Polynomdivision · Erklären & üben

Polynomdivision

Die Polynomdivision zerlegt ein Polynom in ein Produkt aus Teiler und Quotient plus Rest. Der wiederholte Ablauf lautet: führende Terme dividieren, zurückmultiplizieren, subtrahieren und mit dem verbleibenden Polynom fortfahren.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Was das Ergebnis bedeutet

Für ein Polynom P und ein Teilerpolynom D, das nicht das Nullpolynom ist, suchen wir Q und R mit:

\mathsf{P(x)=D(x)Q(x)+R(x)}

Der Rest ist 0 oder hat einen kleineren Grad als D. Die Produktgleichung ist eine Polynomidentität und gilt für alle reellen x.

Als Bruch gilt dagegen nur für $\mathsf{D(x)\ne0}$ :

\mathsf{\frac{P(x)}{D(x)}=Q(x)+\frac{R(x)}{D(x)}}

Ein Teilerpolynom kann zulässig sein, obwohl es einzelne Nullstellen besitzt. An diesen Stellen ist nur der zugehörige Bruch nicht definiert.

Erklärung 02

Sortieren und fehlende Potenzen ergänzen

Ordne Dividend und Teiler nach fallenden Potenzen. Fehlende Potenzen erhalten den Koeffizienten 0. So bleiben gleichartige Terme in derselben Spalte.

Beispiel: $\mathsf{x^3+2x-5=x^3+0x^2+2x-5}$ . Beim Subtrahieren wird das gesamte zurückmultiplizierte Polynom abgezogen, einschließlich aller Vorzeichen.

Erklärung 03

Vollständiges Beispiel ohne Rest

Der höchste Term des aktuellen Restpolynoms bestimmt den nächsten Quotiententerm. Der Grad sinkt nach jedem korrekten Subtraktionsschritt.

Ablauf einer Polynomdivision mit getrenntem Teilansatz, Produkt und Subtraktion.

So geht es am Beispiel

Dividiere $\mathsf{x^3-2x^2-x+2}$ durch $\mathsf{x-1}$ .

Teilansatz: $\mathsf{x^3:x=x^2}$ .

Multiplikation: $\mathsf{x^2(x-1)=x^3-x^2}$ .

Subtraktion: $\mathsf{(x^3-2x^2-x+2)-(x^3-x^2)=-x^2-x+2}$ .

Teilansatz: $\mathsf{-x^2:x=-x}$ .

Multiplikation: $\mathsf{-x(x-1)=-x^2+x}$ .

Subtraktion: $\mathsf{(-x^2-x+2)-(-x^2+x)=-2x+2}$ .

Teilansatz: $\mathsf{-2x:x=-2}$ .

Multiplikation: $\mathsf{-2(x-1)=-2x+2}$ .

Subtraktion: $\mathsf{(-2x+2)-(-2x+2)=0}$ .

\mathsf{Q(x)=x^2-x-2,\quad R(x)=0}

Probe: $\mathsf{(x-1)(x^2-x-2)=x^3-2x^2-x+2}$ .

Erklärung 04

Beispiel mit fehlender Potenz und Rest

Bei einem linearen Teiler ist der verbleibende Rest eine Konstante. Sobald sein Grad kleiner als der Teilergrad ist, endet die Division.

Probe einer Division mit Rest 9 und passender Bruchdarstellung.

So geht es am Beispiel

Dividiere $\mathsf{x^3+1}$ durch $\mathsf{x-2}$ .

\mathsf{P(x)=x^3+0x^2+0x+1}

Teilansatz: $\mathsf{x^3:x=x^2}$ .

Multiplikation: $\mathsf{x^2(x-2)=x^3-2x^2}$ .

Subtraktion: $\mathsf{(x^3+0x^2+0x+1)-(x^3-2x^2)=2x^2+0x+1}$ .

Teilansatz: $\mathsf{2x^2:x=2x}$ .

Multiplikation: $\mathsf{2x(x-2)=2x^2-4x}$ .

Subtraktion: $\mathsf{(2x^2+0x+1)-(2x^2-4x)=4x+1}$ .

Teilansatz: $\mathsf{4x:x=4}$ .

Multiplikation: $\mathsf{4(x-2)=4x-8}$ .

Subtraktion: $\mathsf{(4x+1)-(4x-8)=9}$ .

\mathsf{Q(x)=x^2+2x+4,\quad R=9}

Probe: $\mathsf{(x-2)(x^2+2x+4)+9=x^3-8+9=x^3+1}$ .

Erklärung 05

Linearfaktor und Nullstelle

Bei einer Division durch $\mathsf{x-r}$ ist der Rest gleich $\mathsf{P(r)}$ . Denn in $\mathsf{P(x)=(x-r)Q(x)+R}$ verschwindet beim Einsetzen von r der Produktterm.

