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Abstandsrechnung · Erklären & üben

Abstand Gerade Gerade

Der Abstand zweier Geraden hängt zuerst von ihrer Lage ab. Hier steht der Abstand echt paralleler Raumgeraden im Mittelpunkt; er lässt sich auf eine Punkt-Geraden-Aufgabe zurückführen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Vor jeder Abstandsrechnung die Lage bestimmen

Identische oder sich schneidende Geraden besitzen Abstand 0. Echt parallele Geraden haben einen positiven konstanten Abstand. Nichtparallele Raumgeraden ohne Schnittpunkt sind windschief und benötigen ein gemeinsames Lot zu beiden Richtungen. Alle Geraden sind hier unendlich, ihre Richtungsvektoren ungleich 0.

  1. Bestimme zuerst die Lage und die gegebenen geometrischen Objekte.

  2. Rechne mit den Koordinaten; benenne die Strecke und ihre Einheit.

g∩h≠∅⇒d(g,h)=0\mathsf{g\cap h\ne\varnothing\Rightarrow d(g,h)=0}

Erklärung 02

Einen Stützpunkt auswählen

Bei parallelen Geraden genügt der Abstand eines beliebigen Punktes P der einen Geraden zur anderen. Mit g: A + tu kann dafür die Kreuzproduktformel im Raum verwendet werden. Dass die Wahl von P den Abstand nicht verändert, liegt an der Verschiebung parallel zur gemeinsamen Geradenrichtung.

  1. Bestimme zuerst die Lage und die gegebenen geometrischen Objekte.

  2. Rechne mit den Koordinaten; benenne die Strecke und ihre Einheit.

d(g,h)=d(P,g)=∥(P−A)×u∥∥u∥,P∈h\mathsf{d(g,h)=d(P,g)=\frac{\|(P-A)\times u\|}{\|u\|},\quad P\in h}

Senkrechter yz-Schnitt durch zwei parallele Raumgeraden.

So geht es am Beispiel

Gegeben sind g: (t|0|0) und h: (s|3|4). Berechne den Abstand.

Beide Richtungen sind (1|0|0). Wähle P(0|3|4) auf h. Sein Fußpunkt auf g ist der Ursprung.

d=32+42=5\mathsf{d=\sqrt{3^2+4^2}=5}

Ergebnis

Die Geraden sind 5 LE voneinander entfernt.

Erklärung 03

Laufender Punkt und Hilfsebene

Beim laufenden Punkt F = A + tu wird die Verbindung zu P orthogonal zum Richtungsvektor gesetzt. Die Hilfsebene durch P mit Normalenvektor u drückt dieselbe Bedingung aus. Schneide diese Ebene mit g und berechne anschließend die Länge von PF. Damit sind Fußpunkt, Lotvektor und Abstand jeweils bestimmt.

  1. Bestimme zuerst die Lage und die gegebenen geometrischen Objekte.

  2. Rechne mit den Koordinaten; benenne die Strecke und ihre Einheit.

(F−P)⋅u=0⟺u⋅(X−P)=0\mathsf{(F-P)\cdot u=0\quad\Longleftrightarrow\quad u\cdot(X-P)=0}

Stützpunkt und Fußpunkt der vollständigen Raumrechnung.

So geht es am Beispiel

Führe im Beispiel beide Verfahren aus.

F=(t∣0∣0),(F−P)⋅(1∣0∣0)=t=0\mathsf{F=(t|0|0),\quad (F-P)\cdot(1|0|0)=t=0}

Die Hilfsebene durch P lautet x = 0. Ihr Schnitt mit g ist ebenfalls F(0|0|0).

FP→=(0∣3∣4),∥FP∥=5\mathsf{\overrightarrow{FP}=(0|3|4),\quad\|FP\|=5}

Ergebnis

Beide Methoden ergeben dieselbe Lotstrecke.

Erklärung 04

Wann die Punktwahl allein nicht genügt

Bei windschiefen Geraden muss der kürzeste Verbindungsvektor zu beiden Richtungsvektoren senkrecht sein. Der Abstand eines beliebigen Stützpunkts zur anderen Geraden kann größer sein als der Abstand der beiden Geraden. Die vollständigen Verfahren behandelt Abstand windschiefer Geraden.

  1. Bestimme zuerst die Lage und die gegebenen geometrischen Objekte.

  2. Rechne mit den Koordinaten; benenne die Strecke und ihre Einheit.

w⋅u=0,w⋅v=0\mathsf{w\cdot u=0,\qquad w\cdot v=0}

So geht es am Beispiel

g ist die x-Achse, h: (0|s|0) die y-Achse. Welche Rechnung ist nötig?

Die Geraden schneiden sich im Ursprung; deshalb steht der Abstand bereits fest.

Ergebnis

Der Abstand ist 0.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Abstand Gerade Gerade · EinstiegBestimme die Lage von g: (t|0|0) und h: (s|3|4).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Die Richtungen sind gleich, die y- und z-Koordinaten verschieden.

    Ergebnis

    1. LageEcht parallel.
  2. Aufgabe 2Abstand Gerade Gerade · EinstiegBestimme den Fußpunkt von P(0|3|4) auf g: (t|0|0).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      (t∣−3∣−4)⋅(1∣0∣0)=t=0\mathsf{(t|-3|-4)\cdot(1|0|0)=t=0}

    Ergebnis

    1. Fußpunkt(0|0|0)
  3. Aufgabe 3Abstand Gerade Gerade · StandardBerechne den Abstand dieser parallelen Geraden.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      d=02+32+42=5\mathsf{d=\sqrt{0^2+3^2+4^2}=5}

    Ergebnis

    1. Abstand in LE5\mathsf{5}
  4. Aufgabe 4Abstand Gerade Gerade · StandardGib die Hilfsebene durch P(0|3|4) senkrecht zur gemeinsamen Richtung (1|0|0) an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      x=0\mathsf{x=0}

    Ergebnis

    1. Hilfsebenex=0\mathsf{x=0}
  5. Aufgabe 5Abstand Gerade Gerade · TransferIm Schnitt x = 0 erscheinen die parallelen Geraden als Punkte (y|z) = (0|0) und (3|4). Zeichne ihre kürzeste Verbindung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Querschnittslot

    Vorbereitete Darstellung mit unveränderten Vorgaben.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Die direkte Strecke im senkrechten Schnitt verbindet beide dargestellten Punkte und ist 5 LE lang.

    Ergebnis

    1. QuerschnittslotDirekte Strecke (0|0)–(3|4).
  6. Aufgabe 6Abstand Gerade Gerade · TransferZwei Geraden schneiden sich in S(1|2|3). Wie groß ist ihr Abstand?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Der gemeinsame Punkt liefert eine Verbindung der Länge 0.

    Ergebnis

    1. Abstand0\mathsf{0}

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich lese Titel, Achsen, Einheiten und Legende.
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  • Ich begründe Aussagen mit den dargestellten Daten.

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