Statistische Tests · Erklären & üben

t Test

Der Ein-Stichproben-t-Test prüft einen Populationsmittelwert, wenn die Populationsstandardabweichung unbekannt ist. Wir unterscheiden die Rechnung mit den Daten von der vorab festgelegten Testrichtung.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Ein Mittelwert bei unbekannter Streuung

Für den hier behandelten Student-t-Test seien die Beobachtungen unabhängig, identisch und normalverteilt. Gerade bei einer kleinen Stichprobe genügt „kleines n“ als Begründung nicht: Die Normalannahme muss sachlich passen. Die Populationsstandardabweichung ist unbekannt und wird mit der korrigierten Stichprobenstandardabweichung s geschätzt; für die Rechnung muss s positiv sein. Wir prüfen zunächst zweiseitig den Mittelwert 9. Ein gepaarter oder ein Zwei-Stichproben-t-Test benötigt ein anderes Modell und wird hier nicht behandelt.

Lege Hypothesen, Richtung, Voraussetzungen und Niveau vor der Entscheidung fest.
Trenne Rechenwert, Entscheidungsregel und sachliche Interpretation.

$\mathsf{H_0:\mu=9,\qquad H_1:\mu\ne9}$

Erklärung 02

Vom Datensatz zur Teststatistik

Die korrigierte Stichprobenvarianz teilt die Summe der quadrierten Abweichungen durch n−1. Ihr Wurzelwert s liefert den geschätzten Standardfehler. Die Differenz zwischen Stichprobenmittelwert und Nullwert wird durch diesen Standardfehler geteilt. Der resultierende t-Wert besitzt keine Einheit.

Lege Hypothesen, Richtung, Voraussetzungen und Niveau vor der Entscheidung fest.
Trenne Rechenwert, Entscheidungsregel und sachliche Interpretation.

$\mathsf{s^2=\frac{\sum_i(x_i-\bar x)^2}{n-1},\qquad t=\frac{\bar x-\mu_0}{s/\sqrt n}}$

So geht es am Beispiel

Eigene Messwerte sind 8, 9, 10, 11, 12. Berechne den t-Wert für den Nullwert 9.

\mathsf{n=5,\qquad\bar x=50/5=10}

\mathsf{Q=(-2)^2+(-1)^2+0^2+1^2+2^2=10}

\mathsf{s^2=10/4=2{,}5,\qquad s/\sqrt5=\sqrt{0{,}5}}

\mathsf{t=\frac{10-9}{\sqrt{0{,}5}}=\sqrt2\approx1{,}414}

Erklärung 03

Richtung, Tabelle und Entscheidung

Unter dem Nullmodell hat die Teststatistik eine Student-t-Verteilung mit n−1 Freiheitsgraden, hier 4. Diese Regel gilt für den gewählten Ein-Stichproben-Test; sie ist keine allgemeine Regel für andere t-Tests. Die Referenzverteilung ist symmetrisch um 0 und hat schwerere Randbereiche als die Standardnormalverteilung. Mit wachsenden Freiheitsgraden nähert sie sich dieser an. Die Tabelle gibt Linksflächen an: 0,95 gehört zu 2,132 und 0,975 zu 2,776 bei df = 4. Zweiseitig werden bei Niveau 0,05 jeweils 0,025 in jedem Randbereich verwendet. Rechtsseitig liegt der gesamte kritische Bereich rechts, linksseitig links. Die Richtung wird vor den Daten festgelegt. Nichtverwerfen beweist keinen exakten Mittelwert; Signifikanz ist weder Hypothesenwahrscheinlichkeit noch praktische Bedeutung. Für kategoriale Häufigkeitstafeln siehe Chi-Quadrat-Test, für den allgemeinen Ablauf Hypothesentest. Die Herleitung der t-Dichte bleibt ausgeklammert.

Lege Hypothesen, Richtung, Voraussetzungen und Niveau vor der Entscheidung fest.
Trenne Rechenwert, Entscheidungsregel und sachliche Interpretation.

$\mathsf{df=n-1=4;\qquad |t|>2{,}776:\textsf{ zweiseitig verwerfen}}$

T-Dichte mit 4 Freiheitsgraden und zweiseitigen kritischen Bereichen.

Kleiner Quantilausschnitt mit expliziten Links- und Rechtsflächen.

