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Abstandsrechnung · Erklären & üben

Abstand Punkt Gerade

Der Abstand eines Punktes von einer unendlichen Geraden ist die Länge der kürzesten Verbindungsstrecke. Ihr Endpunkt auf der Geraden heißt Lotfußpunkt; die Strecke steht senkrecht auf der Geraden.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Einen laufenden Geradenpunkt bestimmen

Schreibe die Gerade als Stützpunkt A plus Parameter t mal Richtungsvektor u. Der Richtungsvektor darf nicht 0 sein. Der Lotfußpunkt hat dieselbe Form. Seine Verbindung zum gegebenen Punkt P muss zu u orthogonal sein; ihr Skalarprodukt ist daher 0. Nach Bestimmung von t wird die Länge der Verbindung berechnet. Alternativ liefert die Kreuzproduktformel im Raum direkt den Abstand, aber nicht den Fußpunkt.

  1. Bestimme zuerst die Lage und die gegebenen geometrischen Objekte.

  2. Rechne mit den Koordinaten; benenne die Strecke und ihre Einheit.

F=A+tu,(F−P)⋅u=0,d=∥P−F∥=∥(P−A)×u∥∥u∥\mathsf{F=A+tu,\quad(F-P)\cdot u=0,\quad d=\|P-F\|=\frac{\|(P-A)\times u\|}{\|u\|}}

Raumdaten und Orthogonalitätsgleichung des eigenen Beispiels.

So geht es am Beispiel

Gegeben sind g: (t|t|0) und P(2|0|2). Berechne Lotfußpunkt und Abstand.

(F−P)⋅(1∣1∣0)=(t−2)+t=0\mathsf{(F-P)\cdot(1|1|0)=(t-2)+t=0}
t=1,F=(1∣1∣0)\mathsf{t=1,\quad F=(1|1|0)}
d=(2−1)2+(0−1)2+(2−0)2=6\mathsf{d=\sqrt{(2-1)^2+(0-1)^2+(2-0)^2}=\sqrt6}

Ergebnis

Der Fußpunkt ist (1|1|0), der Abstand √6 LE.

Erklärung 02

Die senkrechte Hilfsebene verwenden

Eine Hilfsebene durch P mit Normalenvektor u steht senkrecht zur Geraden. Ihr Schnittpunkt mit der Geraden ist der gesuchte Fußpunkt. Dies ist dieselbe Orthogonalitätsbedingung wie beim laufenden Punkt. Für eine Punkt-Geraden-Aufgabe muss die Hilfsebene nicht bereits gegeben sein.

  1. Bestimme zuerst die Lage und die gegebenen geometrischen Objekte.

  2. Rechne mit den Koordinaten; benenne die Strecke und ihre Einheit.

H:u⋅(X−P)=0\mathsf{H:u\cdot(X-P)=0}

So geht es am Beispiel

Bestimme die Hilfsebene zum vorigen Beispiel und schneide sie mit g.

(1∣1∣0)⋅(X−(2∣0∣2))=0⇒x+y=2\mathsf{(1|1|0)\cdot(X-(2|0|2))=0\Rightarrow x+y=2}
x=y=t⇒2t=2⇒F=(1∣1∣0)\mathsf{x=y=t\Rightarrow2t=2\Rightarrow F=(1|1|0)}

Ergebnis

Die Hilfsebene liefert denselben Fußpunkt.

Erklärung 03

Geradenform und Sonderfälle

In der Ebene kann eine Gerade als ax + by = c gegeben sein, wobei a und b nicht beide 0 sind. Dann ist (a|b) ein Normalenvektor. Die normierte Einsetzung liefert den Abstand. Eine Raumgerade wird üblicherweise parametrisch beschrieben; eine einzelne Ebenengleichung beschreibt dort keine Gerade. Liegt P bereits auf g, ist der Abstand 0. Für Geradenabschnitte kann der nächste Punkt ein Endpunkt sein; das ist eine andere Aufgabe. Parallele Geraden werden in Abstand Gerade Gerade behandelt.

  1. Bestimme zuerst die Lage und die gegebenen geometrischen Objekte.

  2. Rechne mit den Koordinaten; benenne die Strecke und ihre Einheit.

d=∣apx+bpy−c∣a2+b2\mathsf{d=\frac{|ap_x+bp_y-c|}{\sqrt{a^2+b^2}}}

Maßstäblicher ebener Lotfall mit gegebener Gerade.

So geht es am Beispiel

In der Ebene ist g die x-Achse, also y = 0, und P(2|3).

d=∣3∣=3,F=(2∣0)\mathsf{d=|3|=3,\quad F=(2|0)}

Ergebnis

Die Lotstrecke verläuft vertikal und ist 3 LE lang.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Abstand Punkt Gerade · EinstiegFür g: (t|t|0) und P(2|0|2) ergibt die Lotbedingung 2t − 2 = 0. Bestimme t.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      2t=2⇒t=1\mathsf{2t=2\Rightarrow t=1}

    Ergebnis

    1. Parameter1\mathsf{1}
  2. Aufgabe 2Abstand Punkt Gerade · EinstiegSetze t = 1 in g: (t|t|0) ein und bestimme F.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      F=(1∣1∣0)\mathsf{F=(1|1|0)}

    Ergebnis

    1. Lotfußpunkt(1|1|0)
  3. Aufgabe 3Abstand Punkt Gerade · StandardBerechne die Entfernung zwischen P(2|0|2) und F(1|1|0).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      d=1+1+4=6\mathsf{d=\sqrt{1+1+4}=\sqrt6}

    Ergebnis

    1. Abstand in LE6\mathsf{\sqrt6}
  4. Aufgabe 4Abstand Punkt Gerade · StandardBestimme die Hilfsebene durch P(2|0|2) mit Normalenvektor (1|1|0).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      (x−2)+y=0⇒x+y=2\mathsf{(x-2)+y=0\Rightarrow x+y=2}

    Ergebnis

    1. Hilfsebenex+y=2\mathsf{x+y=2}
  5. Aufgabe 5Abstand Punkt Gerade · TransferDie Vorlage zeigt P(2|3) und die Gerade y = 0. Zeichne die Lotstrecke von P zur Geraden.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Lotstrecke

    Vorbereitete Darstellung mit unveränderten Vorgaben.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Der Fußpunkt ist (2|0). Verbinde ihn vertikal mit P; die Strecke hat Länge 3.

    Ergebnis

    1. LotstreckeVerbindung (2|3)–(2|0).
  6. Aufgabe 6Abstand Punkt Gerade · TransferQ(3|3|0) liegt auf g: (t|t|0). Bestimme den Abstand und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Mit t = 3 erhält man Q selbst. Daher ist die kürzeste Verbindung die Nullstrecke.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Abstand0\mathsf{0}
    2. BegründungQ gehört zur Geraden.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich lese Titel, Achsen, Einheiten und Legende.
  • Ich zeichne proportional zur angegebenen Skala.
  • Ich begründe Aussagen mit den dargestellten Daten.

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