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Abstandsrechnung · Erklären & üben

Abstand zwischen Ebenen

Zwei unendliche Ebenen haben genau dann einen positiven Abstand, wenn sie echt parallel sind. Der Abstand lässt sich über einen Punkt der einen Ebene und das Lot auf die andere bestimmen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Parallelität und Gleichheit unterscheiden

Jede Ebene besitzt einen Normalenvektor ungleich 0. Nichtparallele Normalen bedeuten, dass die Ebenen sich in einer Geraden schneiden; ihr Abstand ist 0. Bei parallelen Normalen muss zuerst auf dieselbe Normalenrichtung skaliert werden. Gleiche konstante rechte Seiten bedeuten dann identische Ebenen, unterschiedliche echte Parallelität. Begrenzte Flächenstücke sind eine andere Aufgabe.

  1. Bestimme zuerst die Lage und die gegebenen geometrischen Objekte.

  2. Rechne mit den Koordinaten; benenne die Strecke und ihre Einheit.

E:n⋅X=c1,G:n⋅X=c2\mathsf{E:n\cdot X=c_1,\quad G:n\cdot X=c_2}

Senkrechter Schnitt durch zwei echt parallele Ebenen.

So geht es am Beispiel

Vergleiche E: z = 1 und G: z = 5.

Beide Normalen sind (0|0|1), aber die rechten Seiten verschieden.

Ergebnis

Die Ebenen sind echt parallel.

Erklärung 02

Punkt wählen, Lotgerade schneiden, Länge berechnen

Wähle einen Punkt P auf G. Die Lotgerade durch P verwendet einen Normalenvektor von E als Richtung. Setze sie in E ein und berechne den Schnittpunkt F. Da die Ebenen parallel sind, ist die Länge PF unabhängig von der Wahl des Punktes P.

  1. Bestimme zuerst die Lage und die gegebenen geometrischen Objekte.

  2. Rechne mit den Koordinaten; benenne die Strecke und ihre Einheit.

L:P+tn,F=L∩E,d=∥P−F∥\mathsf{L:P+tn,\qquad F=L\cap E,\qquad d=\|P-F\|}

So geht es am Beispiel

Bestimme den Abstand von z = 5 zu z = 1 über P(0|0|5).

L=(0∣0∣5+t),5+t=1⇒t=−4\mathsf{L=(0|0|5+t),\quad5+t=1\Rightarrow t=-4}
F=(0∣0∣1),d=(−4)2=4\mathsf{F=(0|0|1),\quad d=\sqrt{(-4)^2}=4}

Ergebnis

Der Ebenenabstand beträgt 4 LE.

Erklärung 03

Mit gemeinsamer Normierung direkt rechnen

Nach dem Umformen beider Ebenen auf denselben Normalenvektor genügt die Betragsdifferenz der rechten Seiten, geteilt durch die Normalenlänge. Alternativ wähle einen Punkt auf E und setze ihn in die normierte Gleichung von G ein. Das ist die Hessesche Punkt-Ebenen-Formel. Für Parameterformen muss zunächst ein Normalenvektor und daraus eine Koordinatenform bestimmt werden. Rechte Seiten mit verschieden skalierten Normalen dürfen nicht direkt subtrahiert werden.

  1. Bestimme zuerst die Lage und die gegebenen geometrischen Objekte.

  2. Rechne mit den Koordinaten; benenne die Strecke und ihre Einheit.

d(E,G)=∣c2−c1∣∥n∥\mathsf{d(E,G)=\frac{|c_2-c_1|}{\|n\|}}

Schräge parallele Ebenen mit gemeinsamer Normalenrichtung und Lot.

So geht es am Beispiel

Berechne den Abstand zwischen E: x + 2z = 5 und G: 2x + 4z = 18.

G:x+2z=9,n=(1∣0∣2),∥n∥=5\mathsf{G:x+2z=9,\quad n=(1|0|2),\quad\|n\|=\sqrt5}
d=∣9−5∣/5=4/5\mathsf{d=|9-5|/\sqrt5=4/\sqrt5}

Alternativ liegt A(1|0|2) auf E. Einsetzen in G in der Form x + 2z − 9 = 0 ergibt denselben Zählerbetrag 4.

Ergebnis

Der Abstand beträgt 4/√5 LE.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Abstand zwischen Ebenen · EinstiegSind die Ebenen z = 1 und z = 5 parallel, identisch oder schneidend?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Gleiche Normalen und verschiedene rechte Seiten kennzeichnen echte Parallelität.

    Ergebnis

    1. LageEcht parallel.
  2. Aufgabe 2Abstand zwischen Ebenen · EinstiegForme 2x + 4z = 18 so um, dass der Normalenvektor (1|0|2) entsteht.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Teile die gesamte Gleichung durch 2.

      x+2z=9\mathsf{x+2z=9}

    Ergebnis

    1. Normierte gemeinsame Formx+2z=9\mathsf{x+2z=9}
  3. Aufgabe 3Abstand zwischen Ebenen · StandardBerechne den Abstand zwischen x + 2z = 5 und x + 2z = 9.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      d=∣9−5∣1+4=45\mathsf{d=\frac{|9-5|}{\sqrt{1+4}}=\frac4{\sqrt5}}

    Ergebnis

    1. Abstand in LE45\mathsf{\frac4{\sqrt5}}
  4. Aufgabe 4Abstand zwischen Ebenen · StandardBestimme den Fußpunkt von P(0|0|5) auf E: z = 1 und den Abstand.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Entlang der Normalen verändert sich nur die z-Koordinate.

      F=(0∣0∣1),d=4\mathsf{F=(0|0|1),\quad d=4}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Fußpunkt(0|0|1)
    2. Abstand in LE4\mathsf{4}
  5. Aufgabe 5Abstand zwischen Ebenen · TransferDie Vorlage zeigt im Schnitt y = 0 die Ebenen z = 1 und z = 5. Zeichne bei x = 2 eine Lotstrecke zwischen ihnen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Ebenenlot im Schnitt

    Vorbereitete Darstellung mit unveränderten Vorgaben.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Verbinde (x|z) = (2|1) mit (2|5). Die vertikale Strecke ist 4 LE lang.

    Ergebnis

    1. Ebenenlot im SchnittStrecke (2|1)–(2|5).
  6. Aufgabe 6Abstand zwischen Ebenen · TransferE: z = 1 und G: x = 2 besitzen nichtparallele Normalen. Bestimme ihren Abstand und nenne einen gemeinsamen Punkt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Beide Gleichungen werden zum Beispiel von (2|0|1) erfüllt; die Ebenen schneiden sich.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Gemeinsamer Punkt(2|0|1)
    2. Abstand0\mathsf{0}

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich lese Titel, Achsen, Einheiten und Legende.
  • Ich zeichne proportional zur angegebenen Skala.
  • Ich begründe Aussagen mit den dargestellten Daten.

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