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Abstandsrechnung · Erklären & üben

Dreidimensionales Koordinatensystem

Im dreidimensionalen rechtwinkligen Koordinatensystem besitzt jeder Punkt drei Koordinaten. Die räumlichen Achsen stehen paarweise senkrecht, auch wenn ein Schrägbild das nicht maßstäblich zeigt.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Achsen und Darstellung festlegen

Die Achsen heißen hier x, y und z und treffen sich im Ursprung. Ihre Reihenfolge und positive Richtung werden vor dem Zeichnen festgelegt. Unsere Bilder zeigen x nach rechts, y schräg nach links unten und z nach oben. Jeder Achsentick steht für 1 LE. Bildwinkel und Bildlängen sind durch die Projektion verzerrt. Drei Koordinatenebenen teilen den Raum in acht offene Oktanten. Wir beschreiben sie durch die Vorzeichen der Koordinaten, da ihre Nummerierung uneinheitlich sein kann. Punkte mit einer Nullkoordinate liegen auf einer Grenze.

  1. Bestimme zuerst die Lage und die gegebenen geometrischen Objekte.

  2. Rechne mit den Koordinaten; benenne die Strecke und ihre Einheit.

P=(x∣y∣z)\mathsf{P=(x|y|z)}

Punkt mit drei nachvollziehbaren Koordinatenschritten im Schrägbild.

Erklärung 02

Einen Punkt konstruieren und ablesen

Gehe zuerst entlang x, dann parallel zur y-Achse und zuletzt parallel zur z-Achse. Die gestrichelte Kette macht die Koordinaten nachvollziehbar. Ein einzelner unmarkierter Bildpunkt lässt sich in einem Schrägbild nicht eindeutig in drei Raumkoordinaten zurückverwandeln; Hilfslinien oder zusätzliche Angaben sind nötig. Ein achsenparalleler Quader zwischen dem Ursprung und einem Punkt mit positiven Koordinaten besitzt diese drei Koordinaten als Kantenlängen.

  1. Bestimme zuerst die Lage und die gegebenen geometrischen Objekte.

  2. Rechne mit den Koordinaten; benenne die Strecke und ihre Einheit.

Pxy=(x∣y∣0)\mathsf{P_{xy}=(x|y|0)}

So geht es am Beispiel

Zeichne P(2|1|3) und bestimme seinen Grundriss in der xy-Ebene.

Gehe 2 Einheiten in x-Richtung, 1 in y-Richtung und 3 nach oben. Für den Grundriss entfällt nur die Höhe.

Ergebnis

Der Grundriss lautet (2|1|0).

So geht es am Beispiel

Ein achsenparalleler Quader hat gegenüberliegende Ecken O und P(2|1|3). Bestimme seine Kantenlängen.

Die Kanten verlaufen entlang der drei Achsen. Ihre Längen sind die positiven Koordinaten.

Ergebnis

Die Kanten sind 2 LE, 1 LE und 3 LE lang.

Erklärung 03

Punkt und Verschiebung unterscheiden

Ein Punkt beschreibt einen Ort. Ein Verbindungsvektor beschreibt eine Verschiebung zwischen zwei Orten und entsteht durch Ziel minus Start. Derselbe Vektor kann an verschiedenen Startpunkten angesetzt werden. Seine Länge wird mit Pythagoras aus den Komponenten berechnet, nicht mit dem Lineal im Schrägbild. Weiterführende Vektoroperationen sind ein eigener Anschluss.

  1. Bestimme zuerst die Lage und die gegebenen geometrischen Objekte.

  2. Rechne mit den Koordinaten; benenne die Strecke und ihre Einheit.

AB→=B−A\mathsf{\overrightarrow{AB}=B-A}

Zweiter Raumpunkt mit Hilfskette und expliziter Projektionswarnung.

So geht es am Beispiel

Gegeben sind A(1|1|1) und B(3|2|4).

AB→=(2∣1∣3)\mathsf{\overrightarrow{AB}=(2|1|3)}
∣AB→∣=4+1+9=14\mathsf{|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14}}

Ergebnis

Die Verschiebung lautet (2|1|3) und ihre Länge ist √14 LE.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Dreidimensionales Koordinatensystem · EinstiegEin Punkt liegt 2 LE in x-, 1 LE in y- und 3 LE in positiver z-Richtung vom Ursprung entfernt. Gib seine Koordinaten an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Die Reihenfolge der Angaben ist x, y, z.

    Ergebnis

    1. Punkt(2|1|3)
  2. Aufgabe 2Dreidimensionales Koordinatensystem · EinstiegBestimme den Grundriss von P(2|1|3) in der xy-Ebene.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Nur die z-Koordinate wird auf 0 gesetzt.

    Ergebnis

    1. Grundriss(2|1|0)
  3. Aufgabe 3Dreidimensionales Koordinatensystem · StandardBerechne den Verbindungsvektor von A(1|1|1) zu B(3|2|4).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      B−A=(3−1∣2−1∣4−1)=(2∣1∣3)\mathsf{B-A=(3-1|2-1|4-1)=(2|1|3)}

    Ergebnis

    1. Verbindungsvektor(2|1|3)
  4. Aufgabe 4Dreidimensionales Koordinatensystem · StandardBerechne die Länge des Vektors (2|1|3).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      22+12+32=14\mathsf{\sqrt{2^2+1^2+3^2}=\sqrt{14}}

    Ergebnis

    1. Länge in LE14\mathsf{\sqrt{14}}
  5. Aufgabe 5Dreidimensionales Koordinatensystem · TransferZeichne P(2|1|3) in das vorbereitete Schrägbild. Ergänze die achsenparallele Hilfskette und beschrifte P.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Raumpunkt

    Vorbereitete Darstellung mit unveränderten Vorgaben.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Folge den gegebenen Achsenticks: 2 in x-Richtung, 1 parallel zu y und 3 parallel zu z.

    Ergebnis

    1. RaumpunktP(2|1|3) mit Hilfskette eingezeichnet.
  6. Aufgabe 6Dreidimensionales Koordinatensystem · TransferBeschreibe den Oktanten von Q(−2|1|−3) durch Vorzeichen. Liegt R(0|1|−3) im Inneren eines Oktanten?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Q hat negatives x, positives y und negatives z. R besitzt x = 0 und liegt auf der yz-Ebene, also auf einer Grenze.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Vorzeichen von Q(−|+|−)
    2. Lage von RAuf der yz-Ebene, nicht im Inneren eines Oktanten.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich lese Titel, Achsen, Einheiten und Legende.
  • Ich zeichne proportional zur angegebenen Skala.
  • Ich begründe Aussagen mit den dargestellten Daten.

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