Binomische Formeln · Erklären & üben

3. binomische Formel

Die dritte binomische Formel verbindet das Produkt aus einer Summe und einer Differenz mit einer Differenz zweier Quadrate. Sie gilt für alle reellen Zahlen a und b.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Gleiche Bestandteile, entgegengesetzte Vorzeichen

Die beiden Klammern enthalten dieselben Bestandteile. Einmal steht zwischen ihnen ein Plus, einmal ein Minus. Beim Ausmultiplizieren entstehen die Gegenterme minus ab und plus ab. Ihre Summe ist null; deshalb gibt es kein Mittelglied.

Erkenne die Summe und die zugehörige Differenz.
Quadriere den gemeinsamen ersten Bestandteil.
Ziehe das Quadrat des zweiten Bestandteils ab.

$\mathsf{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$

Von den vier Teilprodukten a Quadrat, minus ab, plus ab und minus b Quadrat heben sich die beiden mittleren auf.

So geht es am Beispiel

Leite $\mathsf{(a+b)(a-b)}$ durch Ausmultiplizieren her.

Alle Teilprodukte: $\mathsf{(a+b)(a-b)=a^2-ab+ba-b^2}$

Wegen $\mathsf{ba=ab}$ sind die gemischten Produkte Gegenterme.

Diese heben sich auf: $\mathsf{-ab+ab=0}$

Erklärung 02

Mit Zahlen und Variablen rechnen

Die vollständigen Bestandteile können Produkte oder Brüche sein. Quadriere sie jeweils als Ganzes. Auch bei negativen Zahlen gelten dieselben Rechengesetze. Produkte nahe einer runden Zahl lassen sich oft als Summe mal Differenz schreiben.

Bestimme den gemeinsamen Mittelpunkt der beiden Faktoren.
Erkenne den gleichen Abstand dazu.
Berechne die beiden Quadrate getrennt und subtrahiere.

Die beiden Klammern müssen sich nur im Vorzeichen des zweiten Bestandteils unterscheiden.

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{(x+6)(x-6)}$ .

Dritte Formel: $\mathsf{(x+6)(x-6)=x^2-6^2}$

Zahlenquadrat: $\mathsf{6^2=36}$

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{(2y+3)(2y-3)}$ .

Erstes Quadrat: $\mathsf{(2y)^2=4y^2}$

Zweites Quadrat: $\mathsf{3^2=9}$

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{47\cdot53}$ mit der dritten Formel.

Die Faktoren liegen um 3 neben 50: $\mathsf{47\cdot53=(50-3)(50+3)}$

Das erste Quadrat ist $\mathsf{50^2=2500}$

Das zweite Quadrat ist $\mathsf{3^2=9}$

Die Differenz ist $\mathsf{2500-9=2491}$

Erklärung 03

Eine Differenz als Produkt schreiben

Die Formel funktioniert rückwärts. Erkenne die zwei Quadrate und schreibe die Summe und die Differenz ihrer Grundausdrücke als Faktoren. Eine Summe von Quadraten passt nicht zu diesem Muster. Wenn später ein Faktor gekürzt wird, bleiben die ursprünglichen Nennerbedingungen erhalten.

Erkenne beide Quadratbestandteile.
Schreibe einen Plusfaktor und einen Minusfaktor.
Bei Brüchen: Notiere zuerst die ausgeschlossenen Werte.

$\mathsf{a^2-b^2=(a+b)(a-b)}$

So geht es am Beispiel

Faktorisiere $\mathsf{25x^2-4}$ .

Das erste Quadrat ist $\mathsf{25x^2=(5x)^2}$

Das zweite Quadrat ist $\mathsf{4=2^2}$

Dritte Formel rückwärts: $\mathsf{(5x)^2-2^2=(5x+2)(5x-2)}$

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{\frac{x^2-9}{x-3}}$ mit ursprünglicher Bedingung.

Der Nenner verlangt $\mathsf{x\ne3}$

Der Zähler wird faktorisiert: $\mathsf{x^2-9=(x+3)(x-3)}$

Für erlaubte x kürzen: $\mathsf{\frac{(x+3)(x-3)}{x-3}=x+3}$

Die Bedingung $\mathsf{x\ne3}$ bleibt erhalten

Erklärung 04

Flächengleich umlegen

Für die Zerlegung wählen wir positive Längen mit a größer als b. Entferne aus einem Quadrat der Seite a ein Eckquadrat der Seite b. Der Rest besteht aus einem Rechteck mit Seiten a und a minus b sowie einem Rechteck mit Seiten b und a minus b. Drehe das zweite Teilstück und lege es neben das erste: Es entsteht ein Rechteck mit den Seiten a plus b und a minus b.

Weiterlernen: Der Überblick „Binomische Formeln“ stellt diese Formel neben die beiden Quadratformeln.

Entferne das kleine Eckquadrat.
Zerlege den Rest in zwei Rechtecke.
Drehe ein Rechteck und setze beide ohne Lücke zusammen.

