Binomische Formeln · Erklären & üben

2. binomische Formel

Die zweite binomische Formel beschreibt das Quadrat einer Differenz. Das Mittelglied trägt ein Minus; das letzte Quadrat wird addiert. Die Formel gilt für alle reellen Zahlen a und b.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Warum das letzte Plus bleibt

Beim Quadrieren steht die ganze Differenz zweimal als Faktor da. Die Produkte minus ab und minus ab ergeben das Mittelglied minus 2ab. Das Produkt aus minus b und minus b ergibt dagegen plus b².

Schreibe das Quadrat als Klammerprodukt.
Bilde alle vier Teilprodukte.
Fasse die beiden gemischten Produkte zusammen.

$\mathsf{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$

Multiplikationsschema mit Zeilen a und minus b und Spalten a und minus b. Die vier Produkte sind a Quadrat, minus ab, minus ab und plus b Quadrat.

So geht es am Beispiel

Leite die Formel für $\mathsf{(a-b)^2}$ rechnerisch her.

Quadrat als Produkt: $\mathsf{(a-b)^2=(a-b)(a-b)}$

Ausmultiplizieren: $\mathsf{(a-b)(a-b)=a^2-ab-ba+b^2}$

Wegen $\mathsf{ba=ab}$ sind die gemischten Produkte gleich.

Zusammenfassen: $\mathsf{-ab-ab=-2ab}$

Erklärung 02

Ausdrücke vollständig einsetzen

An den Stellen von a und b können auch Produkte, Brüche oder negative Zahlen stehen. Quadriere jeden vollständigen Ausdruck. Wenn b selbst negativ ist, kann das ausgeschriebene Mittelglied positiv werden. Das Regelmuster bleibt unverändert.

Bestimme a und b einschließlich ihrer Vorzeichen.
Berechne die drei Glieder getrennt.
Setze sie zum vollständigen Term zusammen.

Die zweite Formel darf auch bei negativen eingesetzten Zahlen verwendet werden.

So geht es am Beispiel

Multipliziere $\mathsf{(x-6)^2}$ aus.

Erstes Quadrat: $\mathsf{x^2}$

Mittelglied: $\mathsf{-2\cdot x\cdot6=-12x}$

Letztes Quadrat: $\mathsf{6^2=36}$

So geht es am Beispiel

Multipliziere $\mathsf{(3y-2)^2}$ aus.

Erstes Quadrat: $\mathsf{(3y)^2=9y^2}$

Mittelglied: $\mathsf{-2\cdot3y\cdot2=-12y}$

Letztes Quadrat: $\mathsf{2^2=4}$

So geht es am Beispiel

Multipliziere $\mathsf{(x-\frac{1}{2})^2}$ aus.

Erstes Quadrat: $\mathsf{x^2}$

Mittelglied: $\mathsf{-2\cdot x\cdot\frac{1}{2}=-x}$

Letztes Quadrat: $\mathsf{(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}}$

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{(-3-2)^2}$ mit der Formel.

Erstes Quadrat: $\mathsf{(-3)^2=9}$

Mittelglied: $\mathsf{-2\cdot(-3)\cdot2=12}$

Letztes Quadrat: $\mathsf{2^2=4}$

Erste Addition: $\mathsf{9+12=21}$

Zweite Addition: $\mathsf{21+4=25}$

Erklärung 03

Ein Quadrat verkleinern

Für das Flächenmodell wählen wir positive Längen mit a größer als b. Vom Quadrat mit Seite a werden unten und rechts je ein Streifen der Breite b entfernt. Die Ecke b mal b gehört zu beiden Streifen. Beim Subtrahieren beider Streifen wird sie doppelt abgezogen und muss einmal wieder addiert werden. Übrig bleibt das Quadrat mit Seite a minus b. Für a gleich b verschwindet die Restfläche; die algebraische Formel bleibt gültig.

Beginne mit der Fläche a².
Ziehe die zwei Streifenflächen ab.
Addiere die doppelt abgezogene Ecke einmal zurück.

$\mathsf{(a-b)^2=a^2-ab-ab+b^2}$

Quadrat mit Seite 6 Zentimeter. Die Streifen rechts und unten sind jeweils 2 Zentimeter breit. Ihre gemeinsame Ecke ist dunkler markiert. Alle Teilgrenzen sind mit Linien sichtbar.

Erklärung 04

Ein Minusquadrat erkennen

Beim Faktorisieren suchst du zwei Quadrate und das passende negative doppelte Produkt. Ein negatives Mittelglied allein genügt nicht: Sein Betrag muss genau stimmen.

Weiterlernen: Bei der dritten binomischen Formel stehen eine Summe und eine Differenz als Faktoren. Dort verschwinden die gemischten Produkte ganz.

Erkenne die beiden Quadrate.
Berechne das negative doppelte Produkt.
Vergleiche mit dem vorhandenen Mittelglied.

$\mathsf{a^2-2ab+b^2=(a-b)^2}$

So geht es am Beispiel

Faktorisiere $\mathsf{4x^2-20x+25}$ .

