Ableitungsregeln · Erklären & üben

Ableitungsregeln gezielt wählen

Die äußere Struktur eines Terms entscheidet über den ersten Ableitungsschritt. Erkenne zuerst Summe, Produkt, Quotient oder Verkettung. Vereinfache vorher, wenn dadurch eine einfachere Rechnung entsteht.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Die äußere Rechenoperation erkennen

Bei $\mathsf{5x^4}$ ist 5 ein konstanter Faktor. Bei $\mathsf{x^2(x+1)}$ hängen dagegen beide Faktoren von x ab: Es liegt ein Produkt zweier Funktionen vor.

Bei $\mathsf{(x^2+1)^3}$ wird eine Funktion in eine andere eingesetzt. Das ist eine Verkettung. Eine Potenz über einer Klammer ist nicht automatisch eine einfache Potenz von x.

Untersuche den Term von außen nach innen. Die Regeln können in einer Aufgabe kombiniert werden.

Drei Terme zeigen die äußeren Strukturen Summe, Produkt und Verkettung.

Erklärung 02

Die Grundregeln kurz ordnen

Konstantenregel: Aus $\mathsf{f(x)=c}$ folgt $\mathsf{f^{\prime}(x)=0}$ . Faktorregel: $\mathsf{(cu)^{\prime}=cu^{\prime}}$ . Potenzregel: $\mathsf{(x^n)^{\prime}=nx^{n-1}}$ auf einem passenden Definitionsbereich.

Summen- und Differenzregel: $\mathsf{(u+v)^{\prime}=u^{\prime}+v^{\prime}}$ und $\mathsf{(u-v)^{\prime}=u^{\prime}-v^{\prime}}$ . Bearbeite die einzelnen Summanden getrennt.

Produktregel: $\mathsf{(uv)^{\prime}=u^{\prime} v+uv^{\prime}}$ . Quotientenregel: $\mathsf{\left(\frac uv\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} v-uv^{\prime}}{v^2}}$ für $\mathsf{v\ne0}$ .

Kettenregel: $\mathsf{(g(h(x)))^{\prime}=g^{\prime}(h(x))h^{\prime}(x)}$ . Die Ableitung der inneren Funktion wird als zusätzlicher Faktor benötigt.

Die folgenden Einzelthemen vertiefen Potenz-, Summen-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregel. Hier übst du vor allem die Auswahl und den ersten sinnvollen Schritt.

So geht es am Beispiel

Wähle die Regeln für $\mathsf{f(x)=2x^5-3x+7}$ und leite ab.

Außen liegt eine Summe beziehungsweise Differenz vor.

\mathsf{f^{\prime}(x)=2\cdot5x^4-3\cdot1+0}

\mathsf{f^{\prime}(x)=10x^4-3}

Erklärung 03

Vereinfachen kann eine Regel sparen

Bei $\mathsf{x(x^2+2)}$ kannst du zuerst ausmultiplizieren: $\mathsf{x^3+2x}$ . Danach genügen Potenz-, Faktor- und Summenregel.

Beim Kürzen eines Quotienten bleiben ausgeschlossene Stellen erhalten. Aus $\mathsf{\frac{x^2-4}{x-2}=x+2}$ folgt keine nachträgliche Definition bei x = 2.

So geht es am Beispiel

Leite $\mathsf{f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}}$ auf ihrem ursprünglichen Definitionsbereich ab.

\mathsf{x^2-4=(x-2)(x+2)}

\mathsf{f(x)=x+2\quad(x\ne2)}

\mathsf{f^{\prime}(x)=1\quad(x\ne2)}

Erklärung 04

Verkettung, Produkt und Quotient unterscheiden

In $\mathsf{(3x-1)^4}$ ist die innere Funktion $\mathsf{h(x)=3x-1}$ und die äußere Funktion $\mathsf{g(z)=z^4}$ . Nach dem äußeren Ableiten muss die innere Ableitung 3 mitmultipliziert werden.

In $\mathsf{x^2e^x}$ hängen beide Faktoren von x ab. In $\mathsf{\frac{x}{x+1}}$ stehen zwei Funktionen im Quotienten. Die ausführlichen Rechenwege folgen in den jeweiligen Einzelthemen.

