Funktionen ableiten · Erklären & üben

Graphisch ableiten

Beim graphischen Ableiten liest du nicht die Höhe eines Graphen ab, sondern seine Steigung. Aus vielen lokalen Steigungen entsteht der Graph der Ableitungsfunktion.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Jeder x-Wert bekommt eine Steigung

Der Wert $\mathsf{f^{\prime}(x)}$ gibt an, wie steil die Tangente an f bei diesem x verläuft. Eine steigende Tangente liefert einen positiven Wert, eine fallende einen negativen. Eine waagerechte Tangente liefert 0.

Nutze ein Steigungsdreieck mit ablesbarer horizontaler und vertikaler Änderung. Achte auf die Achsenskalierung. Schätzwerte aus einer Zeichnung bleiben Näherungswerte.

So geht es am Beispiel

Eine Tangente steigt um 3 Kästchen, während sie 2 Kästchen nach rechts läuft. Beide Achsen haben 1 Einheit pro Kästchen.

$\mathsf{\Delta y=3}$ — vertikale Änderung.

$\mathsf{\Delta x=2}$ — horizontale Änderung.

$\mathsf{m=\frac32=1{,}5}$ — Steigung berechnen.

Erklärung 02

Vorzeichen statt Graphenhöhe

Liegt f oberhalb der x-Achse, folgt daraus kein Vorzeichen für $\mathsf{f^{\prime}}$ . Ein positiver Funktionswert kann zu einem fallenden Graphen gehören. Entscheidend ist die Richtung des Verlaufs.

Für das Beispiel $\mathsf{f(x)=x^2-1}$ fällt der Graph links von 0 und steigt rechts von 0. Die Steigungen werden dabei stetig größer. Der Ableitungsgraph ist $\mathsf{f^{\prime}(x)=2x}$ .

Zwei gleich skalierte Koordinatensysteme: Graph A x² minus 1 und seine Ableitung 2x mit markierten Punkten bei −1, 0 und 1.

Erklärung 03

Waagerechte Tangenten und Extrempunkte

An einem inneren Hoch- oder Tiefpunkt einer differenzierbaren Funktion gilt $\mathsf{f^{\prime}(x_0)=0}$ . Umgekehrt reicht diese Gleichung allein nicht aus.

Wechselt $\mathsf{f^{\prime}}$ von positiv zu negativ, liegt ein Hochpunkt von f vor. Beim Wechsel von negativ zu positiv liegt ein Tiefpunkt vor. Bei $\mathsf{f(x)=x^3}$ berührt $\mathsf{f^{\prime}(x)=3x^2}$ die x-Achse bei 0, ohne das Vorzeichen zu wechseln: f hat dort keinen Extrempunkt.

Randpunkte eines betrachteten Intervalls und Knickstellen benötigen eine gesonderte Betrachtung. Am Knick kann die Ableitung fehlen, obwohl die Funktion dort ein Minimum hat.

Erklärung 04

Wenn sich die Steigungen ändern

Wird der Graph von f beim Durchlaufen von links nach rechts immer steiler nach oben, steigen die Werte von $\mathsf{f^{\prime}}$ . Werden die Steigungen kleiner, fällt $\mathsf{f^{\prime}}$ . Auch negative Steigungen können größer werden: −3, −2, −1.

Ein Wechsel zwischen zunehmenden und abnehmenden Steigungen kann sich als Extremstelle von $\mathsf{f^{\prime}}$ zeigen. Bei genügend glatten Graphen gehört dazu ein Wendepunkt von f. Die vollständige Untersuchung mit höheren Ableitungen folgt im eigenen Thema.

Graph B x³ durch 3 minus x und Ableitungsparabel x² minus 1 in beschrifteten Koordinatensystemen.

So geht es am Beispiel

Betrachte $\mathsf{f(x)=\frac13x^3-x}$ .

Links von −1 sind die Tangentensteigungen positiv.

Bei −1 ist die Tangente waagerecht.

Zwischen −1 und 1 sind die Steigungen negativ.

Bei 1 ist die Tangente wieder waagerecht.

Rechts von 1 sind die Steigungen positiv.

