Funktionen ableiten · Erklären & üben

Zweite Ableitung

Die zweite Ableitung beschreibt, wie sich die erste Ableitung ändert. Sie hilft, die Krümmung eines Graphen zu verstehen und manche kritischen Punkte einzuordnen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Zweimal nacheinander ableiten

Bilde zunächst f′ und leite anschließend f′ ab. Das Ergebnis heißt f″. Es ist nicht das Quadrat der ersten Ableitung.

Bei den folgenden Beispielen sind die Funktionen im betrachteten offenen Bereich zweimal stetig differenzierbar. So können die Vorzeichenkriterien für die Krümmung direkt verwendet werden.

So geht es am Beispiel

Bestimme die zweite Ableitung von $\mathsf{f(x)=2x^4-3x^2+5}$ .

$\mathsf{f^{\prime}(x)=8x^3-6x}$ — erste Ableitung.

$\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=24x^2-6}$ — f′ nochmals ableiten.

Erklärung 02

Vorzeichen und Krümmung

Ist f″>0 auf einem Intervall, steigt f′ dort: Die Tangentensteigungen werden größer. Der Graph ist nach oben gekrümmt, also konvex bzw. linksgekrümmt.

Ist f″<0, fällt f′: Die Tangentensteigungen werden kleiner. Der Graph ist nach unten gekrümmt, also konkav bzw. rechtsgekrümmt.

Das Vorzeichen von f″ allein entscheidet nicht, ob f steigt oder fällt. Dafür brauchst du f′. Eine fallende Funktion kann nach oben gekrümmt sein.

So geht es am Beispiel

Untersuche $\mathsf{g(x)=x^2-4x}$ bei x=1.

$\mathsf{g^{\prime}(x)=2x-4}$ — erste Ableitung.

$\mathsf{g^{\prime}(1)=-2}$ — bei1 einsetzen.

$\mathsf{g^{\prime\prime}(x)=2}$ — zweite Ableitung.

$\mathsf{g^{\prime\prime}(1)=2>0}$ — Vorzeichen bestimmen.

Erklärung 03

Kritische Punkte einordnen

Zuerst muss f′(x₀)=0 gelten. Ist dann f″(x₀)>0, liegt ein strenges lokales Minimum vor. Bei f″(x₀)<0 liegt ein strenges lokales Maximum vor.

Ergibt f″(x₀)=0, liefert dieser Test keine Entscheidung. Ein Extremum kann trotzdem vorliegen; ein Vorzeichenwechsel von f′ kann dann weiterhelfen.

So geht es am Beispiel

Ordne den kritischen Punkt von $\mathsf{h(x)=-x^2+6x}$ ein.

$\mathsf{h^{\prime}(x)=-2x+6}$ — ableiten.

$\mathsf{-2x+6=0}$ — kritische Stelle suchen.

$\mathsf{-2x=-6}$ — 6 abziehen.

$\mathsf{x=3}$ — durch−2 teilen.

$\mathsf{h^{\prime\prime}(x)=-2}$ — zweite Ableitung.

$\mathsf{h^{\prime\prime}(3)<0}$ — Maximumkriterium.

$\mathsf{h(3)=9}$ — Funktionswert einsetzen.

Erklärung 04

Wendestellen brauchen einen Krümmungswechsel

Eine Wendestelle liegt dort, wo die Krümmung tatsächlich wechselt. Bei unseren glatten Funktionen suchst du Kandidaten über f″(x)=0 und prüfst anschließend das Vorzeichen links und rechts.

Für f(x)=x³ gilt f″(x)=6x: links von0 negativ, rechts positiv. Daher ist(0|0) ein Wendepunkt.

Für g(x)=x⁴ gilt g″(x)=12x². Zwar ist g″(0)=0, doch auf beiden Seiten ist g″ positiv. Deshalb gibt es dort keinen Wendepunkt.

$\mathsf{f^{\prime\prime}(x_0)=0\ \textsf{allein genügt nicht}}$

Koordinatengenaue Graphen von x³ und x⁴ zeigen den Unterschied zwischen Krümmungswechsel und Minimum.

Erklärung 05

Einordnung in eine Untersuchung

Notiere getrennt: Monotonie aus f′, Krümmung aus f″ und Funktionswerte aus f. So vermischst du keine Graphen.

