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Ableitungsregeln · Erklären & üben

Potenzregel und Faktorregel

Bei einer Potenz wird der Exponent zum Faktor und anschließend um 1 kleiner. Ein konstanter Vorfaktor bleibt erhalten. Entscheidend ist, dass du auch Definitionsbereich und Sonderfälle beachtest.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Potenzregel und die Sonderfälle

Für f(x)=xn\mathsf{f(x)=x^n} gilt f′(x)=nxn−1\mathsf{f^{\prime}(x)=nx^{n-1}} an den Stellen, an denen die betrachtete Potenzfunktion differenzierbar ist.

Für n=1\mathsf{n=1} erhältst du f(x)=x\mathsf{f(x)=x} und f′(x)=1\mathsf{f^{\prime}(x)=1}. Eine konstante Funktion wie f(x)=7\mathsf{f(x)=7} hat die Ableitung 0.

Der Term x0\mathsf{x^0} ist für x≠0\mathsf{x\ne0} gleich 1. Seine Ableitung ist dort 0; der Funktionswert ist nicht 0. Die konstante Funktion 1 lässt sich zusätzlich bei x = 0 definieren. Leite Konstanten direkt ab, statt künstlich mit einem Faktor 0x−1\mathsf{0x^{-1}} zu rechnen.

So geht es am Beispiel

Leite f(x)=x6\mathsf{f(x)=x^6} ab.

f′(x)=6x6−1\mathsf{f^{\prime}(x)=6x^{6-1}}
f′(x)=6x5\mathsf{f^{\prime}(x)=6x^5}

Ergebnis

6x5\mathsf{6x^5}

Erklärung 02

Konstante Faktoren bleiben stehen

Für eine konstante Zahl c gilt (cg(x))′=cg′(x)\mathsf{(cg(x))^{\prime}=cg^{\prime}(x)}. Zusammen mit der Potenzregel folgt (cxn)′=cnxn−1\mathsf{(cx^n)^{\prime}=cnx^{n-1}}.

Das gilt auch für negative oder gebrochene Vorfaktoren. Ein von x abhängiger Faktor ist nicht konstant; dann ist gegebenenfalls eine andere Regel nötig.

An minus3 mal x hoch4 werden konstanter Faktor, alter Exponent und neuer Exponent unterschieden.

So geht es am Beispiel

Leite f(x)=−32x4\mathsf{f(x)=-\frac32x^4} ab.

f′(x)=−32⋅4x4−1\mathsf{f^{\prime}(x)=-\frac32\cdot4x^{4-1}}
f′(x)=−6x3\mathsf{f^{\prime}(x)=-6x^3}

Ergebnis

−6x3\mathsf{-6x^3}

Erklärung 03

Negative Exponenten

Ein Kehrwert lässt sich als Potenz schreiben: 1xk=x−k\mathsf{\frac1{x^k}=x^{-k}} für x≠0\mathsf{x\ne0}. Beim Ableiten wird der negative Exponent ebenfalls um 1 kleiner.

Aus −2 wird also −3, nicht −1. Der Ausschluss von x = 0 bleibt erhalten.

So geht es am Beispiel

Leite f(x)=5x2\mathsf{f(x)=\frac5{x^2}} ab.

f(x)=5x−2(x≠0)\mathsf{f(x)=5x^{-2}\quad(x\ne0)}
f′(x)=5⋅(−2)x−2−1\mathsf{f^{\prime}(x)=5\cdot(-2)x^{-2-1}}
f′(x)=−10x−3\mathsf{f^{\prime}(x)=-10x^{-3}}
f′(x)=−10x3(x≠0)\mathsf{f^{\prime}(x)=-\frac{10}{x^3}\quad(x\ne0)}

Ergebnis

−10x3\mathsf{-\frac{10}{x^3}} für x≠0\mathsf{x\ne0}.

Erklärung 04

Rationale Exponenten und Wurzeln

Für positive x kannst du die Potenzregel auch bei rationalen Exponenten verwenden. Zum Beispiel ist x=x1/2\mathsf{\sqrt{x}=x^{1/2}} und 1x=x−1/2\mathsf{\frac1{\sqrt{x}}=x^{-1/2}}.

Die reelle Wurzelfunktion x\mathsf{\sqrt{x}} ist für x≥0\mathsf{x\ge0} definiert. Ihre Ableitungsformel gilt für x>0\mathsf{x>0}; bei 0 existiert keine endliche gewöhnliche Ableitung.

