Funktionen ableiten · Erklären & üben

Ableitungen wichtiger Funktionen

Eine kleine Sammlung bekannter Ableitungen macht viele Rechnungen übersichtlich. Wähle zuerst die passende Funktionsfamilie und beachte ihren Definitionsbereich.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Konstanten, Potenzen und Summen

Eine konstante Funktion $\mathsf{f(x)=c}$ hat überall die Ableitung null. Für positive ganze n gilt $\mathsf{(x^n)^{\prime}=nx^{n-1}}$ auf ganz R.

Bei negativen ganzen Exponenten ist x=0 ausgeschlossen. Für beliebige reelle Exponenten verwenden wir die Potenzregel hier auf x>0.

Konstante Faktoren bleiben erhalten. Summen und Differenzen leitest du gliedweise ab. Diese Regeln genügen für die Beispiele dieses Themas.

Zwei maßstäbliche Koordinatensysteme zeigen x² und seine Ableitung2x; Achsen sind einzeln skaliert.

So geht es am Beispiel

Leite $\mathsf{f(x)=3x^4-2x+7}$ ab.

$\mathsf{f^{\prime}(x)=3\cdot4x^3-2\cdot1+0}$ — jeden Summanden ableiten.

$\mathsf{f^{\prime}(x)=12x^3-2}$ — Faktoren ausrechnen.

Erklärung 02

Kehrwert und Quadratwurzel

Der Kehrwert $\mathsf{1/x=x^{-1}}$ ist nur für x ungleich null definiert. Seine Ableitung lautet $\mathsf{-1/x^2}$ auf demselben Bereich.

Die Wurzelfunktion ist für x≥0 definiert. Die Ableitungsformel gilt jedoch nur für x>0: Am Randpunkt0 gibt es keine endliche gewöhnliche Ableitung.

Schreibe eine Wurzel zunächst als Potenz. Der Exponent wird um eins kleiner; nicht etwa durch zwei geteilt.

$\mathsf{(\sqrt{x})^{\prime}=\frac1{2\sqrt{x}}\quad(x>0)}$

So geht es am Beispiel

Leite $\mathsf{g(x)=4\sqrt{x}}$ ab.

$\mathsf{g(x)=4x^{1/2}}$ — Wurzel als Potenz schreiben.

$\mathsf{g^{\prime}(x)=4\cdot\frac12x^{-1/2}}$ — Potenzregel anwenden.

$\mathsf{g^{\prime}(x)=2x^{-1/2}}$ — Faktor vereinfachen.

$\mathsf{g^{\prime}(x)=\frac2{\sqrt{x}}}$ — negativen Exponenten umschreiben.

Erklärung 03

Exponential- und Logarithmusfunktionen

Die natürliche Exponentialfunktion $\mathsf{e^x}$ ist ihre eigene Ableitung. Ihr Definitionsbereich und der ihrer Ableitung ist ganz R.

Für eine konstante Basis a>0 gilt $\mathsf{(a^x)^{\prime}=a^x\ln a}$ . Bei a=1 ist die Funktion konstant, passend zu ln1=0.

Für $\mathsf{\ln x}$ gilt $\mathsf{x>0}$ . Die Ableitung $\mathsf{1/x}$ darf deshalb im Zusammenhang mit ln x nicht auf negative x erweitert werden.

$\mathsf{(e^x)^{\prime}=e^x\qquad(\ln x)^{\prime}=\frac1x}$

So geht es am Beispiel

Leite $\mathsf{h(x)=2e^x-3\ln x}$ ab und nenne den Bereich.

$\mathsf{h^{\prime}(x)=2e^x-3\cdot\frac1x}$ — beide Familien ableiten.

$\mathsf{h^{\prime}(x)=2e^x-\frac3x}$ — vereinfachen.

Wegen ln x sind Funktion und Ableitung nur für x>0 relevant.

Erklärung 04

Sinus und Kosinus

Die Formeln gelten bei Winkeln im Bogenmaß. Sinus und Kosinus sind auf ganz R differenzierbar.

Die Sinusableitung ist Kosinus. Die Kosinusableitung ist minus Sinus; dieses Minuszeichen ist wichtig.

$\mathsf{(\sin x)^{\prime}=\cos x\qquad(\cos x)^{\prime}=-\sin x}$

So geht es am Beispiel

Leite $\mathsf{k(x)=3\sin x+2\cos x}$ ab.

$\mathsf{k^{\prime}(x)=3\cos x+2(-\sin x)}$ — beide Summanden ableiten.

$\mathsf{k^{\prime}(x)=3\cos x-2\sin x}$ — Vorzeichen vereinfachen.

Erklärung 05

Formelwahl und Grenzen der Sammlung

$\mathsf{x^2}$ und $\mathsf{2^x}$ sehen ähnlich aus, gehören aber zu verschiedenen Familien: Beim ersten ist x die Basis, beim zweiten der Exponent.

