Satz des Pythagoras · Erklären & üben

a² + b² = c²

Hier geht es um die Gleichung selbst: Was wird addiert, was subtrahiert und warum steht am Ende eine positive Wurzel? Du übst alle drei gesuchten Seiten getrennt.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Seitenlänge und Quadrat unterscheiden

Die Buchstaben stehen für positive Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Hypotenuse $\mathsf{c}$ liegt gegenüber dem rechten Winkel. Die Gleichung verknüpft die Quadrate der Längen, nicht ihre Summe. Aus einer Quadratfläche erhältst du eine Seitenlänge durch Wurzelziehen.

Ordne zuerst die Hypotenuse zu.
Achte darauf, ob eine Länge oder ihr Quadrat gesucht ist.

$\mathsf{a^2+b^2=c^2}$

Rechtwinkliges Dreieck mit Katheten 5 und 12 und Hypotenuse 13.

So geht es am Beispiel

Ein Hypotenusenquadrat hat eine Fläche von 169 Quadratzentimetern. Wie lang ist seine Seite?

\mathsf{c^2=169\,\mathsf{cm}^2}

\mathsf{c=\sqrt{169}\,\mathsf{cm}=13\,\mathsf{cm}}

Als Seitenlänge kommt nur die positive Lösung infrage.

Erklärung 02

Die Hypotenuse berechnen

Sind beide Katheten bekannt, addierst du ihre Quadrate. Die Wurzel umfasst die ganze Summe. Einzelne Wurzeln zu addieren wäre eine andere Rechnung.

Quadriere beide Längen in derselben Einheit.
Addiere, ziehe die Wurzel und ergänze die Längeneinheit.

$\mathsf{c=\sqrt{a^2+b^2}}$

So geht es am Beispiel

Ein rechtwinkliges Dreieck hat Katheten 5 cm und 12 cm. Berechne die Hypotenuse.

\mathsf{c^2=25+144=169}

\mathsf{c=\sqrt{169}=13\,\mathsf{cm}}

Erklärung 03

Eine Kathete freistellen

Für die gesuchte Kathete bringst du das andere Kathetenquadrat durch Subtraktion auf die Gegenseite. Erst danach ziehst du die positive Wurzel. Die Hypotenuse muss größer als die bekannte Kathete sein; sonst entstehen keine positiven Seiten eines nicht entarteten rechtwinkligen Dreiecks. Weitere Sachaufgaben findest du unter Satz des Pythagoras Aufgaben.

Subtrahiere dasselbe Quadrat auf beiden Seiten.
Ziehe die positive Wurzel über der gesamten Differenz.
Prüfe das Ergebnis durch Einsetzen.

$\mathsf{a=\sqrt{c^2-b^2},\qquad b=\sqrt{c^2-a^2}}$

Alle drei Umstellungen mit positiver Wurzel.

So geht es am Beispiel

Die Hypotenuse ist 10 cm, die Kathete b ist 8 cm lang. Bestimme a.

\mathsf{a^2+8^2=10^2}

\mathsf{a^2=100-64=36}

\mathsf{a=6\,\mathsf{cm}}

So geht es am Beispiel

Die Hypotenuse ist 25 cm, die Kathete a ist 7 cm lang. Bestimme b.

\mathsf{b^2=25^2-7^2=625-49=576}

\mathsf{b=24\,\mathsf{cm}}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1a² + b² = c² · EinstiegEin rechtwinkliges Dreieck hat Katheten $\mathsf{a=9\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{b=12\,\mathsf{cm}}$ . Berechne zuerst das Hypotenusenquadrat und dann die Hypotenuse.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Hypotenusenquadrat
Hypotenuse
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{c^2=9^2+12^2=225}$
  $\mathsf{c=15\,\mathsf{cm}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Hypotenusenquadrat $\mathsf{225\,\mathsf{cm}^2}$
2. Hypotenuse $\mathsf{15\,\mathsf{cm}}$
02
Aufgabe 2a² + b² = c² · EinstiegBerechne die Kathete a bei Hypotenuse $\mathsf{c=15\,\mathsf{cm}}$ und Kathete $\mathsf{b=9\,\mathsf{cm}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Kathete a
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{a^2=15^2-9^2=225-81=144}$
  $\mathsf{a=12\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Kathete a $\mathsf{a=12\,\mathsf{cm}}$
03
Aufgabe 3a² + b² = c² · StandardBerechne die Kathete b bei Hypotenuse $\mathsf{c=26\,\mathsf{cm}}$ und Kathete $\mathsf{a=10\,\mathsf{cm}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Kathete b
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{b^2=26^2-10^2=676-100=576}$
  $\mathsf{b=24\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Kathete b $\mathsf{b=24\,\mathsf{cm}}$
04
Aufgabe 4a² + b² = c² · StandardErgänze die Formelübersicht: Stelle die Gleichung für jede der drei positiven Seitenlängen um. Schreibe die jeweils ganze Summe oder Differenz unter die Wurzel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vervollständigte Formelübersicht
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Vervollständigte Formelübersicht
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{c=\sqrt{a^2+b^2}}$
  $\mathsf{a=\sqrt{c^2-b^2}}$
  $\mathsf{b=\sqrt{c^2-a^2}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Für die Katheten ist der jeweilige Ausdruck unter der Wurzel positiv.
Ergebnis
1. Vervollständigte FormelübersichtDrei korrekt umgestellte Formeln mit positiver Wurzel.
05
Aufgabe 5a² + b² = c² · TransferEine vermeintliche Hypotenuse ist 7 cm lang; eine Kathete soll 9 cm lang sein. Beurteile, ob ein solches rechtwinkliges Dreieck existiert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Entscheidung mit Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{a^2=7^2-9^2=49-81=-32}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Ein Quadrat einer reellen Länge kann nicht negativ sein. Außerdem wäre die angebliche Hypotenuse kürzer als die Kathete.
Ergebnis
1. Entscheidung mit BegründungKein solches Dreieck; negatives Längenquadrat und falsche längste Seite.
06
Aufgabe 6a² + b² = c² · TransferFür Katheten 6 cm und 8 cm schreibt jemand $\mathsf{c=\sqrt{6^2}+\sqrt{8^2}=14\,\mathsf{cm}}$ . Erkläre den Fehler und berechne c richtig.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fehlererklärung
Richtige Hypotenuse
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Wurzel darf nicht auf die Summanden aufgeteilt werden; sie muss die gesamte Summe der Quadrate umfassen.
  $\mathsf{c=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\,\mathsf{cm}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. FehlererklärungWurzel der Summe ist nicht die Summe der Wurzeln.
2. Richtige Hypotenuse $\mathsf{10\,\mathsf{cm}}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich finde den rechten Winkel und die gegenüberliegende Hypotenuse.
Ich ordne Größen und Einheiten vor dem Einsetzen zu.
Ich kontrolliere Wurzel, Einheit und geometrische Voraussetzungen.

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