Bei ungeraden Wurzeln können auch negative x zulässig sein. Für x1/3=x3\mathsf{x^{1/3}=\sqrt[3]{x}} ist die Funktion auf ganz R\mathsf{\mathbb R} definiert, die Ableitung 13x2/3\mathsf{\frac1{3x^{2/3}}} jedoch nur für x≠0\mathsf{x\ne0}.

Der Definitionsbereich der Wurzelfunktion enthält0, der Bereich ihrer gewöhnlichen Ableitung schließt0 aus.

So geht es am Beispiel

Leite f(x)=4x\mathsf{f(x)=4\sqrt{x}} ab und unterscheide Funktions- und Ableitungsbereich.

f(x)=4x1/2(x≥0)\mathsf{f(x)=4x^{1/2}\quad(x\ge0)}
f′(x)=4⋅12x1/2−1\mathsf{f^{\prime}(x)=4\cdot\frac12x^{1/2-1}}
f′(x)=2x−1/2\mathsf{f^{\prime}(x)=2x^{-1/2}}
f′(x)=2x(x>0)\mathsf{f^{\prime}(x)=\frac2{\sqrt{x}}\quad(x>0)}

Ergebnis

Funktion: x≥0\mathsf{x\ge0}; Ableitungsformel: x>0\mathsf{x>0}.

Erklärung 05

Faktorregel auch bei anderen Funktionen

Die Faktorregel ist nicht auf Potenzen beschränkt. Aus (ex)′=ex\mathsf{(e^x)^{\prime}=e^x} folgt zum Beispiel (3ex)′=3ex\mathsf{(3e^x)^{\prime}=3e^x}.

Bei ex\mathsf{e^x} steht x im Exponenten; bei xn\mathsf{x^n} ist n konstant. Die Potenzregel lässt sich deshalb nicht einfach auf ex\mathsf{e^x} übertragen.

Summen, Produkte mehrerer Funktionen und Verkettungen werden in den folgenden Themen behandelt. Hier konzentrierst du dich auf einzelne Potenzen und konstante Faktoren.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Potenzregel und Faktorregel · EinstiegBestimme getrennt die Ableitungen von a) x7\mathsf{x^7}, b) x\mathsf{x} und c) 5\mathsf{5}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      (x7)′=7x6\mathsf{(x^7)^{\prime}=7x^6}
      (x)′=1\mathsf{(x)^{\prime}=1}
      (5)′=0\mathsf{(5)^{\prime}=0}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. a) Ableitung7x6\mathsf{7x^6}
    2. b) Ableitung1
    3. c) Ableitung0
  2. Aufgabe 2Potenzregel und Faktorregel · EinstiegLeite f(x)=−4x5\mathsf{f(x)=-4x^5} ab.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f′(x)=−4⋅5x5−1\mathsf{f^{\prime}(x)=-4\cdot5x^{5-1}}
      f′(x)=−20x4\mathsf{f^{\prime}(x)=-20x^4}

    Ergebnis

    1. Ableitung mit Rechenweg−20x4\mathsf{-20x^4}
  3. Aufgabe 3Potenzregel und Faktorregel · StandardLeite f(x)=32x4\mathsf{f(x)=\frac32x^4} ab.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f′(x)=32⋅4x3\mathsf{f^{\prime}(x)=\frac32\cdot4x^3}
      f′(x)=6x3\mathsf{f^{\prime}(x)=6x^3}

    Ergebnis

    1. Ableitung mit Rechenweg6x3\mathsf{6x^3}
  4. Aufgabe 4Potenzregel und Faktorregel · StandardLeite f(x)=3x4\mathsf{f(x)=\frac3{x^4}} ab und nenne den Definitionsbereich.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f(x)=3x−4\mathsf{f(x)=3x^{-4}}
      f′(x)=3⋅(−4)x−5\mathsf{f^{\prime}(x)=3\cdot(-4)x^{-5}}
      f′(x)=−12x5\mathsf{f^{\prime}(x)=-\frac{12}{x^5}}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Ableitung−12x5\mathsf{-\frac{12}{x^5}}
    2. Definitionsbereichx≠0\mathsf{x\ne0} für Funktion und Ableitung.
  5. Aufgabe 5Potenzregel und Faktorregel · StandardLeite f(x)=−2x−3\mathsf{f(x)=-2x^{-3}} ab. Setze den Exponentenwechsel ausdrücklich in einer Zwischenzeile an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f′(x)=(−2)⋅(−3)x−3−1\mathsf{f^{\prime}(x)=(-2)\cdot(-3)x^{-3-1}}
      f′(x)=6x−4\mathsf{f^{\prime}(x)=6x^{-4}}