Eine vollständige Kurvendiskussion umfasst weitere Fragen wie Definitionsbereich und Randverhalten. Hier werden nur die konkreten Aufgaben der zweiten Ableitung behandelt.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Zweite Ableitung · GrundlagenBestimme f′ und f″ für $\mathsf{f(x)=x^3-2x}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erste Ableitung
Zweite Ableitung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=3x^2-2}$ — erste Ableitung.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=6x}$ — nochmals ableiten.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erste Ableitung $\mathsf{3x^2-2}$
2. Zweite Ableitung $\mathsf{6x}$
02
Aufgabe 2Zweite Ableitung · GrundlagenBestimme f′ und f″ für $\mathsf{f(x)=4x^2+3x-1}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erste Ableitung
Zweite Ableitung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=8x+3}$ — erste Ableitung.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=8}$ — nochmals ableiten.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erste Ableitung $\mathsf{8x+3}$
2. Zweite Ableitung $\mathsf{8}$
03
Aufgabe 3Zweite Ableitung · GrundlagenBestimme f′ und f″ für $\mathsf{f(x)=-2x^4+x^2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erste Ableitung
Zweite Ableitung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=-8x^3+2x}$ — erste Ableitung.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=-24x^2+2}$ — nochmals ableiten.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erste Ableitung $\mathsf{-8x^3+2x}$
2. Zweite Ableitung $\mathsf{-24x^2+2}$
04
Aufgabe 4Zweite Ableitung · AnwendenUntersuche die Krümmung von $\mathsf{f(x)=x^2-6x}$ und entscheide, ob f bei x=1 steigt oder fällt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=2x-6}$ — erste Ableitung.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(1)=-4}$ — einsetzen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=2}$ — zweite Ableitung.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  f″ ist überall positiv, f′ bei1 negativ.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisNach oben gekrümmt auf R; bei x=1 fallend.
05
Aufgabe 5Zweite Ableitung · AnwendenBestimme den Extrempunkt von $\mathsf{f(x)=x^2-4x+1}$ mit dem Zweitableitungstest.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=2x-4}$ — ableiten.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2x-4=0}$ — kritische Stelle.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2x=4}$ — 4 addieren.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=2}$ — durch2 teilen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=2>0}$ — Minimum.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(2)=-3}$ — Funktionswert.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisTiefpunkt T(2|−3).
06
Aufgabe 6Zweite Ableitung · AnwendenBestimme die Krümmungsintervalle und den Wendepunkt von $\mathsf{f(x)=x^3-3x}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=3x^2-3}$ — erste Ableitung.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=6x}$ — zweite Ableitung.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{6x=0}$ — Kandidat.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=0}$ — lösen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  Für x<0 ist6x negativ; für x>0 positiv.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(0)=0}$ — y-Koordinate.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisNach unten gekrümmt für x<0, nach oben für x>0; W(0|0).
07
Aufgabe 7Zweite Ableitung · AnwendenPrüfe, ob $\mathsf{f(x)=x^4}$ bei0 einen Wendepunkt hat.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=4x^3}$ — erste Ableitung.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=12x^2}$ — zweite Ableitung.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime\prime}(0)=0}$ — Kandidat.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  Für x≠0 ist12x² positiv. Es gibt keinen Vorzeichenwechsel.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisKein Wendepunkt bei0.
08
Aufgabe 8Zweite Ableitung · VertiefenLeite $\mathsf{f(x)=e^x}$ zweimal ab. Begründe, warum f″>0 hier keinen Tiefpunkt garantiert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=e^x}$ — erste Ableitung.
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=e^x}$ — zweite Ableitung.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Zwar ist f″>0, aber f′ ist an keiner Stelle null.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungNach oben gekrümmt, aber kein Extrempunkt.
09
Aufgabe 9Zweite Ableitung · VertiefenFür $\mathsf{f(x)=x^3}$ ist f″=6x. Zeichne f″ in die Vorlage. Markiere das Vorzeichen links und rechts von0 und folgere die Wendestelle.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{f^{\prime\prime}(-1)=-6}$ — einsetzen.
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{f^{\prime\prime}(0)=0}$ — einsetzen.
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{f^{\prime\prime}(1)=6}$ — einsetzen.
4. Schritt 4 · Erklärung
  Die Gerade wechselt bei0 von negativ zu positiv.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungWendestelle x=0.
10
Aufgabe 10Zweite Ableitung · VertiefenJemand schreibt $\mathsf{f^{\prime\prime}=(f^{\prime})^2}$ . Widerlege dies mit $\mathsf{f(x)=x^2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=2x}$ — erste Ableitung.
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=2}$ — Ableitung von2x.
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{(f^{\prime}(x))^2=4x^2}$ — Quadrat von2x.
4. Schritt 4 · Erklärung
  2 und4x² sind nicht dieselbe Funktion.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungZweite Ableitung heißt erneut ableiten, nicht quadrieren.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich nenne den gültigen Definitionsbereich.
Ich trenne Rechnung und Schlussfolgerung.
Ich prüfe, ob die Voraussetzungen meines Kriteriums gelten.

AT Academy · Version 2026-10-21