Funktionen ableiten · Erklären & üben

Ableitung verstehen und berechnen

Eine Ableitung beschreibt, wie schnell sich ein Funktionswert an einer bestimmten Stelle verändert. Am Graphen ist das die Steigung der Tangente. Aus dieser Bedeutung entwickeln wir einfache Rechenregeln.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Mittlere Änderung: Die Sekante

Eine Sekante verläuft durch zwei Punkte eines Graphen. Ihre Steigung ist die mittlere Änderung auf einem Intervall: $\mathsf{m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}$ mit $\mathsf{a\ne b}$ .

Zuerst bestimmst du die Änderung des Funktionswerts. Danach teilst du durch die Änderung der Eingabe. Die Reihenfolge der Punkte muss im Zähler und Nenner übereinstimmen.

Graph der Quadratfunktion mit P(1|1), Q(3|9), Sekante der Steigung 4 und Tangente bei P der Steigung 2; Linien zusätzlich beschriftet.

So geht es am Beispiel

Bestimme die mittlere Änderung von $\mathsf{f(x)=x^2}$ zwischen $\mathsf{x=1}$ und $\mathsf{x=3}$ .

$\mathsf{f(1)=1}$ — erster Funktionswert.

$\mathsf{f(3)=9}$ — zweiter Funktionswert.

$\mathsf{\Delta y=9-1=8}$ — Höhenänderung.

$\mathsf{\Delta x=3-1=2}$ — horizontale Änderung.

$\mathsf{m=\frac82=4}$ — Änderungen dividieren.

Erklärung 02

Vom Intervall zur Stelle

Für die momentane Änderung lässt du den zweiten Punkt an den ersten heranrücken. Mit einem Abstand $\mathsf{h\ne0}$ lautet die Sekantensteigung $\mathsf{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h}$ .

Falls dieser Ausdruck für $\mathsf{h\to0}$ einen eindeutigen endlichen Grenzwert hat, ist das die Ableitung $\mathsf{f^{\prime}(x_0)}$ . Der Graph besitzt dort eine Tangente mit dieser Steigung. $\mathsf{h=0}$ wird nicht in den ursprünglichen Bruch eingesetzt.

So geht es am Beispiel

Bestimme die Tangentensteigung von $\mathsf{f(x)=x^2}$ an $\mathsf{x_0=2}$ mit dem Differenzenquotienten.

$\mathsf{\frac{f(2+h)-f(2)}h=\frac{(2+h)^2-4}h}$ — Funktionswerte einsetzen.

$\mathsf{\frac{(2+h)^2-4}h=\frac{4+4h+h^2-4}h}$ — das Quadrat ausmultiplizieren.

$\mathsf{\frac{4+4h+h^2-4}h=\frac{4h+h^2}h}$ — die konstanten Terme zusammenfassen.

$\mathsf{\frac{4h+h^2}h=4+h}$ — für h ungleich 0 kürzen.

$\mathsf{\lim_{h\to0}(4+h)=4}$ — den Grenzwert bilden.

Erklärung 03

Aus Steigungen wird eine Funktion

Die Ableitungsfunktion ordnet jeder geeigneten Stelle x die Tangentensteigung zu. Für $\mathsf{f(x)=x^2}$ ergibt dieselbe Grenzwertrechnung an allgemeiner Stelle $\mathsf{f^{\prime}(x)=2x}$ .

$\mathsf{f(2)=4}$ ist eine Höhe. $\mathsf{f^{\prime}(2)=4}$ ist eine Steigung. Dass hier zufällig dieselbe Zahl entsteht, macht die Bedeutungen nicht gleich.

Ist $\mathsf{f^{\prime}(x)>0}$ , steigt f dort lokal; ist $\mathsf{f^{\prime}(x)<0}$ , fällt f dort lokal. $\mathsf{f^{\prime}(x)=0}$ kennzeichnet eine waagerechte Tangente, aber allein noch keinen Hoch- oder Tiefpunkt.

Erklärung 04

Einfache Polynome ableiten

Für positive ganze Exponenten gilt die Potenzregel: Aus $\mathsf{x^n}$ wird $\mathsf{nx^{n-1}}$ . Eine Konstante hat Ableitung 0. Ein konstanter Faktor bleibt stehen; Summen werden gliedweise abgeleitet.

Bearbeite jeden Summanden einzeln und fasse anschließend zusammen. Bei einem linearen Term $\mathsf{ax}$ bleibt a. Bei einem konstanten Term verschwindet der ganze Term.

Ausführliche Produkt-, Quotienten- und Kettenregeln folgen im eigenen Themenblock. Hier werden ausschließlich einfache Polynome verwendet.

So geht es am Beispiel

Leite $\mathsf{f(x)=3x^3-2x^2+5x-7}$ ab.

$\mathsf{(3x^3)^{\prime}=9x^2}$ — den Faktor 3 mit dem Exponenten 3 multiplizieren.