    Ergebnis

    1. Ableitung und Bereich6x−4=6x4\mathsf{6x^{-4}=\frac6{x^4}} für x≠0\mathsf{x\ne0}.
  6. Aufgabe 6Potenzregel und Faktorregel · StandardLeite f(x)=6x\mathsf{f(x)=6\sqrt{x}} ab. Nenne den Definitionsbereich von f und den Bereich der Ableitungsformel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f(x)=6x1/2\mathsf{f(x)=6x^{1/2}}
      f′(x)=6⋅12x−1/2\mathsf{f^{\prime}(x)=6\cdot\frac12x^{-1/2}}
      f′(x)=3x\mathsf{f^{\prime}(x)=\frac3{\sqrt{x}}}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Ableitung3x\mathsf{\frac3{\sqrt{x}}}
    2. Bereichef ist für x≥0\mathsf{x\ge0} definiert; die Ableitungsformel gilt für x>0\mathsf{x>0}.
  7. Aufgabe 7Potenzregel und Faktorregel · StandardLeite f(x)=2x\mathsf{f(x)=\frac2{\sqrt{x}}} ab und notiere die Definitionsbedingung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f(x)=2x−1/2\mathsf{f(x)=2x^{-1/2}}
      f′(x)=2⋅(−12)x−3/2\mathsf{f^{\prime}(x)=2\cdot(-\frac12)x^{-3/2}}
      f′(x)=−x−3/2\mathsf{f^{\prime}(x)=-x^{-3/2}}

    Ergebnis

    1. Ableitung mit Bereich−1x3/2\mathsf{-\frac1{x^{3/2}}} für x>0\mathsf{x>0}.
  8. Aufgabe 8Potenzregel und Faktorregel · VertiefungLeite f(x)=3x3\mathsf{f(x)=3\sqrt[3]{x}} ab. Warum muss x = 0 bei der Ableitungsformel ausgeschlossen werden, obwohl f dort definiert ist?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f(x)=3x1/3\mathsf{f(x)=3x^{1/3}}
      f′(x)=3⋅13x−2/3\mathsf{f^{\prime}(x)=3\cdot\frac13x^{-2/3}}
      f′(x)=1x2/3(x≠0)\mathsf{f^{\prime}(x)=\frac1{x^{2/3}}\quad(x\ne0)}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Bei 0 wird der Nenner der Ableitungsformel 0; es gibt dort keine endliche gewöhnliche Ableitung.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Ableitung1x2/3\mathsf{\frac1{x^{2/3}}} für x≠0\mathsf{x\ne0}.
    2. Erklärungf(0) = 0 ist definiert, aber die Funktion besitzt dort keine endliche gewöhnliche Ableitung.
  9. Aufgabe 9Potenzregel und Faktorregel · VertiefungLeite f(x)=−5ex\mathsf{f(x)=-5e^x} ab. Welche Regel verwendest du, und warum passt die Potenzregel hier nicht?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f′(x)=−5⋅ex\mathsf{f^{\prime}(x)=-5\cdot e^x}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die Faktorregel erhält den konstanten Faktor −5.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Ableitung−5ex\mathsf{-5e^x}
    2. RegelwahlFaktorregel und bekannte Ableitung von eˣ. x steht im Exponenten; es liegt keine Potenz xⁿ mit konstantem n vor.
  10. Aufgabe 10Potenzregel und Faktorregel · VertiefungJemand schreibt: „x0=0\mathsf{x^0=0}, weil die Ableitung einer Konstanten 0 ist.“ Trenne Funktionswert und Ableitung und korrigiere die Aussage für x ≠ 0.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      x0=1(x≠0)\mathsf{x^0=1\quad(x\ne0)}
      (1)′=0\mathsf{(1)^{\prime}=0}

    Ergebnis

    1. KorrekturDer Funktionswert ist 1. Die Ableitung ist 0. Diese beiden Aussagen dürfen nicht verwechselt werden.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich erkenne die äußere Struktur und wähle die passende Regel.
  • Ich rechne jeden Ableitungsschritt einzeln.
  • Ich beachte den Definitionsbereich und ausgeschlossene Stellen.

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