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Abstandsrechnung · Erklären & üben

Abstand Gerade Ebene

Der Abstand einer Geraden von einer Ebene ist nur dann positiv, wenn beide echt parallel sind. Sobald ein gemeinsamer Punkt existiert, beträgt der Abstand 0.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Richtung und Stützpunkt getrennt prüfen

Sei g: A + tu und E: n·X = c mit u und n jeweils ungleich 0. Ist das Skalarprodukt von n und u ungleich 0, schneidet die Gerade die Ebene. Ist es 0, verläuft die Gerade parallel zur Ebene. Dann entscheidet die Punktprobe: Liegt A in E, liegt die ganze Gerade in E; andernfalls ist sie echt parallel.

  1. Bestimme zuerst die Lage und die gegebenen geometrischen Objekte.

  2. Rechne mit den Koordinaten; benenne die Strecke und ihre Einheit.

n⋅u≠0⇒d(g,E)=0\mathsf{n\cdot u\ne0\Rightarrow d(g,E)=0}

Lageprüfung über Skalarprodukt und Stützpunkt.

So geht es am Beispiel

Prüfe die Lage von g: (t|2|4) zu E: z = 1.

n=(0∣0∣1),u=(1∣0∣0),n⋅u=0\mathsf{n=(0|0|1),\quad u=(1|0|0),\quad n\cdot u=0}

Der Stützpunkt A(0|2|4) erfüllt z = 1 nicht.

Ergebnis

Die Gerade ist echt parallel zur Ebene.

Erklärung 02

Einen beliebigen Geradenpunkt einsetzen

Bei echter Parallelität sind alle Geradenpunkte gleich weit von der Ebene entfernt. Wähle A und nutze die normierte Ebenengleichung. Eine gegebene Parameterform der Ebene wird dazu zuerst in Koordinatenform gebracht: Die Ebene durch (0|0|1) mit Richtungen (1|0|0) und (0|1|0) hat Normalenrichtung (0|0|1) und Gleichung z = 1. Der Betrag entfernt die Orientierung, die Normalenlänge sorgt für die richtige Skala.

  1. Bestimme zuerst die Lage und die gegebenen geometrischen Objekte.

  2. Rechne mit den Koordinaten; benenne die Strecke und ihre Einheit.

d(g,E)=∣n⋅A−c∣∥n∥bei Parallelita¨t\mathsf{d(g,E)=\frac{|n\cdot A-c|}{\|n\|}\quad\textsf{bei Parallelität}}

Maßstäblicher Schnitt durch parallele Gerade und Ebene.

So geht es am Beispiel

Berechne den Abstand für g: (t|2|4) und E: z = 1.

d=∣4−1∣1=3\mathsf{d=\frac{|4-1|}{1}=3}

Ergebnis

Der Abstand beträgt 3 LE.

Erklärung 03

Die kürzeste Strecke sichtbar machen

Die Lotgerade durch A hat Richtung n. Ihr Schnittpunkt mit E ist der Fußpunkt F. Danach wird die Länge von AF berechnet. Bei einer schneidenden Geraden darf nicht irgendein Stützpunktabstand als Abstand der gesamten Geraden ausgegeben werden: Der gemeinsame Punkt besitzt Abstand 0. Andere Lagefälle behandeln die Themen Ebenen und Abstand Gerade Gerade.

  1. Bestimme zuerst die Lage und die gegebenen geometrischen Objekte.

  2. Rechne mit den Koordinaten; benenne die Strecke und ihre Einheit.

L:A+sn\mathsf{L:A+sn}

So geht es am Beispiel

Bestimme die Lotstrecke im parallelen Beispiel und vergleiche mit der Geraden h: (0|0|t).

L=(0∣2∣4+s),4+s=1⇒s=−3\mathsf{L=(0|2|4+s),\quad4+s=1\Rightarrow s=-3}
F=(0∣2∣1),∥AF∥=3\mathsf{F=(0|2|1),\quad\|AF\|=3}

h erreicht die Ebene bei t = 1 und hat deshalb Abstand 0.

Ergebnis

Der Lotweg bestätigt 3 LE; die schneidende Gerade hat Abstand 0.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Abstand Gerade Ebene · EinstiegBerechne n·u für n = (0|0|1) und u = (1|0|0).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      n⋅u=0\mathsf{n\cdot u=0}

    Ergebnis

    1. Skalarprodukt0\mathsf{0}
  2. Aufgabe 2Abstand Gerade Ebene · EinstiegLiegt A(0|2|4) in E: z = 1? Was folgt zusammen mit dem vorigen Skalarprodukt für g: (t|2|4)?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Die z-Koordinate von A ist 4 statt 1. Bei paralleler Richtung liegt die Gerade daher echt parallel außerhalb der Ebene.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. PunktprobeA liegt nicht in E.
    2. LageEcht parallel.
  3. Aufgabe 3Abstand Gerade Ebene · StandardBerechne den Abstand von g: (t|2|4) zu E: z = 1.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      d=∣4−1∣=3\mathsf{d=|4-1|=3}

    Ergebnis

    1. Abstand in LE3\mathsf{3}
  4. Aufgabe 4Abstand Gerade Ebene · StandardBestimme den Fußpunkt von A(0|2|4) auf E: z = 1.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Die Normalenrichtung verändert nur z. x und y bleiben erhalten.

    Ergebnis

    1. Fußpunkt(0|2|1)
  5. Aufgabe 5Abstand Gerade Ebene · TransferIm Schnitt y = 2 zeigt die Vorlage g bei z = 4 und E bei z = 1. Zeichne die kürzeste Verbindung bei x = 2.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Lotstrecke

    Vorbereitete Darstellung mit unveränderten Vorgaben.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Verbinde (x|z) = (2|4) vertikal mit (2|1); die Länge beträgt 3.

    Ergebnis

    1. LotstreckeVertikale Verbindung (2|4)–(2|1).
  6. Aufgabe 6Abstand Gerade Ebene · Transferh: (0|0|t) trifft E: z = 1. Bestimme den Schnittpunkt und den Abstand der Geraden zur Ebene.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      t=1⇒S=(0∣0∣1)\mathsf{t=1\Rightarrow S=(0|0|1)}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Der gemeinsame Punkt liefert Abstand 0.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Schnittpunkt(0|0|1)
    2. Abstand0\mathsf{0}

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich lese Titel, Achsen, Einheiten und Legende.
  • Ich zeichne proportional zur angegebenen Skala.
  • Ich begründe Aussagen mit den dargestellten Daten.

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