Schätzen und Konfidenzintervalle · Erklären & üben

Konfidenzintervall

Ein Konfidenzintervall ist das Ergebnis eines Verfahrens mit festgelegter langfristiger Abdeckung. Du berechnest einen klar abgegrenzten Fall: einen unbekannten Mittelwert bei bekannter Populationsstandardabweichung.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Parameter fest, Intervall zufällig

Der unbekannte Populationsmittelwert μist ein fester Parameter. Vor der Ziehung sind Stichprobe, Stichprobenmittel und Intervallgrenzen zufällig. Ein 95-Prozent-Konfidenzverfahren enthält bei sehr vielen Wiederholungen unter seinen Modellannahmen in ungefähr 95 Prozent der Fälle den festen Parameter. Nach Beobachtung der Daten ist das berechnete Intervall fest: Es enthält μoder nicht. Das Niveau ist keine nachträgliche 95-Prozent-Wahrscheinlichkeit für μin diesem einzelnen Intervall. „Vertrauensintervall“ ist ein anderer Name dafür.

Benenne Fragestellung, Größen und Modellvoraussetzungen.
Unterscheide beobachtete Werte, unbekannte Parameter und daraus gezogene Aussagen.

$\mathsf{P_\mu\!\left(L(X_1,\ldots,X_n)\le\mu\le U(X_1,\ldots,X_n)\right)=1-\alpha}$

Schematisch wechselnde Intervalle um einen festen Parameter; keine empirische Abdeckungsprüfung.

Erklärung 02

Der hier verwendete Rechenfall

Wir nehmen unabhängige, identisch normalverteilte Beobachtungen mit unbekanntem Mittelwert μund bekannter Populationsstandardabweichung σ>0 an. Dann ist der Stichprobenmittelwert normalverteilt mit Varianz σ²/nund Standardfehler σ/√n. Der Standardfehler beschreibt die Streuung des Schätzers, nicht die Streuung der einzelnen Beobachtungen. Für ein zweiseitiges 95-Prozent-Intervall verwenden wir das gerundete Standardnormalquantil 1,96; links und rechts bleiben je 2,5 Prozent.

Benenne Fragestellung, Größen und Modellvoraussetzungen.
Unterscheide beobachtete Werte, unbekannte Parameter und daraus gezogene Aussagen.

$\mathsf{SE=\frac{\sigma}{\sqrt n},\qquad\left[\bar x-1{,}96SE;\ \bar x+1{,}96SE\right]}$

Erklärung 03

Schätzer und Grenzen bestimmen

Berechne zunächst den Stichprobenmittelwert aus den Daten oder verwende einen ausdrücklich gegebenen Mittelwert. Das Konfidenzniveau legt das Quantil fest, nicht die beobachtete Stichprobe. Berechne Varianz des Mittelwerts und deren Wurzel, multipliziere mit dem Quantil und addiere beziehungsweise subtrahiere diese Fehlerspanne.

Benenne Fragestellung, Größen und Modellvoraussetzungen.
Unterscheide beobachtete Werte, unbekannte Parameter und daraus gezogene Aussagen.

$\mathsf{\operatorname{\textsf{Var}}(\bar X)=\frac{\sigma^2}{n},\qquad L=\bar x-z_{1-\alpha/2}SE,\quad U=\bar x+z_{1-\alpha/2}SE}$

95-Prozent-Intervall fürμbei bekannterσmit markiertem Stichprobenmittel.

So geht es am Beispiel

Im genannten Normalmodell seien σ=6 g,n=36 und der beobachtete Mittelwert 50 g. Berechne ein 95-Prozent-Intervall.

\mathsf{\operatorname{\textsf{Var}}(\bar X)=\frac{36}{36}=1\,\mathsf g^2}

\mathsf{SE=1\,\mathsf g,\qquad h=1{,}96\,\mathsf g}

\mathsf{L=48{,}04\,\mathsf g,\qquad U=51{,}96\,\mathsf g}

Erklärung 04

Breite, Irrtumsniveau und Grenzen

Das Irrtumsniveau αist die langfristige Nichtabdeckungsrate des Verfahrens unter dem Modell. Es ist weder die Wahrscheinlichkeit, dass eine konkrete Aussage falsch ist, noch eine Aussage darüber, wie viele Einzelmessungen im Intervall liegen. Bei gleichen Daten verbreitert ein höheres Konfidenzniveau das Intervall. Größeres nverkleinert den Standardfehler, wenn σgleich bleibt. Bei unbekannter σdarf man nicht bedenkenlos sstatt σin die exakte z-Formel einsetzen: Im Normalmodell verwendet das passende t-Verfahren n−1 Freiheitsgrade. Diese andere Methode ist hier nur ein Anschluss, kein zweiter vollständiger Kurs. Eigene Rechenaufgaben folgen im Thema Konfidenzintervall Übung.