Die kleinste Steigung liegt bei x = 0 und beträgt −1.

Erklärung 05

Eine Skizze Schritt für Schritt

Markiere zunächst x-Stellen mit waagerechten Tangenten. Übertrage sie als mögliche Nullstellen in das vorbereitete System für die Ableitung.

Bestimme danach die Vorzeichenbereiche und schätze an einigen weiteren Stellen die Tangentensteigung. Erst dann verbindest du die Punkte passend zum erkennbaren Verlauf.

Gib fehlende Ableitungswerte als Lücken an. Erfinde an einem Knick keinen verbindenden Ableitungswert. Eine reine Skizze ohne genaue Tangenten erlaubt meist keinen exakten Funktionsterm.

Erklärung 06

Was eine Ableitung nicht verrät

Eine vertikale Verschiebung verändert die Steigungen nicht. Die Graphen von $\mathsf{x^2-1}$ und $\mathsf{x^2+2}$ besitzen beide die Ableitung $\mathsf{2x}$ .

Ein Ableitungsgraph verrät deshalb nicht die absolute Höhe von f. Dafür brauchst du mindestens eine zusätzliche Angabe, etwa einen Punkt auf dem ursprünglichen Graphen.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Graphisch ableiten · EinstiegEine Tangente verläuft im Steigungsdreieck 4 Einheiten nach rechts und 2 nach unten. Bestimme den zugehörigen Ableitungswert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ableitungswert mit Rechnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\Delta y=-2}$ — abwärts bedeutet negative Änderung.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\Delta x=4}$ — horizontale Änderung.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{m=\frac{-2}4=-0{,}5}$ — dividieren.
Ergebnis
1. Ableitungswert mit Rechnung $\mathsf{f^{\prime}(x_0)\approx-0{,}5}$
02
Aufgabe 2Graphisch ableiten · EinstiegIm Steigungsdreieck geht eine Tangente 3 Kästchen nach rechts und 2 Kästchen nach oben. Ein x-Kästchen entspricht 2 Einheiten, ein y-Kästchen 3 Einheiten. Bestimme die Steigung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Steigung mit Rechnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\Delta x=3\cdot2=6}$ — x-Skala berücksichtigen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\Delta y=2\cdot3=6}$ — y-Skala berücksichtigen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{m=\frac66=1}$ — Änderungen dividieren.
Ergebnis
1. Steigung mit Rechnung $\mathsf{m=1}$
03
Aufgabe 3Graphisch ableiten · StandardDie abgebildete Parabel A hat ihren Scheitel bei (0 | −1). Bestimme die Vorzeichen der Ableitung links und rechts von 0 sowie ihren Wert bei 0.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Links von 0
Bei 0
Rechts von 0
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Links von 0 fällt der Graph: $\mathsf{f^{\prime}(x)<0}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Bei 0 ist die Tangente waagerecht: $\mathsf{f^{\prime}(0)=0}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Rechts von 0 steigt der Graph: $\mathsf{f^{\prime}(x)>0}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Links von 0 $\mathsf{f^{\prime}(x)<0}$
2. Bei 0 $\mathsf{f^{\prime}(0)=0}$
3. Rechts von 0 $\mathsf{f^{\prime}(x)>0}$
04
Aufgabe 4Graphisch ableiten · StandardNutze Graph A und skizziere seine Ableitung im vorbereiteten System. Trage mindestens die Steigungen bei x = −1, 0 und 1 ein.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ableitungsgraph mit markierten Punkten
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Ableitungsgraph mit markierten Punkten
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{f^{\prime}(-1)=-2}$ — fallende Tangente.
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{f^{\prime}(0)=0}$ — waagerechte Tangente.
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{f^{\prime}(1)=2}$ — steigende Tangente.
4. Schritt 4 · Erklärung
  Die Steigungen wachsen gleichmäßig; die drei Punkte liegen auf der Geraden $\mathsf{y=2x}$ .
Ergebnis
1. Ableitungsgraph mit markierten Punkten $\mathsf{f^{\prime}(x)=2x}$
05
Aufgabe 5Graphisch ableiten · StandardGraph B zeigt eine S-Kurve mit Hochpunkt bei x = −1 und Tiefpunkt bei x = 1. Beschreibe die Vorzeichenbereiche von f′ und die beiden Vorzeichenwechsel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vorzeichenbereiche
