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Abstandsrechnung · Erklären & üben

Abstand Punkt Ebene

Der Abstand eines Punktes von einer Ebene ist die Länge seines Lots auf die Ebene. Eine normierte Ebenengleichung liefert den Abstand direkt; eine Lotgerade liefert zusätzlich den Fußpunkt.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Die Ebenengleichung normieren

Eine Ebene in Koordinatenform lautet n·X = c mit Normalenvektor n ungleich 0. Setze P in die linke Seite ein, ziehe c ab, nimm den Betrag und teile durch die Länge von n. Die Division entspricht der Hesseschen Normierung auf einen Einheitsnormalenvektor. Ein Vorzeichenwechsel der gesamten Gleichung verändert den Abstand nicht.

  1. Bestimme zuerst die Lage und die gegebenen geometrischen Objekte.

  2. Rechne mit den Koordinaten; benenne die Strecke und ihre Einheit.

d(P,E)=∣n⋅P−c∣∥n∥\mathsf{d(P,E)=\frac{|n\cdot P-c|}{\|n\|}}

Maßstäblicher xz-Schnitt der schrägen Ebene mit Punkt und Fußpunkt.

So geht es am Beispiel

Gegeben sind E: x + 2z = 5 und P(3|1|4).

n=(1∣0∣2),∥n∥=5\mathsf{n=(1|0|2),\quad\|n\|=\sqrt5}
d=∣3+2⋅4−5∣5=65\mathsf{d=\frac{|3+2\cdot4-5|}{\sqrt5}=\frac6{\sqrt5}}

Ergebnis

Der Abstand beträgt 6/√5 LE.

Erklärung 02

Lotgerade und Fußpunkt berechnen

Die Lotgerade durch P verläuft in Normalenrichtung. Setze ihren laufenden Punkt in die Ebenengleichung ein. Der Schnittpunkt F liegt auf der Ebene und PF ist normal zur Ebene. Seine Entfernung zu P stimmt mit der Hesse-Rechnung überein.

  1. Bestimme zuerst die Lage und die gegebenen geometrischen Objekte.

  2. Rechne mit den Koordinaten; benenne die Strecke und ihre Einheit.

X=P+tn\mathsf{X=P+tn}

So geht es am Beispiel

Bestimme den Lotfußpunkt zum vorigen Beispiel.

X=(3+t∣1∣4+2t)\mathsf{X=(3+t|1|4+2t)}
3+t+2(4+2t)=5⇒t=−6/5\mathsf{3+t+2(4+2t)=5\Rightarrow t=-6/5}
F=(9/5∣1∣8/5)\mathsf{F=(9/5|1|8/5)}

Die Verbindungsrichtung ist ein Vielfaches von (1|0|2). Die Entfernung ist 6/√5 LE.

Ergebnis

Der Fußpunkt lautet (9/5|1|8/5).

Erklärung 03

Parameterform in Koordinatenform bringen

Eine Normalenform n·(X−A) = 0 wird durch Ausmultiplizieren zur Koordinatenform. Bei einer Parameterform mit zwei unabhängigen Richtungen erhält man einen Normalenvektor aus ihrem Kreuzprodukt. Prüfe seine Orthogonalität zu beiden Richtungen und bestimme c durch Einsetzen des Stützpunkts. Bei abhängigen Richtungen liegt keine gültige Ebenenparametrisierung vor. Punkt auf Ebene bedeutet Abstand 0. Die Weiterführung zu ganzen Geraden steht in Abstand Gerade Ebene.

  1. Bestimme zuerst die Lage und die gegebenen geometrischen Objekte.

  2. Rechne mit den Koordinaten; benenne die Strecke und ihre Einheit.

X=A+ru+sv⇒n=u×v,c=n⋅A\mathsf{X=A+ru+sv\Rightarrow n=u\times v,\quad c=n\cdot A}

Drei zueinander passende Beschreibungen derselben Ebene.

So geht es am Beispiel

E sei durch A(1|0|2), u(0|1|0) und v(2|0|−1) gegeben.

u×v=(−1∣0∣−2)\mathsf{u\times v=(-1|0|-2)}

Das negative Vielfache (1|0|2) ist ebenfalls ein Normalenvektor.

c=(1∣0∣2)⋅(1∣0∣2)=5\mathsf{c=(1|0|2)\cdot(1|0|2)=5}

Ergebnis

Die Koordinatenform ist x + 2z = 5.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Abstand Punkt Ebene · EinstiegLies einen Normalenvektor der Ebene x + 2z = 5 ab.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Die Koeffizienten von x, y und z bilden den Normalenvektor.

    Ergebnis

    1. Normalenvektor(1|0|2)
  2. Aufgabe 2Abstand Punkt Ebene · EinstiegBestimme die Länge dieses Normalenvektors.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      ∥n∥=1+0+4=5\mathsf{\|n\|=\sqrt{1+0+4}=\sqrt5}

    Ergebnis

    1. Normalenlänge5\mathsf{\sqrt5}
  3. Aufgabe 3Abstand Punkt Ebene · StandardBerechne den Abstand von P(3|1|4) zu x + 2z = 5.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      d=∣3+8−5∣/5=6/5\mathsf{d=|3+8-5|/\sqrt5=6/\sqrt5}

    Ergebnis

    1. Abstand in LE65\mathsf{\frac6{\sqrt5}}
  4. Aufgabe 4Abstand Punkt Ebene · StandardDie Lotgerade lautet (3+t|1|4+2t). Für ihren Schnitt mit der Ebene gilt t = −6/5. Bestimme F.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      F=(3−6/5∣1∣4−12/5)=(9/5∣1∣8/5)\mathsf{F=(3-6/5|1|4-12/5)=(9/5|1|8/5)}

    Ergebnis

    1. Lotfußpunkt(9/5|1|8/5)
  5. Aufgabe 5Abstand Punkt Ebene · TransferDie Vorlage zeigt im Schnitt y = 0 die Ebene z = 1 und P(2|0|4). Zeichne die Lotstrecke.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Lot im Schnitt

    Vorbereitete Darstellung mit unveränderten Vorgaben.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Der Fußpunkt ist (2|0|1). Im xz-Schnitt verläuft die Lotstrecke vertikal von (2|4) nach (2|1).

    Ergebnis

    1. Lot im SchnittStrecke (2|4)–(2|1).
  6. Aufgabe 6Abstand Punkt Ebene · TransferDie Ebene wird statt x + 2z = 5 als 2x + 4z = 10 geschrieben. Ändert sich der Abstand von P(3|1|4)?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      d=∣6+16−10∣4+16=1225=65\mathsf{d=\frac{|6+16-10|}{\sqrt{4+16}}=\frac{12}{2\sqrt5}=\frac6{\sqrt5}}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Abstand in LE65\mathsf{\frac6{\sqrt5}}
    2. BegründungZähler und Normalenlänge skalieren gleich; Abstand bleibt unverändert.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich lese Titel, Achsen, Einheiten und Legende.
  • Ich zeichne proportional zur angegebenen Skala.
  • Ich begründe Aussagen mit den dargestellten Daten.

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