Bei (3x minus1) hoch4 wird die äußere Ableitung mit der inneren Ableitung3 multipliziert.

So geht es am Beispiel

Bestimme die erste Ableitung von $\mathsf{f(x)=(3x-1)^4}$ .

\mathsf{h^{\prime}(x)=3}

\mathsf{g^{\prime}(z)=4z^3}

\mathsf{f^{\prime}(x)=4(3x-1)^3\cdot3}

\mathsf{f^{\prime}(x)=12(3x-1)^3}

Erklärung 05

Bekannte Grundableitungen einsetzen

Für die Exponentialfunktion gilt $\mathsf{(e^x)^{\prime}=e^x}$ . Für den natürlichen Logarithmus gilt $\mathsf{(\operatorname{\textsf{ln}}x)^{\prime}=\frac1x}$ bei $\mathsf{x>0}$ .

Für Winkel im Bogenmaß gilt $\mathsf{(\operatorname{\textsf{sin}}x)^{\prime}=\operatorname{\textsf{cos}}x}$ und $\mathsf{(\operatorname{\textsf{cos}}x)^{\prime}=-\operatorname{\textsf{sin}}x}$ . Diese Grundableitungen können mit den Regeln kombiniert werden.

Notiere Definitionsbedingungen vor dem Rechnen: Ein Nenner darf nicht 0 sein, beim reellen Logarithmus muss das Argument positiv sein.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Ableitungsregeln gezielt wählen · EinstiegOrdne die zuerst benötigte Regel zu: a) $\mathsf{5x^4}$ ; b) $\mathsf{x^2+3x}$ ; c) $\mathsf{x^2(x+1)}$ ; d) $\mathsf{\frac{x^2+1}{x-2}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
a) Auswahl
b) Auswahl
c) Auswahl
d) Auswahl
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  a) Konstanter Faktor vor einer Potenz.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  b) Zwei Summanden.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  c) Zwei von x abhängige Faktoren.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  d) Quotient mit von x abhängigem Nenner.
Ergebnisse & Teilantworten
1. a) AuswahlFaktor- und Potenzregel.
2. b) AuswahlSummenregel; danach Potenz- und Faktorregel.
3. c) AuswahlProduktregel; alternativ erst ausmultiplizieren.
4. d) AuswahlQuotientenregel; x = 2 ausschließen.
02
Aufgabe 2Ableitungsregeln gezielt wählen · EinstiegVergleiche $\mathsf{f(x)=4x^3}$ und $\mathsf{g(x)=(4x)^3}$ . Vereinfache g zuerst und bestimme beide Ableitungen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ableitung von f
Vereinfachung und Ableitung von g
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=4\cdot3x^2=12x^2}$
  $\mathsf{g(x)=64x^3}$
  $\mathsf{g^{\prime}(x)=64\cdot3x^2=192x^2}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Ableitung von f $\mathsf{12x^2}$
2. Vereinfachung und Ableitung von g $\mathsf{g(x)=64x^3}$ , $\mathsf{g^{\prime}(x)=192x^2}$ .
03
Aufgabe 3Ableitungsregeln gezielt wählen · StandardLeite $\mathsf{f(x)=3x^4-2x^2+8}$ ab und benenne die verwendeten Regeln.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ableitung
Regeln
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=3\cdot4x^3-2\cdot2x+0}$
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=12x^3-4x}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Ableitung $\mathsf{12x^3-4x}$
2. RegelnSummen-/Differenzregel, Faktorregel, Potenzregel und Konstantenregel.
04
Aufgabe 4Ableitungsregeln gezielt wählen · StandardLeite $\mathsf{f(x)=x(x^2+2)}$ durch vorheriges Ausmultiplizieren ab. Welche Regel sparst du dadurch?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ableitung
Ersparte Regel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(x)=x^3+2x}$
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=3x^2+2}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Ableitung $\mathsf{3x^2+2}$
2. Ersparte RegelDie Produktregel wird nicht benötigt.
05
Aufgabe 5Ableitungsregeln gezielt wählen · StandardVereinfache $\mathsf{f(x)=\frac{x^2-9}{x-3}}$ und leite ab. Behalte die ursprüngliche Definitionslücke bei.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ableitung und Bereich