Ist r eine bestätigte Nullstelle, ist der Rest 0 und $\mathsf{x-r}$ ein Faktor. Danach lassen sich gegebenenfalls weitere Nullstellen über Q bestimmen.

So geht es am Beispiel

Nutze das erste Beispiel, um $\mathsf{P(x)=x^3-2x^2-x+2}$ vollständig zu faktorisieren.

\mathsf{P(1)=1-2-1+2=0}

\mathsf{P(x)=(x-1)(x^2-x-2)}

\mathsf{x^2-x-2=(x-2)(x+1)}

\mathsf{P(x)=(x-1)(x-2)(x+1)}

Erklärung 06

Probe und typische Fehler

Prüfe stets $\mathsf{D\cdot Q+R=P}$ . Eine kleine Probe durch Einsetzen einzelner Werte ergänzt diese Kontrolle, ersetzt die Polynomidentität aber nicht.

Ein Rest muss nicht 0 sein. Ein Rest mit gleichem oder höherem Grad als der Teiler zeigt dagegen, dass die Division noch nicht beendet ist.

Bei einem Teiler mit Leitkoeffizient ungleich 1 gehört dieser zum ersten Quotienten: Beispielsweise ist $\mathsf{6x^3:(2x)=3x^2}$ .

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Polynomdivision · EinstiegSchreibe $\mathsf{2x^4-3x+1}$ mit allen Potenzen von 4 bis 0 auf.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Divisionsschritte, Ergebnis und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Potenzen x³ und x² fehlen.
  $\mathsf{2x^4+0x^3+0x^2-3x+1}$
Ergebnis
1. Divisionsschritte, Ergebnis und ProbeDie beiden Nullkoeffizienten sichern die korrekte Spaltenordnung.
02
Aufgabe 2Polynomdivision · EinstiegDividiere $\mathsf{x^2-5x+6}$ durch $\mathsf{x-2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Divisionsschritte, Ergebnis und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Teilansatz: $\mathsf{x^2:x=x}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Multiplikation: $\mathsf{x(x-2)=x^2-2x}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Subtraktion: $\mathsf{(x^2-5x+6)-(x^2-2x)=-3x+6}$ .
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  Teilansatz: $\mathsf{-3x:x=-3}$ .
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  Multiplikation: $\mathsf{-3(x-2)=-3x+6}$ .
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  Subtraktion: Rest 0.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  Probe: $\mathsf{(x-2)(x-3)=x^2-5x+6}$ .
Ergebnis
1. Divisionsschritte, Ergebnis und Probe $\mathsf{Q=x-3}$ , $\mathsf{R=0}$ .
03
Aufgabe 3Polynomdivision · StandardDividiere $\mathsf{x^2+1}$ durch $\mathsf{x+1}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Divisionsschritte, Ergebnis und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{P=x^2+0x+1}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Teilansatz: x.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Multiplikation: $\mathsf{x(x+1)=x^2+x}$ .
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  Subtraktion: $\mathsf{-x+1}$ .
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  Teilansatz: −1.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  Multiplikation: $\mathsf{-(x+1)=-x-1}$ .
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  Subtraktion: 2.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  Probe: $\mathsf{(x+1)(x-1)+2=x^2+1}$ .
Ergebnis
1. Divisionsschritte, Ergebnis und Probe $\mathsf{Q=x-1}$ , $\mathsf{R=2}$ ; Bruchdarstellung $\mathsf{x-1+2/(x+1)}$ für $\mathsf{x\ne-1}$ .
04
Aufgabe 4Polynomdivision · StandardDividiere $\mathsf{2x^2+3x+1}$ durch $\mathsf{2x+1}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Divisionsschritte, Ergebnis und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Teilansatz: $\mathsf{2x^2:(2x)=x}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Multiplikation: $\mathsf{x(2x+1)=2x^2+x}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Subtraktion: $\mathsf{2x+1}$ .
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  Teilansatz: 1.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  Multiplikation: $\mathsf{2x+1}$ .
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  Subtraktion: 0.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  Probe: $\mathsf{(2x+1)(x+1)=2x^2+3x+1}$ .
Ergebnis
1. Divisionsschritte, Ergebnis und Probe $\mathsf{Q=x+1}$ , $\mathsf{R=0}$ .
05
Aufgabe 5Polynomdivision · StandardDividiere $\mathsf{x^3-8}$ durch $\mathsf{x-2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Divisionsschritte, Ergebnis und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{P=x^3+0x^2+0x-8}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Teilansatz: x².
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Multiplikation: $\mathsf{x^3-2x^2}$ .
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  Subtraktion: $\mathsf{2x^2+0x-8}$ .
