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Abstandsrechnung · Erklären & üben

Lagebeziehungen von Geraden

Zwei Raumgeraden können identisch, echt parallel, schneidend oder windschief sein. Eine zuverlässige Entscheidung kombiniert Richtungsprüfung und die Suche nach einem gemeinsamen Punkt.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Zwei Fragen in fester Reihenfolge

Richtungsvektoren müssen jeweils ungleich 0 sein. Prüfe zunächst, ob sie Vielfache voneinander sind. Falls ja, können die Geraden nur identisch oder echt parallel sein. Falls nein, können sie sich schneiden oder windschief sein. Windschiefe Geraden sind weder parallel noch schneiden sie sich; sie liegen nicht in einer gemeinsamen Ebene. In einer gemeinsamen Ebene gibt es daher keine windschiefen Geraden.

  1. Bestimme zuerst die Lage und die gegebenen geometrischen Objekte.

  2. Rechne mit den Koordinaten; benenne die Strecke und ihre Einheit.

g:A+tu,h:B+sv\mathsf{g:A+tu,\qquad h:B+sv}

Vollständige Entscheidungstafel aller vier Raumlagen.

Erklärung 02

Vielfache Richtungen: Punktprobe

Bei parallelen Richtungsvektoren prüfst du, ob ein Stützpunkt der einen Geraden auf der anderen liegt. Dann stimmen die unendlichen Geraden überein. Andernfalls sind sie echt parallel. Verschiedene Stützpunkte allein beweisen nicht, dass die Geraden verschieden sind.

  1. Bestimme zuerst die Lage und die gegebenen geometrischen Objekte.

  2. Rechne mit den Koordinaten; benenne die Strecke und ihre Einheit.

u=λv und B∈g⇒g=h\mathsf{u=\lambda v\textsf{ und }B\in g\Rightarrow g=h}

So geht es am Beispiel

Vergleiche g: (t|0|0), h: (1+2s|0|0) und k: (s|2|0).

Alle Richtungen sind Vielfache von (1|0|0). Der Punkt (1|0|0) liegt auf g, deshalb ist h identisch mit g. Auf k ist y dagegen immer 2; g und k sind echt parallel.

Ergebnis

g = h; g und k sind echt parallel.

Erklärung 03

Alle Koordinatengleichungen prüfen

Setze die Geraden gleich und löse nach ihren zwei unabhängigen Parametern. Ein Kandidat muss sämtliche Koordinatengleichungen erfüllen. Gibt es bei nichtparallelen Richtungen eine gemeinsame Lösung, entsteht genau ein Schnittpunkt. Gibt es keine, sind die Geraden windschief. Nur zwei Gleichungen zu lösen und die dritte zu ignorieren kann einen falschen Schnittpunkt erzeugen. Die anschließende Abstandsrechnung steht in Abstand Gerade Gerade.

  1. Bestimme zuerst die Lage und die gegebenen geometrischen Objekte.

  2. Rechne mit den Koordinaten; benenne die Strecke und ihre Einheit.

A+tu=B+sv\mathsf{A+tu=B+sv}

Maßstäbliche ebene Schnittlage als Teilfall der Raumklassifikation.

So geht es am Beispiel

Vergleiche g: (t|0|0) und h: (0|s|0).

Die Richtungen sind nicht parallel. Gleichsetzen ergibt t = 0 und s = 0; die dritte Koordinate stimmt ebenfalls.

Ergebnis

Beide Geraden schneiden sich im Ursprung.

So geht es am Beispiel

Vergleiche g: (t|0|0) und h: (0|s|2).

Die Richtungen sind nicht parallel. Die dritte Gleichung wäre 0 = 2 und ist unmöglich.

Ergebnis

Die Geraden sind windschief.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Lagebeziehungen von Geraden · EinstiegSind u = (1|0|0) und v = (2|0|0) parallel?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      v=2u\mathsf{v=2u}

    Ergebnis

    1. RichtungsbeziehungParallel.
  2. Aufgabe 2Lagebeziehungen von Geraden · EinstiegBestimme die Lage von g: (t|0|0) und h: (1+2s|0|0).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Die Richtungen sind parallel und der Stützpunkt von h liegt auf g.

    Ergebnis

    1. LageIdentisch.
  3. Aufgabe 3Lagebeziehungen von Geraden · StandardBestimme die Lage von g: (t|0|0) und h: (s|2|0).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Parallele Richtungen, aber keine gemeinsame y-Koordinate.

    Ergebnis

    1. LageEcht parallel.
  4. Aufgabe 4Lagebeziehungen von Geraden · StandardBestimme den Schnittpunkt von g: (t|0|0) und h: (0|s|0).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      t=0,s=0\mathsf{t=0,\quad s=0}

    Ergebnis

    1. Schnittpunkt(0|0|0)
  5. Aufgabe 5Lagebeziehungen von Geraden · TransferZeichne im vorbereiteten ebenen System die Geraden x = 2 und y = 3. Ihr Schnittpunkt soll aus der Zeichnung erkennbar sein.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Geradenzeichnung

    Vorbereitete Darstellung mit unveränderten Vorgaben.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      x = 2 verläuft vertikal, y = 3 horizontal. Ihr Schnittpunkt ist (2|3).

    Ergebnis

    1. GeradenzeichnungVertikale bei x = 2 und Horizontale bei y = 3.
  6. Aufgabe 6Lagebeziehungen von Geraden · Transferg: (t|0|0) und h: (0|s|2) haben nichtparallele Richtungen. Warum sind sie trotzdem nicht schneidend?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Die z-Koordinaten sind stets 0 beziehungsweise 2. Das Gleichungssystem besitzt keine gemeinsame Lösung.

    Ergebnis

    1. Begründete LageWindschief wegen nichtparalleler Richtungen und unvereinbarer z-Koordinaten.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich lese Titel, Achsen, Einheiten und Legende.
  • Ich zeichne proportional zur angegebenen Skala.
  • Ich begründe Aussagen mit den dargestellten Daten.

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