AT Academy
Zum Mathematik-Inhalt

Abstandsrechnung · Erklären & üben

Abstand zweier Punkte

Der Abstand zweier Punkte wird aus den Differenzen ihrer Koordinaten berechnet. Wir üben das in Ebene und Raum sowie bei gleichen Punkten und einer fehlenden Koordinate.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Erst differenzieren, dann quadrieren

Berechne für jede Achse Zielkoordinate minus Startkoordinate. Quadriere jede Differenz, addiere und ziehe erst zum Schluss die Wurzel. Die gemeinsame Längeneinheit bleibt erhalten. Die Formel setzt rechtwinklige Achsen mit bekannten Maßstäben voraus.

  1. Bestimme zuerst die Lage und die gegebenen geometrischen Objekte.

  2. Rechne mit den Koordinaten; benenne die Strecke und ihre Einheit.

d(A,B)=(bx−ax)2+(by−ay)2+(bz−az)2\mathsf{d(A,B)=\sqrt{(b_x-a_x)^2+(b_y-a_y)^2+(b_z-a_z)^2}}

Erklärung 02

Eigene Rechnungen in Ebene und Raum

Im zweidimensionalen Fall entfällt die dritte Differenz. Das Differenzdreieck hilft, die Zahlen zu prüfen. Im Raum wird die dritte Richtung zusätzlich berücksichtigt; ein perspektivisches Bild ersetzt die Rechnung nicht.

  1. Bestimme zuerst die Lage und die gegebenen geometrischen Objekte.

  2. Rechne mit den Koordinaten; benenne die Strecke und ihre Einheit.

d2D=Δx2+Δy2\mathsf{d_{2D}=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}

Eigene positive Punkte mit maßstäblichem Hilfsdreieck.
Raumpunkt als Anschauung; Raumlänge wird aus Koordinaten berechnet.

So geht es am Beispiel

A(−1|2) und B(2|6) liegen in der Ebene.

Δx=3,Δy=4\mathsf{\Delta x=3,\quad\Delta y=4}

Die Wurzel wird über die gesamte Summe gezogen:

d=9+16=5\mathsf{d=\sqrt{9+16}=5}

Ergebnis

Der Abstand beträgt 5 LE.

So geht es am Beispiel

Im Raum liegen A(1|−2|3) und B(3|1|9).

B−A=(2∣3∣6)\mathsf{B-A=(2|3|6)}
d=4+9+36=7\mathsf{d=\sqrt{4+9+36}=7}

Ergebnis

Die Punkte sind 7 LE voneinander entfernt.

Erklärung 03

Reihenfolge und fehlende Koordinaten

Bei identischen Punkten sind alle Differenzen 0 und damit auch der Abstand. Beim Vertauschen der Punkte wechseln alle Differenzen ihr Vorzeichen, aber die Quadrate bleiben gleich. Wird aus einer vorgegebenen Entfernung eine fehlende Koordinate berechnet, können zwei Lösungen entstehen. Die Zeichnung muss beide mögliche Seiten berücksichtigen. Abstände zu ganzen Geraden behandelt Abstand Punkt Gerade.

  1. Bestimme zuerst die Lage und die gegebenen geometrischen Objekte.

  2. Rechne mit den Koordinaten; benenne die Strecke und ihre Einheit.

d(A,A)=0,d(A,B)=d(B,A)\mathsf{d(A,A)=0,\qquad d(A,B)=d(B,A)}

So geht es am Beispiel

A(0|0) und B(3|y) sollen Abstand 5 haben.

9+y2=25\mathsf{9+y^2=25}
y2=16⇒y=4 oder y=−4\mathsf{y^2=16\Rightarrow y=4\textsf{ oder }y=-4}

Ergebnis

Es gibt zwei mögliche Punkte B.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Abstand zweier Punkte · EinstiegBerechne die Koordinatendifferenzen von A(−1|2) zu B(2|6).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      Δx=2−(−1)=3\mathsf{\Delta x=2-(-1)=3}
      Δy=6−2=4\mathsf{\Delta y=6-2=4}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Differenz x3\mathsf{3}
    2. Differenz y4\mathsf{4}
  2. Aufgabe 2Abstand zweier Punkte · EinstiegBerechne daraus den Abstand der beiden Punkte.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      d=32+42=5\mathsf{d=\sqrt{3^2+4^2}=5}

    Ergebnis

    1. Abstand in LE5\mathsf{5}
  3. Aufgabe 3Abstand zweier Punkte · StandardBerechne den Abstand zwischen A(1|−2|3) und B(3|1|9).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      d=22+32+62=7\mathsf{d=\sqrt{2^2+3^2+6^2}=7}

    Ergebnis

    1. Raumabstand in LE7\mathsf{7}
  4. Aufgabe 4Abstand zweier Punkte · StandardWelche Entfernung hat ein Punkt P(3|−1|2) von sich selbst?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      d(P,P)=0+0+0=0\mathsf{d(P,P)=\sqrt{0+0+0}=0}

    Ergebnis

    1. Abstand0\mathsf{0}
  5. Aufgabe 5Abstand zweier Punkte · TransferDie Vorlage enthält A(1|1) und B(4|5). Zeichne die Verbindungsstrecke und ein Hilfsdreieck über (4|1).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Verbindungsstrecke und Dreieck

    Vorbereitete Darstellung mit unveränderten Vorgaben.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Die horizontalen und vertikalen Differenzen sind 3 und 4. Ihre rechtwinklige Verbindung begründet die Länge 5.

    Ergebnis

    1. Verbindungsstrecke und DreieckDrei Strecken A–B, A–(4|1), (4|1)–B.
  6. Aufgabe 6Abstand zweier Punkte · TransferA(0|0) und B(3|y) haben Abstand 5. Bestimme beide möglichen y-Werte.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      32+y2=25⇒y2=16\mathsf{3^2+y^2=25\Rightarrow y^2=16}
      y=±4\mathsf{y=\pm4}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Positiver Wert4\mathsf{4}
    2. Negativer Wert−4\mathsf{-4}

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich lese Titel, Achsen, Einheiten und Legende.
  • Ich zeichne proportional zur angegebenen Skala.
  • Ich begründe Aussagen mit den dargestellten Daten.

AT Academy · Version 2026-10-21

Abstand zweier Punkte | AT Academy