf{T=\pi}
    2. Entscheidender Faktorb=2\mathsf{b=2}
  5. Aufgabe 5Periodizität · standardDie Vorlage zeigt y=sin⁡(2x)\mathsf{y=\sin(2x)} für 0≤x≤π\mathsf{0\le x\le\pi}. Ergänze den Verlauf bis 2π\mathsf{2\pi} und markiere die Länge einer Periode. Alle x-Werte sind im Bogenmaß.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Graph und Periode

    Leere Zeichenvorlage mit vorgegebenen Achsen, Rasterlinien und Punkten; gesuchte Ergänzungen fehlen.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung
      T=2π/2=π\mathsf{T=2\pi/2=\pi}
    2. Schritt 2 · Erklärung

      Kopiere die vorhandene Kurve um π nach rechts. Die Fortsetzung hat Nullstellen bei π,3π/2,2π, ein Maximum bei5π/4 und ein Minimum bei7π/4.

    Ergebnis

    1. Graph und PeriodeWiederholung auf [π,2π]\mathsf{[\pi,2\pi]}; markierte Periodenlänge T=π\mathsf{T=\pi}.
  6. Aufgabe 6Periodizität · standardFür f(x)=sin⁡x+sin⁡(2x)\mathsf{f(x)=\sin x+\sin(2x)} wird die Periode als 2π+π=3π\mathsf{2\pi+\pi=3\pi} angegeben. Widerlege das mit x=π/2\mathsf{x=\pi/2} und nenne eine gültige gemeinsame Periode.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f(π/2)=1\mathsf{f(\pi/2)=1}
      f(7π/2)=−1\mathsf{f(7\pi/2)=-1}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die beiden Werte unterscheiden sich. Beide Summanden wiederholen sich nach2π.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Gegenbeispiel1≠−1\mathsf{1\ne-1}
    2. Gültige PeriodeT=2π\mathsf{T=2\pi}
  7. Aufgabe 7Periodizität · standardWelche positiven Perioden besitzt f(x)=0⋅sin⁡(3x)+2\mathsf{f(x)=0\cdot\sin(3x)+2}? Darf 2π/3\mathsf{2\pi/3} als kleinste positive Periode bezeichnet werden?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      f(x)=2\mathsf{f(x)=2} für alle reellen x.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Jede positive Verschiebung lässt die Werte unverändert. Zu jeder positiven Zahl gibt es eine kleinere positive Zahl.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. PeriodenJede positive Zahl.
    2. Kleinste positive PeriodeEs gibt keine;2π/3 ist nur eine von vielen Perioden.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich gebe eine Periode immer positiv und in der passenden Winkeleinheit an.
  • Ich unterscheide Amplitude, Verschiebung und Frequenzfaktor.
  • Ich prüfe Summen über gemeinsame Perioden statt durch Addition.

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