Benenne Fragestellung, Größen und Modellvoraussetzungen.
Unterscheide beobachtete Werte, unbekannte Parameter und daraus gezogene Aussagen.

$\mathsf{z_{0{,}975}\approx1{,}96,\qquad z_{0{,}995}\approx2{,}576}$

So geht es am Beispiel

Verwende bei denselben Daten das 99-Prozent-Niveau mit Quantil 2,576.

\mathsf{h=2{,}576\cdot1=2{,}576\,\mathsf g}

\mathsf{[L;U]=[47{,}424;52{,}576]\,\mathsf g}

So geht es am Beispiel

Wie ändert sich bei σ=6 g der Standardfehler, wenn nvon 36 auf 144 steigt?

\mathsf{SE_{144}=\frac6{12}=0{,}5\,\mathsf g}

\mathsf{h_{95\%}=1{,}96\cdot0{,}5=0{,}98\,\mathsf g}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Konfidenzintervall · EinstiegIn einem Intervallproblem ist μder unbekannte Populationsmittelwert und der beobachtete Stichprobenmittelwert 80 g. Unterscheide Parameter und Schätzwert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Parameter
Beobachteter Schätzwert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  μist der unbekannte feste Zielparameter.80 g ist der aus dieser Stichprobe erhaltene Schätzwert fürμ.
Ergebnisse & Teilantworten
1. ParameterUnbekannter Populationsmittelwertμ.
2. Beobachteter Schätzwert $\mathsf{80\,\mathsf g}$
02
Aufgabe 2Konfidenzintervall · EinstiegEs gelten unabhängige normalverteilte Beobachtungen mit bekannter σ=10 g und n=25. Berechne den Standardfehler des Mittelwerts.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Standardfehler
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{SE=\frac{10}{\sqrt{25}}=2\,\mathsf g}$
Ergebnis
1. Standardfehler $\mathsf{2\,\mathsf g}$
03
Aufgabe 3Konfidenzintervall · StandardBerechne bei SE=2 g die Halbbreite eines zweiseitigen 95-Prozent-Intervalls mit z=1,96.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Halbbreite
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h=1{,}96\cdot2=3{,}92\,\mathsf g}$
Ergebnis
1. Halbbreite $\mathsf{3{,}92\,\mathsf g}$
04
Aufgabe 4Konfidenzintervall · StandardDer Stichprobenmittelwert ist 80 g, die 95-Prozent-Halbbreite 3,92 g. Bestimme beide Grenzen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Untergrenze
Obergrenze
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{L=80-3{,}92=76{,}08\,\mathsf g}$
  $\mathsf{U=80+3{,}92=83{,}92\,\mathsf g}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Untergrenze $\mathsf{76{,}08\,\mathsf g}$
2. Obergrenze $\mathsf{83{,}92\,\mathsf g}$
05
Aufgabe 5Konfidenzintervall · TransferTrage das Intervall[76,08 g;83,92 g]auf der vorbereiteten Parameterachse ein. Markiere den Mittelwert 80 g als Punkt und beschrifte beide Grenzen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Intervallzeichnung
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Intervallzeichnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Intervallstrecke ist symmetrisch um 80 g und reicht auf jeder Seite 3,92 g weit.
Ergebnis
1. IntervallzeichnungGrenzen 76,08 und 83,92, Mittelpunkt 80, Einheitg.
06
Aufgabe 6Konfidenzintervall · TransferJemand ersetzt die bekannte σdurch eine geschätzte sund behauptet außerdem, im berechneten 95-Prozent-Intervall lägen 95 Prozent aller Einzelmessungen. Nenne beide Probleme.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Methodenproblem
Interpretationsproblem
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die exakte z-Methode setzt bekannteσvoraus; bei unbekannter Streuung ist im Normalmodell eine t-Methode mit n−1 Freiheitsgraden erforderlich.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Das Konfidenzintervall betrifft den Populationsmittelwert und die Abdeckung des Verfahrens, nicht den Anteil einzelner Messwerte im Intervall.
Ergebnisse & Teilantworten
1. MethodenproblemUnbekannte Populationsstreuung erfordert angepasste Methode.
2. InterpretationsproblemIntervall schätztμ, nicht den Bereich von 95 Prozent der Einzelmessungen.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich lese Titel, Achsen, Einheiten und Legende.
Ich zeichne proportional zur angegebenen Skala.
Ich begründe Aussagen mit den dargestellten Daten.

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