$\mathsf{a^2-b^2=(a+b)(a-b)}$

Links bleibt nach dem Entfernen eines 2 mal 2 Quadrats aus einem 6 mal 6 Quadrat ein Rest aus A mit 6 mal 4 und B mit 4 mal 2. Rechts liegt B gedreht als 2 mal 4 neben A. So entsteht ein Rechteck mit 8 mal 4. Alle Längen in derselben Einheit.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 13. binomische Formel · BasisVereinfache $\mathsf{(x+4)(x-4)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Term
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Dritte Formel: $\mathsf{(x+4)(x-4)=x^2-4^2}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zahlenquadrat: $\mathsf{4^2=16}$
Ergebnis
1. Vereinfachter Term $\mathsf{x^2-16}$
02
Aufgabe 23. binomische Formel · BasisVereinfache $\mathsf{(3a+2)(3a-2)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Term
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erstes Quadrat: $\mathsf{(3a)^2=9a^2}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zweites Quadrat: $\mathsf{2^2=4}$
Ergebnis
1. Vereinfachter Term $\mathsf{9a^2-4}$
03
Aufgabe 33. binomische Formel · BasisVereinfache $\mathsf{(2x+5y)(2x-5y)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Term
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erstes Quadrat: $\mathsf{(2x)^2=4x^2}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zweites Quadrat: $\mathsf{(5y)^2=25y^2}$
Ergebnis
1. Vereinfachter Term $\mathsf{4x^2-25y^2}$
04
Aufgabe 43. binomische Formel · ÜbungFaktorisiere $\mathsf{x^2-81}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Produktform
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Das zweite Quadrat ist $\mathsf{81=9^2}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Dritte Formel rückwärts: $\mathsf{x^2-9^2=(x+9)(x-9)}$
Ergebnis
1. Produktform $\mathsf{(x+9)(x-9)}$
05
Aufgabe 53. binomische Formel · ÜbungFaktorisiere $\mathsf{16t^2-25}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Produktform
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erstes Quadrat: $\mathsf{16t^2=(4t)^2}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zweites Quadrat: $\mathsf{25=5^2}$
Ergebnis
1. Produktform $\mathsf{(4t+5)(4t-5)}$
06
Aufgabe 63. binomische Formel · ÜbungBerechne $\mathsf{99\cdot101}$ mit der dritten Formel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Produkt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Zerlegung: $\mathsf{99\cdot101=(100-1)(100+1)}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Erstes Quadrat: $\mathsf{100^2=10000}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Zweites Quadrat: $\mathsf{1^2=1}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Differenz: $\mathsf{10000-1=9999}$
Ergebnis
1. Produkt9999
07
Aufgabe 73. binomische Formel · TransferVereinfache $\mathsf{\frac{x^2-16}{x-4}}$ und nenne die ursprüngliche Definitionsbedingung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Term
Definitionsbedingung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Nenner verlangt $\mathsf{x\ne4}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Faktorisieren: $\mathsf{x^2-16=(x+4)(x-4)}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Für erlaubte x folgt $\mathsf{\frac{(x+4)(x-4)}{x-4}=x+4}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Der ausgeschlossene Wert bleibt ausgeschlossen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Vereinfachter Term $\mathsf{x+4}$
2. Definitionsbedingung $\mathsf{x\ne4}$
08
Aufgabe 83. binomische Formel · TransferGilt $\mathsf{x^2+9=(x+3)(x-3)}$ allgemein? Gib den ausmultiplizierten rechten Term an und begründe dein Urteil.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Ausmultiplizierter rechter Term
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die dritte Formel liefert $\mathsf{(x+3)(x-3)=x^2-3^2}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Das Zahlenquadrat ist $\mathsf{3^2=9}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Rechts steht daher eine Differenz, links eine Summe.
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein.
2. Ausmultiplizierter rechter Term $\mathsf{x^2-9}$
3. BegründungDie dritte Formel ergibt eine Differenz zweier Quadrate. Das konstante Glied rechts ist minus 9 statt plus 9.
09
Aufgabe 93. binomische Formel · TransferEin Quadrat hat die Seite 8 cm. Ein Eckquadrat der Seite 3 cm wird entfernt. Berechne die Restfläche und die beiden Seiten des flächengleichen Rechtecks aus dem Modell.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Restfläche
Lange Rechteckseite
Kurze Rechteckseite
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Großes Quadrat: $\mathsf{8^2=64}$ Quadratzentimeter
2. Schritt 2 · Erklärung
  Kleines Quadrat: $\mathsf{3^2=9}$ Quadratzentimeter
3. Schritt 3 · Erklärung
  Restfläche: $\mathsf{64-9=55}$ Quadratzentimeter
4. Schritt 4 · Erklärung
  Lange Rechteckseite: $\mathsf{8+3=11}$ Zentimeter
5. Schritt 5 · Erklärung
  Kurze Rechteckseite: $\mathsf{8-3=5}$ Zentimeter
6. Schritt 6 · Erklärung
  Rechteckfläche: $\mathsf{11\cdot5=55}$ Quadratzentimeter
Ergebnisse & Teilantworten
1. Restfläche55 cm²
2. Lange Rechteckseite11 cm
3. Kurze Rechteckseite5 cm

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich erkenne entgegengesetzte Vorzeichen in zwei Klammern.
Ich erkläre das Wegfallen der gemischten Produkte.
Ich faktorisiere Differenzen zweier Quadrate.
Ich erhalte Definitionsbedingungen beim Kürzen.

AT Academy · Version 2026-10-21