Verkettungen wie sin(3x), Produkte zweier veränderlicher Faktoren und Quotienten aus zwei Funktionen benötigen weitere Regeln. Die ausführliche Ketten-, Produkt- und Quotientenregel folgt im Block608.

Hier entstehen Quotienten wie 1/x nur aus bekannten Potenzformen. Damit wird keine allgemeine Quotientenregel vorausgesetzt.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Ableitungen wichtiger Funktionen · GrundlagenBestimme die Ableitung von $\mathsf{f(x)=6}$ und ihren gültigen Bereich.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=0}$ — eine Konstante hat keine Änderung.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{0}$ auf R.
02
Aufgabe 2Ableitungen wichtiger Funktionen · GrundlagenBestimme die Ableitung von $\mathsf{f(x)=5x^3-4x+2}$ und ihren gültigen Bereich.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=5\cdot3x^2-4+0}$ — gliedweise ableiten.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=15x^2-4}$ — zusammenfassen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{15x^2-4}$ auf R.
03
Aufgabe 3Ableitungen wichtiger Funktionen · GrundlagenBestimme die Ableitung von $\mathsf{f(x)=x^{-3}}$ und ihren gültigen Bereich.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=-3x^{-4}}$ — Potenzregel.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=-\frac3{x^4}}$ — umschreiben.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{-3/x^4}$ für x≠0.
04
Aufgabe 4Ableitungen wichtiger Funktionen · AnwendenBestimme die Ableitung von $\mathsf{f(x)=6\sqrt{x}}$ und ihren gültigen Bereich.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(x)=6x^{1/2}}$ — als Potenz.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=3x^{-1/2}}$ — Potenzregel.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=\frac3{\sqrt{x}}}$ — umschreiben.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{3/\sqrt{x}}$ für x>0.
05
Aufgabe 5Ableitungen wichtiger Funktionen · AnwendenBestimme die Ableitung von $\mathsf{f(x)=4e^x-5}$ und ihren gültigen Bereich.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=4e^x-0}$ — e-Funktion und Konstante ableiten.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=4e^x}$ — vereinfachen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{4e^x}$ auf R.
06
Aufgabe 6Ableitungen wichtiger Funktionen · AnwendenBestimme die Ableitung von $\mathsf{f(x)=3\ln x}$ und ihren gültigen Bereich.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=3\cdot\frac1x}$ — Faktor beibehalten.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=\frac3x}$ — vereinfachen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{3/x}$ für x>0.
07
Aufgabe 7Ableitungen wichtiger Funktionen · AnwendenBestimme die Ableitung von $\mathsf{f(x)=2\sin x-\cos x}$ und ihren gültigen Bereich.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=2\cos x-(-\sin x)}$ — Formeln einsetzen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=2\cos x+\sin x}$ — Vorzeichen vereinfachen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{2\cos x+\sin x}$ auf R.
08
Aufgabe 8Ableitungen wichtiger Funktionen · VertiefenBestimme die Ableitung von $\mathsf{f(x)=2^x}$ und ihren gültigen Bereich.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=2^x\ln2}$ — Exponentialregel mit Basis2.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{2^x\ln2}$ auf R.
09
Aufgabe 9Ableitungen wichtiger Funktionen · VertiefenLinks ist $\mathsf{f(x)=x^2}$ gezeichnet. Berechne die Ableitung und zeichne sie rechts. Markiere die Stellen x=−1,0,1 mit ihren Ableitungswerten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=2x}$ — Potenzregel.
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{f^{\prime}(-1)=-2}$ — einsetzen.
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{f^{\prime}(0)=0}$ — einsetzen.
4. Schritt 4 · Erklärung
  $\mathsf{f^{\prime}(1)=2}$ — einsetzen.
5. Schritt 5 · Erklärung
  Die drei Punkte liegen auf einer Geraden.
Ergebnis
1. Antwort und Begründung $\mathsf{f^{\prime}(x)=2x}$ ; Punkte(−1|−2),(0|0),(1|2).
10
Aufgabe 10Ableitungen wichtiger Funktionen · VertiefenBeurteile: Weil $\mathsf{\sqrt{x}}$ bei x=0 definiert ist, gilt dort die Formel $\mathsf{1/(2\sqrt{x})}$ ebenfalls. Erkläre den Fehler.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Bei x=0 würde der Nenner null.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Differenzenquotienten von rechts sind $\mathsf{\sqrt h/h=1/\sqrt h}$ für h>0.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Für h gegen0 wachsen diese Werte ohne endliche Grenze.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungDie Aussage ist falsch; die Ableitungsformel gilt nur für x>0.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich nenne den gültigen Definitionsbereich.
Ich trenne Rechnung und Schlussfolgerung.
Ich prüfe, ob die Voraussetzungen meines Kriteriums gelten.

AT Academy · Version 2026-10-21