$\mathsf{(-2x^2)^{\prime}=-4x}$ — Faktor und Potenzregel anwenden.

$\mathsf{(5x)^{\prime}=5}$ — ein linearer Term hat konstante Steigung.

$\mathsf{(-7)^{\prime}=0}$ — die Konstante fällt weg.

$\mathsf{f^{\prime}(x)=9x^2-4x+5}$ — die Ergebnisse zusammenstellen.

Erklärung 05

Tangente: Punkt und Steigung

Für eine Tangentengleichung brauchst du den Berührpunkt $\mathsf{P(x_0\mid f(x_0))}$ und die Steigung $\mathsf{m=f^{\prime}(x_0)}$ . Mit beiden Angaben erhältst du $\mathsf{t(x)=m(x-x_0)+f(x_0)}$ .

Verwechsle den x-Wert der Berührstelle nicht mit dem Funktionswert. Die Tangente muss durch den Berührpunkt verlaufen.

So geht es am Beispiel

Bestimme die Tangente an $\mathsf{f(x)=x^2}$ bei $\mathsf{x_0=1}$ .

$\mathsf{f(1)=1}$ — die Höhe bestimmen.

$\mathsf{f^{\prime}(x)=2x}$ — die Funktion ableiten.

$\mathsf{f^{\prime}(1)=2}$ — die Steigung an der Stelle berechnen.

$\mathsf{t(x)=2(x-1)+1}$ — Punkt und Steigung einsetzen.

$\mathsf{t(x)=2x-1}$ — die Klammer auflösen und zusammenfassen.

$\mathsf{t(1)=1}$ — den Berührpunkt kontrollieren.

Erklärung 06

Definitionsbereich und Einheiten

Eine Ableitung wird nur an Stellen betrachtet, an denen die Funktion definiert ist und die nötige Ableitbarkeit vorliegt. Die Funktion $\mathsf{f(x)=|x|}$ hat bei 0 einen Knick: Die linke Steigung ist −1, die rechte +1. Dort existiert keine gemeinsame Ableitung.

Bei Sachaufgaben gehört die Einheit dazu: Weg in Metern geteilt durch Zeit in Sekunden ergibt Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde. Ein negatives Vorzeichen kann eine Bewegung in Gegenrichtung beschreiben.

Polynome sind für alle reellen Zahlen definiert und ableitbar. Ein Sachmodell kann trotzdem auf einen kleineren Zeitbereich beschränkt sein.

So geht es am Beispiel

Ein Wegmodell lautet $\mathsf{s(t)=2t^2+t}$ Meter für $\mathsf{0\le t\le4}$ Sekunden. Bestimme die Geschwindigkeit bei $\mathsf{t=2}$ .

$\mathsf{s^{\prime}(t)=4t+1}$ — das Wegmodell ableiten.

