Satz des Pythagoras · Erklären & üben

Satz des Pythagoras

Du erkennst rechtwinklige Dreiecke, ordnest die Hypotenuse richtig zu und berechnest fehlende Längen. Die Umkehrung hilft dir außerdem, einen rechten Winkel anhand der Seiten zu prüfen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Der rechte Winkel legt die Hypotenuse fest

Der Satz gilt für rechtwinklige Dreiecke. Die Seite gegenüber dem rechten Winkel heißt Hypotenuse und ist die längste Seite. Hier liegt der rechte Winkel bei C; deshalb ist AB die Hypotenuse c. Die beiden anliegenden Seiten a und b sind Katheten. Ihre Quadratflächen ergeben zusammen die Quadratfläche über c.

Finde den rechten Winkel.
Ordne die gegenüberliegende Seite als Hypotenuse zu.
Quadriere beide Katheten, addiere und ziehe die positive Wurzel.

$\mathsf{a^2+b^2=c^2}$

Rechtwinkliges3–4–5-Dreieck mit rechtemWinkelbeiC undHypotenuseAB.

So geht es am Beispiel

Ein bei C rechtwinkliges Dreieck hat a = 3 cm und b = 4 cm. Berechne die Hypotenuse c.

\mathsf{c^2=3^2+4^2=9+16=25}

\mathsf{c=\sqrt{25}=5\,\mathsf{cm}}

Erklärung 02

Eine fehlende Kathete berechnen

Ist die Hypotenuse bekannt, stellst du die Gleichung zuerst um. Ziehe das Quadrat der bekannten Kathete vom Hypotenusenquadrat ab. Das Ergebnis muss positiv sein, damit ein nicht entartetes rechtwinkliges Dreieck entstehen kann.

Schreibe Hypotenusenquadrat minus bekanntes Kathetenquadrat.
Ziehe erst danach die positive Wurzel.

$\mathsf{a=\sqrt{c^2-b^2},\qquad b=\sqrt{c^2-a^2}}$

So geht es am Beispiel

c = 13 cm und b = 12 cm. Berechne a.

\mathsf{a^2=13^2-12^2=169-144=25}

\mathsf{a=5\,\mathsf{cm}}

So geht es am Beispiel

c = 17 cm und a = 8 cm. Berechne b.

\mathsf{b^2=17^2-8^2=289-64=225}

\mathsf{b=15\,\mathsf{cm}}

Erklärung 03

Mit Seitenlängen auf einen rechten Winkel prüfen

Sind die Seitenlängen eines Dreiecks bekannt, prüfst du zuerst, welche Seite die längste ist. Gilt: Summe der Quadrate der kürzeren Seiten gleich Quadrat der längsten Seite, dann ist das Dreieck rechtwinklig. Die Umkehrung gilt für positive Seiten eines tatsächlich existierenden Dreiecks. Eine nicht passende Gleichung darf nicht als Rundungsfehler übergangen werden.

Prüfe positive Längen und die Dreiecksungleichung.
Vergleiche die Quadrate ohne vorzeitiges Runden.

$\mathsf{a^2+b^2=c^2\quad\Rightarrow\quad\gamma=90^\circ}$

So geht es am Beispiel

Vergleiche Dreiecke mit Seiten 5, 12, 13 cm und 5, 12, 14 cm. Sind beide rechtwinklig?

\mathsf{5^2+12^2=169=13^2}

\mathsf{5^2+12^2=169\ne196=14^2}

Beide Seitenlisten erfüllen die Dreiecksungleichung. Nur die erste erfüllt zusätzlich die Quadratgleichung.

Erklärung 04

Abstände und Alltagssituationen modellieren

Eine senkrechte Wand und ein waagerechter Boden bilden im Modell einen rechten Winkel. Auch die waagerechte und senkrechte Differenz zwischen zwei Punkten sind zueinander senkrecht. Der direkte Abstand ist dann die Hypotenuse. Nicht jede schräge Linie ist automatisch eine Hypotenuse; der rechte Winkel muss begründet sein.

Skizziere die Situation mit einem belegten rechten Winkel.
Berechne waagerechte und senkrechte Differenzen.
Kontrolliere die Einheit des Wurzelergebnisses.

$\mathsf{d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}}$

So geht es am Beispiel

Bestimme den Abstand der Punkte P(1|2) und Q(7|10) in einem rechtwinkligen Koordinatensystem.

\mathsf{\Delta x=7-1=6,\qquad\Delta y=10-2=8}

\mathsf{d=\sqrt{6^2+8^2}=10}

Eine Leiter von 5 m Länge mit 3 m Bodenabstand erreicht nach demselben Modell eine Höhe von 4 m.

Erklärung 05

Anschluss: Höhe und Kathetenabschnitte

Die Höhe vom rechten Winkel auf die Hypotenuse teilt das Dreieck in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke. Für die Skizze heißt der Abschnitt bei B p und der Abschnitt bei A q. Dann gehören a zu p und b zu q. Höhensatz und Kathetensatz werden in den eigenen Anschlussthemen ausführlich begründet und geübt; hier dienen sie nur als Orientierung innerhalb der Satzgruppe.