Das erste Glied ist $\mathsf{(2x)^2=4x^2}$

Das letzte Glied ist $\mathsf{5^2=25}$

Das Mittelglied passt: $\mathsf{-2\cdot2x\cdot5=-20x}$

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 12. binomische Formel · BasisMultipliziere $\mathsf{(x-3)^2}$ aus.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ausmultiplizierter Term
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Mittelglied: $\mathsf{-2\cdot x\cdot3=-6x}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Letztes Quadrat: $\mathsf{3^2=9}$
Ergebnis
1. Ausmultiplizierter Term $\mathsf{x^2-6x+9}$
02
Aufgabe 22. binomische Formel · BasisMultipliziere $\mathsf{(2a-5)^2}$ aus.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ausmultiplizierter Term
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erstes Quadrat: $\mathsf{(2a)^2=4a^2}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Mittelglied: $\mathsf{-2\cdot2a\cdot5=-20a}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Letztes Quadrat: $\mathsf{5^2=25}$
Ergebnis
1. Ausmultiplizierter Term $\mathsf{4a^2-20a+25}$
03
Aufgabe 32. binomische Formel · BasisMultipliziere $\mathsf{(3u-2v)^2}$ aus.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ausmultiplizierter Term
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erstes Quadrat: $\mathsf{(3u)^2=9u^2}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Mittelglied: $\mathsf{-2\cdot3u\cdot2v=-12uv}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Letztes Quadrat: $\mathsf{(2v)^2=4v^2}$
Ergebnis
1. Ausmultiplizierter Term $\mathsf{9u^2-12uv+4v^2}$
04
Aufgabe 42. binomische Formel · ÜbungMultipliziere $\mathsf{(t-\frac{1}{3})^2}$ aus.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ausmultiplizierter Term
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Mittelglied: $\mathsf{-2\cdot t\cdot\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}t}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Letztes Quadrat: $\mathsf{(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}}$
Ergebnis
1. Ausmultiplizierter Term $\mathsf{t^2-\frac{2}{3}t+\frac{1}{9}}$
05
Aufgabe 52. binomische Formel · ÜbungBerechne $\mathsf{(-4-3)^2}$ mit der Formel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erstes Quadrat: $\mathsf{(-4)^2=16}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Mittelglied: $\mathsf{-2\cdot(-4)\cdot3=24}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Letztes Quadrat: $\mathsf{3^2=9}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Erste Addition: $\mathsf{16+24=40}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  Zweite Addition: $\mathsf{40+9=49}$
Ergebnis
1. Ergebnis49
06
Aufgabe 62. binomische Formel · ÜbungFaktorisiere $\mathsf{9x^2-24x+16}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Produktform
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erstes Quadrat: $\mathsf{(3x)^2=9x^2}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Letztes Quadrat: $\mathsf{4^2=16}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Mittelglied: $\mathsf{-2\cdot3x\cdot4=-24x}$
Ergebnis
1. Produktform $\mathsf{(3x-4)^2}$
07
Aufgabe 72. binomische Formel · TransferErgänze das fehlende konstante Glied: $\mathsf{x^2-18x+\square=(x-9)^2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fehlendes Glied
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Das Mittelglied passt: $\mathsf{-2\cdot x\cdot9=-18x}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Das letzte Quadrat ist $\mathsf{9^2=81}$
Ergebnis
1. Fehlendes Glied81
08
Aufgabe 82. binomische Formel · TransferEine Schülerin schreibt $\mathsf{(x-4)^2=x^2-16}$ . Gilt das allgemein? Korrigiere den Term und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Korrigierter Term
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Das Mittelglied lautet $\mathsf{-2\cdot x\cdot4=-8x}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Das letzte Quadrat ist $\mathsf{4^2=16}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Das Mittelglied fehlt; außerdem muss das letzte Glied addiert werden.
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein.
2. Korrigierter Term $\mathsf{x^2-8x+16}$
3. BegründungDie beiden gemischten Produkte ergeben minus 8x. Minus 4 mal minus 4 ergibt plus 16.
09
Aufgabe 92. binomische Formel · TransferIm Flächenmodell gilt a = 7 cm und b = 2 cm. Berechne die Fläche des großen Quadrats, eines abgezogenen Streifens, der gemeinsamen Ecke und des verbleibenden Quadrats. Warum wird die Ecke einmal wieder addiert?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Großes Quadrat
Ein Streifen
Gemeinsame Ecke
Verbleibendes Quadrat
Begründung für das Addieren der Ecke
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Großes Quadrat: $\mathsf{7^2=49}$ Quadratzentimeter
2. Schritt 2 · Erklärung
  Ein Streifen: $\mathsf{7\cdot2=14}$ Quadratzentimeter
3. Schritt 3 · Erklärung
  Gemeinsame Ecke: $\mathsf{2^2=4}$ Quadratzentimeter
4. Schritt 4 · Erklärung
  Nach dem ersten Streifen: $\mathsf{49-14=35}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  Nach dem zweiten Streifen: $\mathsf{35-14=21}$
6. Schritt 6 · Erklärung
  Ecke zurückgeben: $\mathsf{21+4=25}$
7. Schritt 7 · Erklärung
  Die Ecke wurde in beiden Streifen mitgezählt und daher doppelt abgezogen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Großes Quadrat49 cm²
2. Ein Streifen14 cm²
3. Gemeinsame Ecke4 cm²
4. Verbleibendes Quadrat25 cm²
5. Begründung für das Addieren der EckeDie Ecke gehört zu beiden Streifen. Sie wurde doppelt abgezogen und muss einmal zurückgegeben werden.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich berechne das negative Mittelglied vollständig.
Ich erkläre das positive letzte Quadrat.
Ich erkenne die doppelt abgezogene Ecke im Flächenmodell.
Ich faktorisiere passende dreigliedrige Terme.

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