Extrempunkte mit Wechsel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Für x < −1 steigt f, also ist $\mathsf{f^{\prime}>0}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Für −1 < x < 1 fällt f, also ist $\mathsf{f^{\prime}<0}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Für x > 1 steigt f, also ist $\mathsf{f^{\prime}>0}$ .
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  Bei −1 erfolgt der Wechsel + nach −; bei 1 der Wechsel − nach +.
Ergebnisse & Teilantworten
1. VorzeichenbereichePositiv links von −1 und rechts von 1; negativ dazwischen.
2. Extrempunkte mit WechselHochpunkt bei −1, Tiefpunkt bei 1.
06
Aufgabe 6Graphisch ableiten · StandardEin Ableitungsgraph ist $\mathsf{f^{\prime}(x)=3x^2}$ . Hat f bei x = 0 zwingend ein Extremum? Begründe mithilfe des Vorzeichens.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(0)=0}$ — mögliche stationäre Stelle.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Für jedes x ungleich 0 ist $\mathsf{3x^2>0}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Die Steigung wechselt nicht das Vorzeichen.
Ergebnis
1. UrteilNein. Eine waagerechte Tangente ohne Vorzeichenwechsel erzwingt kein Extremum.
07
Aufgabe 7Graphisch ableiten · StandardEin Funktionsgraph liegt vollständig oberhalb der x-Achse und fällt im betrachteten Intervall streng mit überall negativer Tangentensteigung. Wo liegt sein Ableitungsgraph?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Lage mit Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die positive Höhe betrifft f, nicht die Steigung.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Negative Tangentensteigungen werden zu negativen Ableitungswerten.
Ergebnis
1. Lage mit BegründungDer Ableitungsgraph liegt unterhalb der x-Achse.
08
Aufgabe 8Graphisch ableiten · VertiefungVergleiche die Ableitungsgraphen von $\mathsf{f(x)=x^2-1}$ und $\mathsf{g(x)=x^2+4}$ . Erkläre ohne ausführliche Rechnung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vergleich
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  g entsteht durch Verschieben von f um 5 nach oben.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Eine vertikale Verschiebung verändert die Tangentensteigungen nicht.
Ergebnis
1. VergleichDie Ableitungsgraphen sind identisch; beide haben den Term 2x.
09
Aufgabe 9Graphisch ableiten · VertiefungDer Graph von $\mathsf{f(x)=|x|}$ hat bei 0 einen Knick. Beschreibe die Ableitung links und rechts von 0 sowie die Situation an 0.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Links und rechts
Bei 0
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Links von 0 ist f eine Gerade mit Steigung −1.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Rechts von 0 ist f eine Gerade mit Steigung +1.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Die beiden einseitigen Steigungen stimmen an 0 nicht überein.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Links und rechts $\mathsf{f^{\prime}(x)=-1\ (x<0),\quad f^{\prime}(x)=1\ (x>0)}$
2. Bei 0Die Ableitung ist dort nicht definiert; die beiden Äste dürfen nicht durch einen Wert bei 0 verbunden werden.
10
Aufgabe 10Graphisch ableiten · VertiefungDie gemessenen Tangentensteigungen einer glatten Funktion lauten bei aufsteigenden x-Werten −3, −2 und −1. Beurteile getrennt den Verlauf von f und den Verlauf von f′ in einem Bereich, in dem dieses Muster anhält.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Verlauf von f
Verlauf von f′
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Alle angegebenen Steigungen sind negativ: f fällt.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die Steigungen werden größer, also steigt f′.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Der Graph von f fällt dabei zunehmend flacher.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Verlauf von fFallend, dabei flacher werdend.
2. Verlauf von f′Steigend.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich lese Steigung statt Höhe ab.
Ich erkenne Nullstellen und Vorzeichenwechsel der Ableitung.
Ich markiere Knickstellen und beachte Achsenskalierungen.

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