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  Teilansatz: 2x.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  Multiplikation: $\mathsf{2x^2-4x}$ .
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  Subtraktion: $\mathsf{4x-8}$ .
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  Teilansatz: 4.
9. Schritt 9 · Rechnung / Rechenweg
  Multiplikation: $\mathsf{4x-8}$ .
10. Schritt 10 · Rechnung / Rechenweg
  Subtraktion: 0.
11. Schritt 11 · Rechnung / Rechenweg
  Probe: $\mathsf{(x-2)(x^2+2x+4)=x^3-8}$ .
Ergebnis
1. Divisionsschritte, Ergebnis und Probe $\mathsf{Q=x^2+2x+4}$ , $\mathsf{R=0}$ .
06
Aufgabe 6Polynomdivision · StandardDividiere $\mathsf{x^3+2x+3}$ durch $\mathsf{x^2+1}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Divisionsschritte, Ergebnis und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{P=x^3+0x^2+2x+3}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Teilansatz: $\mathsf{x^3:x^2=x}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Multiplikation: $\mathsf{x(x^2+1)=x^3+x}$ .
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  Subtraktion: $\mathsf{x+3}$ .
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  Der Restgrad 1 ist kleiner als der Teilergrad 2.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  Probe: $\mathsf{(x^2+1)x+(x+3)=x^3+2x+3}$ .
Ergebnis
1. Divisionsschritte, Ergebnis und Probe $\mathsf{Q=x}$ , $\mathsf{R=x+3}$ . Ein Rest darf auch ein Polynom sein.
07
Aufgabe 7Polynomdivision · StandardBestimme den Rest bei Division von $\mathsf{P(x)=x^3-2x+4}$ durch $\mathsf{x-1}$ , ohne die ganze Division auszuführen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Divisionsschritte, Ergebnis und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{R=P(1)}$
  $\mathsf{R=1-2+4=3}$
Ergebnis
1. Divisionsschritte, Ergebnis und ProbeRest 3. Somit ist 1 keine Nullstelle von P.
08
Aufgabe 8Polynomdivision · VertiefungGegeben ist $\mathsf{P(x)=x^3-6x^2+11x-6}$ mit Nullstelle 1. Dividiere durch x−1 und gib alle Nullstellen an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Divisionsschritte, Ergebnis und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Teilansatz: x².
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Multiplikation: $\mathsf{x^3-x^2}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Subtraktion: $\mathsf{-5x^2+11x-6}$ .
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  Teilansatz: −5x.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  Multiplikation: $\mathsf{-5x^2+5x}$ .
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  Subtraktion: $\mathsf{6x-6}$ .
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  Teilansatz: 6.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  Multiplikation: $\mathsf{6x-6}$ .
9. Schritt 9 · Rechnung / Rechenweg
  Subtraktion: 0.
  $\mathsf{Q=x^2-5x+6=(x-2)(x-3)}$
10. Schritt 10 · Rechnung / Rechenweg
  Probe: $\mathsf{(x-1)(x-2)(x-3)=x^3-6x^2+11x-6}$ .
Ergebnis
1. Divisionsschritte, Ergebnis und ProbeNullstellen 1, 2 und 3.
09
Aufgabe 9Polynomdivision · VertiefungJemand gibt bei Division durch $\mathsf{x^2+1}$ den Rest $\mathsf{3x^2+2}$ an. Warum ist die Rechnung noch nicht fertig?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Divisionsschritte, Ergebnis und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der Teiler hat Grad 2.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Der angegebene Rest hat ebenfalls Grad 2.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Es muss noch ein weiterer Quotiententerm berechnet werden.
Ergebnis
1. Divisionsschritte, Ergebnis und ProbeDer endgültige Rest muss Grad kleiner als 2 besitzen oder 0 sein.
10
Aufgabe 10Polynomdivision · VertiefungFür $\mathsf{P(x)=(x-3)(x+2)}$ gilt $\mathsf{P(x)/(x-3)=x+2}$ . Für welche x ist diese Bruchgleichung erlaubt?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Divisionsschritte, Ergebnis und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der ursprüngliche Nenner darf nicht null sein.
  $\mathsf{x-3\ne0}$
  $\mathsf{x\ne3}$
Ergebnis
1. Divisionsschritte, Ergebnis und ProbeNur für $\mathsf{x\ne3}$ . Die Produktgleichung $\mathsf{P(x)=(x-3)(x+2)}$ gilt dagegen auch bei 3.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich ordne die Potenzen und ergänze fehlende Koeffizienten mit 0.
Ich trenne Teilansatz, Multiplikation und Subtraktion.
Ich kontrolliere Restgrad und Multiplikationsprobe.

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