Schätzen und Konfidenzintervalle · Erklären & üben

Abhängige und unabhängige Variable

Abhängige und unabhängige Variable bezeichnen Rollen in einer Fragestellung oder einem Modell. Du erkennst die Zielgröße, die erklärende Größe und die Grenzen einer vermuteten Wirkung.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Was soll erklärt werden?

Die abhängige Variable ist die betrachtete Zielgröße, oft ygenannt. Die unabhängige oder erklärende Variable xwird zur Erklärung oder Vorhersage verwendet. In einem kontrollierten Experiment wird sie gezielt verändert; in einer Beobachtungsstudie kann sie lediglich erfasst sein. „Unabhängig“ bedeutet hier eine Modellrolle und behauptet keine stochastische Unabhängigkeit von der Zielgröße.

Benenne Fragestellung, Größen und Modellvoraussetzungen.
Unterscheide beobachtete Werte, unbekannte Parameter und daraus gezogene Aussagen.

$\mathsf{x:\textsf{ erklärende Größe},\qquad y:\textsf{ Zielgröße}}$

Erklärende Größe, Zielgröße und möglicher Störfaktor im Vergleich.

Erklärung 02

Rollen aus der Frage ableiten

Wenn untersucht wird, wie Lichtdauer mit Pflanzenhöhe zusammenhängt, ist Lichtdauer die erklärende und Pflanzenhöhe die abhängige Variable. Die Rollen sind nicht unveränderlich in den Dingen selbst eingebaut; sie hängen von der Frage ab. Andere Einflüsse wie Wassermenge, Pflanzenart und Ausgangshöhe müssen berücksichtigt werden.

Benenne Fragestellung, Größen und Modellvoraussetzungen.
Unterscheide beobachtete Werte, unbekannte Parameter und daraus gezogene Aussagen.

Die Untersuchungsfrage legt die Rollen fest.

Eigene Licht-/Höhenpaare mit beschrifteten Einheitenachsen.

So geht es am Beispiel

Ein Versuch variiert die tägliche Lichtdauer und misst nach 14 Tagen die Pflanzenhöhe.

Die Lichtdauer in Stunden pro Tag ist die unabhängige Variable. Die abschließende Pflanzenhöhe in Zentimetern ist die abhängige Variable. Für einen fairen Vergleich werden andere Bedingungen möglichst gleich gehalten.

So geht es am Beispiel

Eine Beobachtungsstudie möchte den Eisverkauf anhand der Außentemperatur vorhersagen.

Temperatur ist die erklärende Größe; verkaufte Portionen sind die Zielgröße. Ein Zusammenhang allein beweist keine Wirkung, weil etwa Wochentag oder Ferien weitere Einflüsse sein können.

Erklärung 03

Vorhersage und tatsächliche Beobachtung

Eine einfache Regression beschreibt eine mittlere Beziehung zwischen Zielgröße und erklärender Größe. Eine Vorhersage ist nicht mit jedem tatsächlich beobachteten Wert identisch. Abweichungen können durch weitere Einflüsse und Zufall entstehen. Weder eine Regressionslinie noch ein Streudiagramm allein beweist Kausalität. Das Übertragen von Stichprobenergebnissen auf eine Population gehört zur Induktiven Statistik.

Benenne Fragestellung, Größen und Modellvoraussetzungen.
Unterscheide beobachtete Werte, unbekannte Parameter und daraus gezogene Aussagen.

$\mathsf{\widehat y=b_0+b_1x}$

So geht es am Beispiel

Ein rein illustratives Arbeitsmodell lautet $\mathsf{\widehat y=2+1{,}1x}$ . Welche Höhe sagt es bei 6 Stunden Licht voraus?

\mathsf{\widehat y=2+1{,}1\cdot6=8{,}6\,\mathsf{cm}}

Dies ist eine Modellvorhersage, keine Garantie für jede einzelne Pflanze und keine aus der gezeigten kleinen Punktliste geschätzte Regressionsgerade.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Abhängige und unabhängige Variable · EinstiegEin Versuch variiert die Lichtdauer und misst danach Pflanzenhöhen. Nenne die erklärende und die abhängige Variable.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erklärende Variable
Abhängige Variable
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Verändert wird die Lichtdauer, gemessen wird die Pflanzenhöhe.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erklärende VariableLichtdauer
2. Abhängige VariablePflanzenhöhe
02
Aufgabe 2Abhängige und unabhängige Variable · EinstiegDu möchtest Testergebnisse anhand der zuvor beobachteten Lernzeit vorhersagen. Ordne die beiden Rollen zu.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erklärende Größe
Zielgröße
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Lernzeit dient als erklärende Größe, das Testergebnis ist die Zielgröße. Die Beobachtung der Lernzeit bedeutet noch keine zufällige Zuteilung.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erklärende GrößeLernzeit
2. ZielgrößeTestergebnis
03
Aufgabe 3Abhängige und unabhängige Variable · StandardPflanzen mit mehr Licht bekommen zugleich mehr Wasser. Warum lässt sich ein Höhenunterschied nicht eindeutig auf Licht zurückführen?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Problem
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Licht- und Wassermenge ändern sich gemeinsam. Der Einfluss beider Größen lässt sich aus diesem Vergleich nicht eindeutig trennen.
Ergebnis
1. ProblemWassermenge ist ein möglicher mitveränderter Störfaktor.
04
Aufgabe 4Abhängige und unabhängige Variable · StandardTrage die Messpaare in die Vorlage ein:2 Stunden Licht und 3 cm Höhe;4 Stunden und 5 cm;6 Stunden und 8 cm. Verbinde die Punkte nicht automatisch.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Streudiagramm
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Streudiagramm
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Punkte liegen bei(2|3),(4|5),(6|8). Die Achsen haben unterschiedliche Einheiten. Eine Verbindung würde zusätzliche Aussagen über Zwischenwerte nahelegen.
Ergebnis
1. StreudiagrammDrei Punkte bei(2|3),(4|5),(6|8), ohne unbegründete Verbindung.
05
Aufgabe 5Abhängige und unabhängige Variable · TransferDas vorgegebene Modell lautet $\mathsf{\widehat y=2+1{,}1x}$ . Berechne die Vorhersage für x=8.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Modellvorhersage
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\widehat y=2+1{,}1\cdot8=10{,}8}$
Ergebnis
1. Modellvorhersage $\mathsf{10{,}8}$
06
Aufgabe 6Abhängige und unabhängige Variable · TransferJemand behauptet: Weil xunabhängige Variable heißt, müsse xstochastisch unabhängig von ysein. Beurteile die Aussage.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Bezeichnung betrifft die Rolle im Modell. Gerade eine erklärende Variable soll häufig mit der Zielgröße zusammenhängen; stochastische Unabhängigkeit ist eine separate Wahrscheinlichkeitsaussage.
Ergebnis
1. BegründungFalsch; Modellrolle und stochastische Unabhängigkeit sind verschiedene Begriffe.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich lese Titel, Achsen, Einheiten und Legende.
Ich zeichne proportional zur angegebenen Skala.
Ich begründe Aussagen mit den dargestellten Daten.

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