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2-9=(x-3)(x+3)}$
  $\mathsf{f(x)=x+3\quad(x\ne3)}$
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=1\quad(x\ne3)}$
Ergebnis
1. Ableitung und Bereich $\mathsf{f^{\prime}(x)=1}$ für $\mathsf{x\ne3}$ .
06
Aufgabe 6Ableitungsregeln gezielt wählen · StandardFür $\mathsf{f(x)=(2x+1)^5}$ : Nenne innere und äußere Funktion und setze die Kettenregel an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Innere und äußere Funktion
Ansatz der Ableitung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h(x)=2x+1}$ , $\mathsf{h^{\prime}(x)=2}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g(z)=z^5}$ , $\mathsf{g^{\prime}(z)=5z^4}$
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=5(2x+1)^4\cdot2}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Innere und äußere Funktion $\mathsf{h(x)=2x+1}$ , $\mathsf{g(z)=z^5}$ .
2. Ansatz der Ableitung $\mathsf{5(2x+1)^4\cdot2}$
07
Aufgabe 7Ableitungsregeln gezielt wählen · StandardBei $\mathsf{f(x)=x^2e^x}$ wird eine Produktregel benötigt. Setze $\mathsf{u=x^2}$ und $\mathsf{v=e^x}$ ein und schreibe die zwei Summanden der Ableitung auf.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ableitung als zwei Summanden
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{u^{\prime}=2x}$ , $\mathsf{v^{\prime}=e^x}$
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=2xe^x+x^2e^x}$
Ergebnis
1. Ableitung als zwei Summanden $\mathsf{2xe^x+x^2e^x}$
08
Aufgabe 8Ableitungsregeln gezielt wählen · VertiefungBei $\mathsf{f(x)=\frac{x}{x+1}}$ : Nenne die ausgeschlossene Stelle, bestimme u, v, u′, v′ und schreibe den Quotientenregel-Ansatz. Vereinfachen ist hier nicht nötig.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Definitionsbedingung
Ansatz
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x\ne-1}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{u=x}$ , $\mathsf{v=x+1}$ , $\mathsf{u^{\prime}=1}$ , $\mathsf{v^{\prime}=1}$
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=\frac{1\cdot(x+1)-x\cdot1}{(x+1)^2}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Definitionsbedingung $\mathsf{x\ne-1}$
2. Ansatz $\mathsf{\frac{1\cdot(x+1)-x\cdot1}{(x+1)^2}}$
09
Aufgabe 9Ableitungsregeln gezielt wählen · VertiefungLeite $\mathsf{f(x)=6+2e^x-3\operatorname{\textsf{ln}}x}$ ab und nenne den reellen Definitionsbereich.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ableitung
Bereich
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{D=(0,\infty)}$
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=0+2e^x-3\cdot\frac1x}$
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=2e^x-\frac3x}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Ableitung $\mathsf{2e^x-\frac3x}$
2. Bereich $\mathsf{x>0}$
10
Aufgabe 10Ableitungsregeln gezielt wählen · VertiefungJemand schreibt für $\mathsf{f(x)=(x^2+1)^3}$ : $\mathsf{f^{\prime}(x)=3(x^2+1)^2}$ . Erkläre den fehlenden Schritt und verbessere das Ergebnis.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fehler und Korrektur
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die innere Funktion ist $\mathsf{h(x)=x^2+1}$ .
  $\mathsf{h^{\prime}(x)=2x}$
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=3(x^2+1)^2\cdot2x}$
Ergebnis
1. Fehler und KorrekturDie innere Ableitung fehlt. Richtig ist $\mathsf{f^{\prime}(x)=6x(x^2+1)^2}$ .

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich erkenne die äußere Struktur und wähle die passende Regel.
Ich rechne jeden Ableitungsschritt einzeln.
Ich beachte den Definitionsbereich und ausgeschlossene Stellen.

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