So geht es am Beispiel

Entscheide den zweiseitigen Test aus Beispiel 1 bei Niveau 0,05 und kritischen Grenzen ±2,776.

\mathsf{|1{,}414|<2{,}776}

Der Prüfwert liegt zwischen den kritischen Grenzen.

So geht es am Beispiel

Vergleiche vorab festgelegte einseitige Tests desselben Nullwerts bei Niveau 0,05.

Rechts: H0 lautet μ ≤ 9, H1 lautet μ > 9; verwerfen bei t > 2,132. Links: H0 lautet μ ≥ 9, H1 lautet μ < 9; verwerfen bei t < −2,132.

\mathsf{-2{,}132<1{,}414<2{,}132}

Der beobachtete Wert erfüllt keine der beiden Ablehnungsregeln. Die günstigere Richtung darf nicht nachträglich ausgewählt werden.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1t Test · EinstiegFür unabhängige Beobachtungen aus einer normalverteilten Population liegen die Werte 8, 9, 10, 11, 12 vor. Berechne den Stichprobenmittelwert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Mittelwert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\bar x=(8+9+10+11+12)/5=10}$
Ergebnis
1. Mittelwert $\mathsf{10}$
02
Aufgabe 2t Test · EinstiegBestimme für denselben Datensatz die korrigierte Stichprobenvarianz. Verwende n−1 im Nenner.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Korrigierte Varianz
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{Q=4+1+0+1+4=10}$
  $\mathsf{s^2=10/(5-1)=2{,}5}$
Ergebnis
1. Korrigierte Varianz $\mathsf{2{,}5}$
03
Aufgabe 3t Test · StandardBei n = 5 und korrigierter Varianz 2,5: Berechne den geschätzten Standardfehler des Mittelwerts. Runde auf drei Dezimalstellen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Geschätzter Standardfehler
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\widehat{SE}=\sqrt{2{,}5}/\sqrt5=\sqrt{0{,}5}\approx0{,}707}$
Ergebnis
1. Geschätzter Standardfehler $\mathsf{0{,}707}$
04
Aufgabe 4t Test · StandardBerechne den t-Wert für Mittelwert 10, Nullwert 9 und exakten geschätzten Standardfehler √0,5. Bestimme die Freiheitsgrade bei n = 5.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
t-Wert
Freiheitsgrade
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{t=(10-9)/\sqrt{0{,}5}=\sqrt2\approx1{,}414}$
  $\mathsf{df=5-1=4}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. t-Wert $\mathsf{1{,}414}$
2. Freiheitsgrade $\mathsf{4}$
05
Aufgabe 5t Test · TransferSkizziere in der Vorlage die symmetrische t-Dichte mit 4 Freiheitsgraden wie in der Erklärgrafik. Schraffiere die beiden zweiseitigen Ablehnungsbereiche jenseits der vorgegebenen Grenzen −2,776 und 2,776. Die Kurve läuft beidseitig außerhalb des Bildausschnitts weiter.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Dichte und kritische Bereiche
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Dichte und kritische Bereiche
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Kurve ist symmetrisch mit Maximum bei 0. Die Flächen links von −2,776 und rechts von 2,776 werden markiert; jede umfasst 0,025 der gesamten Referenzfläche. Die Skizze verlangt keine Berechnung der Dichte.
Ergebnis
1. Dichte und kritische BereicheSymmetrische Dichte; beide äußeren Randbereiche markiert; Vorgaben erhalten.
06
Aufgabe 6t Test · TransferDer zweiseitige Test hat t = 1,414, df = 4 und vorab α = 0,05. Gegeben ist die kritische Grenze 2,776 für den Betrag. Entscheide und erläutere, ob der Populationsmittelwert damit als exakt 9 bewiesen ist.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Testentscheidung
Interpretation
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{|1{,}414|<2{,}776}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  H0 wird nicht verworfen. Das Ergebnis reicht nicht für den Nachweis einer Abweichung, beweist aber keine exakte Gleichheit des Populationsmittelwerts mit 9.
Ergebnisse & Teilantworten
1. TestentscheidungH0 nicht verwerfen.
2. InterpretationDer exakte Mittelwert 9 ist damit nicht bewiesen.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich lese Titel, Achsen, Einheiten und Legende.
Ich zeichne proportional zur angegebenen Skala.
Ich begründe Aussagen mit den dargestellten Daten.

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