Abstandsrechnung · Erklären & üben

Abstand windschiefer Geraden

Windschiefe Geraden sind weder parallel noch schneidend. Ihr Abstand ist die Länge einer Verbindung, die zu beiden Geradenrichtungen senkrecht steht.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Windschiefe zuerst nachweisen

Schreibe g: A + tu und h: B + sv. Die Richtungsvektoren müssen ungleich 0 und nicht parallel sein. Prüfe außerdem durch Gleichsetzen, dass kein gemeinsamer Punkt existiert. Erst dann ist die Bezeichnung windschief gerechtfertigt. Eine Raumprojektion kann Geraden scheinbar schneiden lassen, obwohl sie räumlich verschieden hoch liegen.

Bestimme zuerst die Lage und die gegebenen geometrischen Objekte.
Rechne mit den Koordinaten; benenne die Strecke und ihre Einheit.

$\mathsf{u\times v\ne0\quad\textsf{und}\quad g\cap h=\varnothing}$

Erklärung 02

Die gemeinsame Normalenrichtung nutzen

Das Kreuzprodukt der Richtungen ist zu beiden Geraden senkrecht. Die Projektion eines Verbindungsvektors zwischen den Stützpunkten auf diese Richtung liefert den Abstand. Der Betrag beseitigt die Orientierung. Die Formel setzt nichtparallele Richtungen voraus; bei parallelen Richtungen wäre der Nenner 0. Für nichtparallele schneidende Geraden liefert sie 0.

Bestimme zuerst die Lage und die gegebenen geometrischen Objekte.
Rechne mit den Koordinaten; benenne die Strecke und ihre Einheit.

$\mathsf{d(g,h)=\frac{|(B-A)\cdot(u\times v)|}{\|u\times v\|}}$

Maßstäblicher Schnitt durch das gemeinsame Lot windschiefer Raumgeraden.

So geht es am Beispiel

Gegeben sind g: (t|0|0) und h: (1|s|3). Bestimme den Abstand.

Die Richtungen (1|0|0) und (0|1|0) sind nicht parallel. Ein Schnitt ist wegen z = 0 beziehungsweise z = 3 unmöglich.

\mathsf{u\times v=(0|0|1),\quad B-A=(1|0|3)}

\mathsf{d=|3|/1=3}

Erklärung 03

Eine parallele Hilfsebene konstruieren

Wähle die Ebene durch g, die auch die Richtung von h enthält. Ihre beiden Richtungen sind u und v, ihr Normalenvektor ist deren Kreuzprodukt. Die Gerade h verläuft parallel zu dieser Ebene. Der Punkt-Ebenen-Abstand eines Punktes B auf h ist der gesuchte Geradenabstand. Die Einzeltechnik wird in Abstand Punkt Ebene weiter erläutert.

Bestimme zuerst die Lage und die gegebenen geometrischen Objekte.
Rechne mit den Koordinaten; benenne die Strecke und ihre Einheit.

$\mathsf{E:(u\times v)\cdot(X-A)=0}$

So geht es am Beispiel

Führe die Hilfsebenenmethode im Beispiel aus.

Die Ebene durch die x-Achse mit zusätzlicher y-Richtung ist z = 0. h liegt in Höhe z = 3.

\mathsf{d(B,E)=|3-0|=3}

Erklärung 04

Beide Endpunkte der Lotstrecke finden

Ein laufender Punkt F liegt auf g und ein laufender Punkt G auf h. Der Verbindungsvektor G−F wird gleichzeitig orthogonal zu u und v gesetzt. Die beiden Gleichungen bestimmen die beiden Parameter; danach werden Lotvektor und Länge berechnet. Nur eine Orthogonalitätsbedingung würde für den Abstand beider Geraden nicht ausreichen.

Bestimme zuerst die Lage und die gegebenen geometrischen Objekte.
Rechne mit den Koordinaten; benenne die Strecke und ihre Einheit.

$\mathsf{(G-F)\cdot u=0,\qquad(G-F)\cdot v=0}$

Laufende Punkte und beide unabhängigen Orthogonalitätsbedingungen.

So geht es am Beispiel

Bestimme beide Lotendpunkte im Beispiel.

\mathsf{F=(t|0|0),\quad G=(1|s|3),\quad G-F=(1-t|s|3)}

\mathsf{1-t=0,\quad s=0}

\mathsf{F=(1|0|0),\quad G=(1|0|3),\quad\|G-F\|=3}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Abstand windschiefer Geraden · EinstiegWarum sind g: (t|0|0) und h: (1|s|3) windschief?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Ihre Richtungen sind nicht parallel; die unterschiedlichen konstanten z-Koordinaten verhindern einen Schnitt.
Ergebnis
1. BegründungNichtparallel und kein gemeinsamer Punkt.
02
Aufgabe 2Abstand windschiefer Geraden · EinstiegBerechne das Kreuzprodukt von u = (1|0|0) und v = (0|1|0).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Normalenrichtung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{u\times v=(0|0|1)}$
Ergebnis
1. Normalenrichtung(0|0|1)
03
Aufgabe 3Abstand windschiefer Geraden · StandardBerechne den Abstand mit B−A = (1|0|3) und gemeinsamer Normalenrichtung (0|0|1).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Abstand in LE
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{d=\frac{|(1|0|3)\cdot(0|0|1)|}{1}=3}$
Ergebnis
1. Abstand in LE $\mathsf{3}$
04
Aufgabe 4Abstand windschiefer Geraden · StandardLöse die Lotbedingungen 1−t = 0 und s = 0 für F(t|0|0) und G(1|s|3).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Parameter t
Parameter s
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{t=1,\quad s=0}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Parameter t $\mathsf{1}$
2. Parameter s $\mathsf{0}$
05
Aufgabe 5Abstand windschiefer Geraden · TransferDie Vorlage zeigt den Schnitt y = 0: g verläuft bei z = 0, h trifft ihn im dargestellten Punkt G(1|0|3). Zeichne das gemeinsame Lot von G zu g.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gemeinsames Lot
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Gemeinsames Lot
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Verbinde in den xz-Koordinaten (1|3) mit (1|0). Diese räumliche z-Richtung steht auf beiden Geradenrichtungen senkrecht.
Ergebnis
1. Gemeinsames LotVertikale Strecke (1|3)–(1|0).
06
Aufgabe 6Abstand windschiefer Geraden · TransferWelche Hilfsebene enthält die x-Achse und zusätzlich die Richtung (0|1|0)? Berechne den Abstand von B(1|0|3) dazu.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Hilfsebene
Abstand in LE
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Beide Richtungen spannen die xy-Ebene auf.
  $\mathsf{E:z=0,\qquad d=3}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Hilfsebene $\mathsf{z=0}$
2. Abstand in LE $\mathsf{3}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich lese Titel, Achsen, Einheiten und Legende.
Ich zeichne proportional zur angegebenen Skala.
Ich begründe Aussagen mit den dargestellten Daten.

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