$\mathsf{s^{\prime}(2)=9}$ — die Zeit einsetzen.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Ableitung verstehen und berechnen · EinstiegFür $\mathsf{f(x)=x^2+1}$ bestimme die mittlere Änderung im Intervall [0; 2].Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und mittlere Änderung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(0)=1}$ — erster Wert.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(2)=5}$ — zweiter Wert.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{m=\frac{5-1}{2-0}=2}$ — Differenzenquotient.
Ergebnis
1. Rechnung und mittlere Änderung $\mathsf{m=2}$
02
Aufgabe 2Ableitung verstehen und berechnen · EinstiegVereinfache den Differenzenquotienten von $\mathsf{f(x)=x^2}$ bei $\mathsf{x_0=1}$ und bestimme daraus die Ableitung an dieser Stelle.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachung und Grenzwert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\frac{(1+h)^2-1}h=\frac{1+2h+h^2-1}h}$ — ausmultiplizieren.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\frac{1+2h+h^2-1}h=\frac{2h+h^2}h}$ — zusammenfassen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\frac{2h+h^2}h=2+h}$ — für h ungleich 0 kürzen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\lim_{h\to0}(2+h)=2}$ — Grenzwert.
Ergebnis
1. Vereinfachung und Grenzwert $\mathsf{f^{\prime}(1)=2}$
03
Aufgabe 3Ableitung verstehen und berechnen · StandardLeite $\mathsf{f(x)=4x^3-5x+6}$ ab.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ableitungsfunktion
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(4x^3)^{\prime}=12x^2}$ — Potenzregel.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(-5x)^{\prime}=-5}$ — linearer Term.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{6^{\prime}=0}$ — Konstante.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=12x^2-5}$ — zusammensetzen.
Ergebnis
1. Ableitungsfunktion $\mathsf{f^{\prime}(x)=12x^2-5}$
04
Aufgabe 4Ableitung verstehen und berechnen · StandardLeite $\mathsf{g(x)=\frac12x^4-3x^2}$ ab und berechne $\mathsf{g^{\prime}(2)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
a) Ableitungsfunktion
b) Wert an der Stelle 2
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(\frac12x^4)^{\prime}=2x^3}$ — Faktor mal Exponent.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(-3x^2)^{\prime}=-6x}$ — zweiten Term ableiten.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g^{\prime}(x)=2x^3-6x}$ — zusammenstellen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g^{\prime}(2)=16-12=4}$ — x = 2 einsetzen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. a) Ableitungsfunktion $\mathsf{g^{\prime}(x)=2x^3-6x}$
2. b) Wert an der Stelle 2 $\mathsf{g^{\prime}(2)=4}$
05
Aufgabe 5Ableitung verstehen und berechnen · StandardBestimme für $\mathsf{f(x)=x^2-4x+1}$ die Stellen mit waagerechter Tangente.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Stelle mit Rechnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=2x-4}$ — ableiten.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2x-4=0}$ — waagerechte Tangente ansetzen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2x=4}$ — 4 addieren.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=2}$ — durch 2 teilen.
Ergebnis
1. Stelle mit Rechnung $\mathsf{x=2}$
06
Aufgabe 6Ableitung verstehen und berechnen · StandardBestimme die Tangentengleichung an $\mathsf{f(x)=x^2+2}$ bei $\mathsf{x_0=-1}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Berührpunkt
Tangente mit Rechnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(-1)=3}$ — Höhe.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=2x}$ — ableiten.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(-1)=-2}$ — Steigung.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{t(x)=-2(x+1)+3}$ — Punkt-Steigungs-Form.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{t(x)=-2x+1}$ — vereinfachen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Berührpunkt $\mathsf{P(-1\mid3)}$
2. Tangente mit Rechnung $\mathsf{t(x)=-2x+1}$
07
Aufgabe 7Ableitung verstehen und berechnen · StandardFür $\mathsf{s(t)=t^2+2t}$ Meter auf $\mathsf{0\le t\le5}$ Sekunden bestimme a) die mittlere Geschwindigkeit von 1 bis 3 Sekunden und b) die momentane Geschwindigkeit bei 3 Sekunden.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
a) Mittlere Geschwindigkeit
b) Momentane Geschwindigkeit
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{s(1)=3}$ — erster Wegwert.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{s(3)=15}$ — zweiter Wegwert.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\frac{15-3}{3-1}=6}$ — mittlere Geschwindigkeit in m/s.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{s^{\prime}(t)=2t+2}$ — Geschwindigkeitsfunktion.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{s^{\prime}(3)=8}$ — momentane Geschwindigkeit in m/s.
Ergebnisse & Teilantworten
1. a) Mittlere Geschwindigkeit6 m/s.
2. b) Momentane Geschwindigkeit8 m/s.
08
Aufgabe 8Ableitung verstehen und berechnen · VertiefungJemand leitet $\mathsf{f(x)=2x^3+4}$ als $\mathsf{f^{\prime}(x)=6x^3+4}$ ab. Erkläre beide Fehler und korrigiere.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fehler und richtige Ableitung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der Exponent muss nach der Multiplikation um 1 sinken.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die Ableitung einer Konstanten ist 0.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=6x^2}$ — beide Korrekturen umsetzen.
Ergebnis
1. Fehler und richtige Ableitung $\mathsf{f^{\prime}(x)=6x^2}$ ; Exponent senken und Konstante ableiten.
09
Aufgabe 9Ableitung verstehen und berechnen · VertiefungFür $\mathsf{f(x)=x^2}$ vergleiche $\mathsf{f(-2)}$ und $\mathsf{f^{\prime}(-2)}$ . Deute beide Werte.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Funktionswert mit Bedeutung
Ableitungswert mit Bedeutung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(-2)=4}$ — Höhe.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=2x}$ — Ableitung.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(-2)=-4}$ — Steigung.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Funktionswert mit BedeutungDie Höhe ist 4.
2. Ableitungswert mit BedeutungDie Tangentensteigung ist −4; der Graph fällt dort.
10
Aufgabe 10Ableitung verstehen und berechnen · VertiefungBeurteile: „Wenn $\mathsf{f^{\prime}(x_0)=0}$ ist, muss dort ein Extrempunkt liegen.“ Nutze $\mathsf{f(x)=x^3}$ bei 0 als Beispiel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Beurteilung mit Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=3x^2}$ — ableiten.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(0)=0}$ — waagerechte Tangente.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Für x < 0 und x > 0 ist $\mathsf{3x^2>0}$ . Der Graph steigt auf beiden Seiten.
Ergebnis
1. Beurteilung mit BegründungDie Aussage ist falsch. Bei x = 0 hat x³ eine waagerechte Tangente, aber keinen Hoch- oder Tiefpunkt.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich unterscheide mittlere und momentane Änderung.
Ich trenne Funktionswert und Ableitungswert.
Ich beachte Definitionsbereich und Einheiten.

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