Ordne p und q ausdrücklich der Skizze zu.
Nutze den Zusammenhang nur im rechtwinkligen Dreieck mit Höhe auf die Hypotenuse.

$\mathsf{a^2=cp,\quad b^2=cq,\quad h^2=pq,\quad p+q=c}$

3–4–5-Dreieck mitHöhe2,4 undHypotenusenabschnittenp1,8beiB undq3,2beiA.

So geht es am Beispiel

Im 3–4–5-Dreieck ist a = 3, b = 4 und c = 5. Bestimme die zugeordneten Abschnitte p, q und die Höhe h als Anschlussbeispiel.

\mathsf{p=\frac{a^2}{c}=\frac95=1{,}8,\qquad q=\frac{b^2}{c}=\frac{16}5=3{,}2}

\mathsf{h=\sqrt{pq}=\sqrt{1{,}8\cdot3{,}2}=2{,}4}

Kontrolle: p + q = 5 und h = a·b/c = 12/5. Die Herleitungen folgen bei Höhen- und Kathetensatz.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Satz des Pythagoras · EinstiegEin rechtwinkliges Dreieck hat Katheten 5 cm und 12 cm. Berechne die Hypotenuse.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Hypotenuse
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{c=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Hypotenuse $\mathsf{13\,\mathsf{cm}}$
02
Aufgabe 2Satz des Pythagoras · EinstiegEin rechtwinkliges Dreieck hat Hypotenuse 10 cm und eine Kathete 6 cm. Berechne die andere Kathete.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fehlende Kathete
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{b=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Fehlende Kathete $\mathsf{8\,\mathsf{cm}}$
03
Aufgabe 3Satz des Pythagoras · StandardEine 10 m lange Leiter steht im Modell an einer senkrechten Wand. Ihr Fuß ist 6 m von der Wand entfernt. Welche Höhe erreicht sie?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erreichte Höhe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Wand und Boden stehen senkrecht; die Leiter ist die Hypotenuse.
  $\mathsf{h=\sqrt{10^2-6^2}=8\,\mathsf m}$
Ergebnis
1. Erreichte Höhe $\mathsf{8\,\mathsf m}$
04
Aufgabe 4Satz des Pythagoras · StandardKonstruiere im Raster ein Dreieck mit rechtem Winkel bei C, von C aus 8 Kästchen nach rechts zu A und 6 Kästchen nach oben zu B. Verbinde A mit B und beschrifte a, b und c. Berechne c.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Deine Konstruktion
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Deine Konstruktion
Hypotenuse in Rastereinheiten
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die beiden Katheten haben 6 und 8 Rastereinheiten. Die schräge Verbindung AB ist die Hypotenuse.
  $\mathsf{c=\sqrt{6^2+8^2}=10}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Deine KonstruktionDie geschützte Musterzeichnung zeigt die passende Konstruktion mit rechtem Winkel bei C.
2. Hypotenuse in Rastereinheiten $\mathsf{c=10}$
05
Aufgabe 5Satz des Pythagoras · TransferPrüfe ein Dreieck mit Seiten 7 cm, 24 cm und 25 cm auf Rechtwinkligkeit.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Prüfrechnung und Entscheidung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Längen sind positiv und 7 + 24 > 25.
  $\mathsf{7^2+24^2=49+576=625=25^2}$
Ergebnis
1. Prüfrechnung und EntscheidungDas Dreieck ist rechtwinklig; der längsten Seite 25 cm liegt der rechte Winkel gegenüber.
06
Aufgabe 6Satz des Pythagoras · TransferP(−2|1) und Q(4|9) liegen in einem rechtwinkligen Koordinatensystem. Berechne die beiden Koordinatendifferenzen und den Punktabstand.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Waagerechte Differenz
Senkrechte Differenz
Punktabstand
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\Delta x=4-(-2)=6,\qquad\Delta y=9-1=8}$
  $\mathsf{d=\sqrt{6^2+8^2}=10}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Waagerechte Differenz $\mathsf{\Delta x=6}$
2. Senkrechte Differenz $\mathsf{\Delta y=8}$
3. Punktabstand $\mathsf{d=10}$
07
Aufgabe 7Satz des Pythagoras · TransferBen nutzt a²+b²=c² für ein Dreieck ohne bekannte Winkel. Er kennt nur die Seiten a = 4 cm und b = 6 cm und möchte c bestimmen. Erkläre die fehlende Voraussetzung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fehlende Voraussetzung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die zwei Seitenlängen allein legen den eingeschlossenen Winkel und damit die dritte Seite nicht fest.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Vor dem Anwenden muss ein rechter Winkel zwischen a und b bekannt oder begründet sein.
Ergebnis
1. Fehlende VoraussetzungEs muss feststehen, dass a und b die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind. Ohne diesen Nachweis darf die Gleichung nicht benutzt werden.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich finde den rechten Winkel und die gegenüberliegende Hypotenuse.
Ich ordne Größen und Einheiten vor dem Einsetzen zu.
Ich kontrolliere Wurzel, Einheit und geometrische Voraussetzungen.

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