AT Academy
Zum Mathematik-Inhalt

Abstandsrechnung · Erklären & üben

Lotfußpunktverfahren

Beim Lotfußpunktverfahren werden zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllt: Der Fußpunkt liegt auf dem Zielobjekt, und die Verbindung zum gegebenen Punkt steht darauf senkrecht. Das Verfahren liefert Ort und Abstand.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Fußpunkt auf einer Geraden ansetzen

Für eine Gerade g: A + tu setzt man F mit demselben Parameter an. Die Verbindung F−P wird orthogonal zum Richtungsvektor u verlangt. Nach dem Lösen setzt man den Parameter in g ein und berechnet die Länge von PF. Eine bloß kurze aussehende Strecke im Schrägbild ist kein Nachweis.

  1. Bestimme zuerst die Lage und die gegebenen geometrischen Objekte.

  2. Rechne mit den Koordinaten; benenne die Strecke und ihre Einheit.

F=A+tu,(F−P)⋅u=0\mathsf{F=A+tu,\qquad(F-P)\cdot u=0}

Daten des räumlichen Beispiels und sein Fußpunkt.

So geht es am Beispiel

Gegeben sind g: (t|2t|0) und P(4|3|1). Bestimme F und d.

(t−4∣2t−3∣−1)⋅(1∣2∣0)=5t−10=0\mathsf{(t-4|2t-3|-1)\cdot(1|2|0)=5t-10=0}
t=2,F=(2∣4∣0)\mathsf{t=2,\quad F=(2|4|0)}
d=(4−2)2+(3−4)2+(1−0)2=6\mathsf{d=\sqrt{(4-2)^2+(3-4)^2+(1-0)^2}=\sqrt6}

Ergebnis

Der Fußpunkt ist (2|4|0), die Entfernung √6 LE.

Erklärung 02

Dieselbe Bedingung als Ebene formulieren

Die Hilfsebene geht durch P und besitzt den Geradenrichtungsvektor als Normalenvektor. Jeder Vektor innerhalb dieser Ebene ist orthogonal zur Geradenrichtung. Ihr Schnittpunkt mit g ist daher F. Die Parameter der ursprünglichen Geraden und einer eventuell verwendeten Lotgeraden sind unterschiedliche Größen.

  1. Bestimme zuerst die Lage und die gegebenen geometrischen Objekte.

  2. Rechne mit den Koordinaten; benenne die Strecke und ihre Einheit.

H:u⋅(X−P)=0\mathsf{H:u\cdot(X-P)=0}

Eigener ebener Lotfall mit gleichen Achsenmaßstäben.

So geht es am Beispiel

Löse das Beispiel über die Hilfsebene.

(x−4)+2(y−3)=0⇒x+2y=10\mathsf{(x-4)+2(y-3)=0\Rightarrow x+2y=10}
x=t, y=2t⇒5t=10⇒t=2\mathsf{x=t,\ y=2t\Rightarrow5t=10\Rightarrow t=2}

Einsetzen ergibt wieder F(2|4|0).

Ergebnis

Beide Verfahren liefern dieselbe Lösung.

Erklärung 03

Lot auf eine Ebene und Grenzen

Bei einer Ebene nutzt man ihren Normalenvektor als Richtung der Lotgeraden durch P. Ihr Schnitt mit der Ebene ist der Fußpunkt. Punktzugehörigkeit und Orthogonalität kontrollieren die Konstruktion. Ein Punkt, der schon auf dem Zielobjekt liegt, hat sich selbst als Fußpunkt und Abstand 0. Vor Geraden-Geraden-Aufgaben ist die Lageprüfung nötig; siehe Lagebeziehungen von Geraden.

  1. Bestimme zuerst die Lage und die gegebenen geometrischen Objekte.

  2. Rechne mit den Koordinaten; benenne die Strecke und ihre Einheit.

L:P+sn\mathsf{L:P+sn}

So geht es am Beispiel

Berechne das Lot von P(1|1|5) auf E: z = 2.

L=(1∣1∣5+s),5+s=2⇒s=−3\mathsf{L=(1|1|5+s),\quad5+s=2\Rightarrow s=-3}
F=(1∣1∣2),d=3\mathsf{F=(1|1|2),\quad d=3}

Ergebnis

Die Lotstrecke ist 3 LE lang.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Lotfußpunktverfahren · EinstiegWelche beiden Bedingungen muss ein Fußpunkt F auf g erfüllen?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      F muss zu g gehören und PF muss senkrecht zur Geradenrichtung sein.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. ZugehörigkeitF liegt auf g.
    2. Orthogonalität(F−P)⋅u=0\mathsf{(F-P)\cdot u=0}
  2. Aufgabe 2Lotfußpunktverfahren · EinstiegLöse die Lotbedingung 5t − 10 = 0.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      5t=10⇒t=2\mathsf{5t=10\Rightarrow t=2}

    Ergebnis

    1. Parameter2\mathsf{2}
  3. Aufgabe 3Lotfußpunktverfahren · StandardBestimme F für g: (t|2t|0) bei t = 2.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      F=(2∣4∣0)\mathsf{F=(2|4|0)}

    Ergebnis

    1. Fußpunkt(2|4|0)
  4. Aufgabe 4Lotfußpunktverfahren · StandardBerechne den Abstand von P(4|3|1) zu F(2|4|0).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      d=22+(−1)2+12=6\mathsf{d=\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt6}

    Ergebnis

    1. Abstand in LE6\mathsf{\sqrt6}
  5. Aufgabe 5Lotfußpunktverfahren · TransferIm ebenen Zeichenfall sind g: y = 2x und P(4|3) gegeben. Zeichne das Lot von P zum Fußpunkt F(2|4).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Ebenes Lot

    Vorbereitete Darstellung mit unveränderten Vorgaben.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Die Verbindung hat Richtungsvektor (−2|1). Ihr Skalarprodukt mit (1|2) ist −2 + 2 = 0. Deshalb ist sie das Lot.

    Ergebnis

    1. Ebenes LotStrecke (4|3)–(2|4), gegebene Gerade erhalten.
  6. Aufgabe 6Lotfußpunktverfahren · TransferStelle die Hilfsebene durch P(4|3|1) mit Normalenvektor (1|2|0) auf.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      (x−4)+2(y−3)=0\mathsf{(x-4)+2(y-3)=0}
      x+2y=10\mathsf{x+2y=10}

    Ergebnis

    1. Hilfsebenex+2y=10\mathsf{x+2y=10}

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich lese Titel, Achsen, Einheiten und Legende.
  • Ich zeichne proportional zur angegebenen Skala.
  • Ich begründe Aussagen mit den dargestellten Daten.

AT Academy · Version 2026-10-21

Lotfußpunktverfahren | AT Academy