Symmetrie · Erklären & üben

Achsensymmetrie

Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn ihre Spiegelung an einer Geraden wieder genau dieselbe Figur ergibt. Die Gerade heißt Symmetrieachse.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Senkrechter Abstand auf beiden Seiten

Für einen Punkt $\mathsf{P}$ außerhalb der Achse liegt der Bildpunkt $\mathsf{P\prime}$ auf der Senkrechten durch $\mathsf{P}$ zur Achse. Beide Punkte haben denselben Abstand von der Achse; sie liegen auf verschiedenen Seiten. Die Achse ist die Mittelsenkrechte der Verbindungsstrecke. Punkte auf der Achse bleiben unverändert.

Bestimme die vorgegebene Achse oder das Zentrum.
Prüfe die Zuordnung mit gleichen Abständen oder passenden Koordinaten.

$\mathsf{d(P,a)=d(P\prime,a)}$

So geht es am Beispiel

Spiegle $\mathsf{P(1|2)}$ an $\mathsf{a:x=4}$ .

Der Punkt liegt drei Einheiten links von der Achse.

Sein Bild liegt drei Einheiten rechts; die y-Koordinate bleibt gleich.

Erklärung 02

Die ganze Figur muss passen

Ein Rechteck mit verschiedenen Seitenlängen hat zwei Symmetrieachsen; ein Quadrat hat vier. Ein gleichschenkliges, nicht gleichseitiges Dreieck hat eine, ein gleichseitiges drei. Gleiche Flächen auf beiden Seiten einer Geraden allein reichen nicht aus: Auch alle Randpunkte müssen beim Spiegeln passen.

Bestimme die vorgegebene Achse oder das Zentrum.
Prüfe die Zuordnung mit gleichen Abständen oder passenden Koordinaten.

$\mathsf{x\prime=2c-x,\quad y\prime=y\quad\textsf{für die Achse }x=c}$

So geht es am Beispiel

Sind die Diagonalen eines Rechtecks mit Seiten 2 cm und 6 cm Spiegelachsen?

Eine Diagonalspiegelung müsste die beiden anliegenden Seiten aufeinander abbilden.

Diese Seiten sind verschieden lang.

Erklärung 03

Optional: die y-Achse eines Graphen

Für Graphen auf einer zur Null symmetrischen Definitionsmenge prüfst du algebraisch, ob $\mathsf{f(-x)=f(x)}$ für alle zulässigen $\mathsf{x}$ gilt. Ein einzelnes Punktepaar genügt nicht als Beweis. Gerade Potenzen sind ein hilfreicher Hinweis, nachdem der Term vollständig vereinfacht wurde. Die Prüfung betrifft nur die y-Achse, nicht jede mögliche verschobene Achse.

Bestimme die vorgegebene Achse oder das Zentrum.
Prüfe die Zuordnung mit gleichen Abständen oder passenden Koordinaten.

$\mathsf{f(-x)=f(x)}$

So geht es am Beispiel

Prüfe $\mathsf{f(x)=x^2+3}$ und $\mathsf{g(x)=x^2+x}$ auf y-Achsensymmetrie.

\mathsf{f(-x)=x^2+3=f(x)}

\mathsf{g(-x)=x^2-x\ne g(x)\quad\textsf{im Allgemeinen}}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Achsensymmetrie · basisSpiegle $\mathsf{P(2|3)}$ an $\mathsf{x=5}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bildpunkt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  P liegt drei Einheiten links der Achse; das Bild liegt drei Einheiten rechts.
Ergebnis
1. Bildpunkt $\mathsf{P\prime(8|3)}$
02
Aufgabe 2Achsensymmetrie · standardDer Punkt $\mathsf{Q(4|2)}$ liegt auf der Spiegelachse $\mathsf{x=4}$ . Wo liegt sein Bildpunkt?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bildpunkt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Ein Achsenpunkt hat Abstand null von der Achse.
Ergebnis
1. Bildpunkt $\mathsf{Q\prime(4|2)=Q}$
03
Aufgabe 3Achsensymmetrie · standardWie viele Spiegelachsen hat ein Rechteck, das kein Quadrat ist? Beschreibe ihre Lage.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Anzahl
Lage
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Jede Mittellinie verbindet die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Seiten.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die Diagonalen sind wegen der ungleichen benachbarten Seiten keine Achsen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Anzahl $\mathsf{2}$
2. LageDie beiden Mittellinien durch den Mittelpunkt.
04
Aufgabe 4Achsensymmetrie · standardSpiegle das Rasterdreieck $\mathsf{A(1|1)}$ , $\mathsf{B(3|1)}$ , $\mathsf{C(2|4)}$ an $\mathsf{a:x=4}$ . Zeichne zu jedem Eckpunkt die senkrechte Verbindung zur Achse und ergänze das Bilddreieck.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Spiegelzeichnung
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Spiegelzeichnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{x\prime=8-x}$
  $\mathsf{A\prime(7|1),\quad B\prime(5|1),\quad C\prime(6|4)}$
Ergebnis
1. SpiegelzeichnungBilddreieck mit $\mathsf{A\prime(7|1),B\prime(5|1),C\prime(6|4)}$ und waagerechten Hilfslinien.
05
Aufgabe 5Achsensymmetrie · transferOptional: Prüfe $\mathsf{f(x)=x^4+2x^2}$ auf y-Achsensymmetrie.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(-x)=(-x)^4+2(-x)^2=x^4+2x^2=f(x)}$
Ergebnis
1. ErgebnisJa, y-achsensymmetrisch.
06
Aufgabe 6Achsensymmetrie · transferOptional: Prüfe $\mathsf{g(x)=x^2-2x}$ auf y-Achsensymmetrie. Bedeutet ein negatives Ergebnis, dass der Graph überhaupt keine Spiegelachse besitzt?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
y-Achse
Andere Achse
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g(-x)=x^2+2x\ne g(x)\quad\textsf{im Allgemeinen}}$
  $\mathsf{g(x)=(x-1)^2-1}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die verschobene Parabel besitzt die Achse x=1.
Ergebnisse & Teilantworten
1. y-AchseKeine Symmetrie zur y-Achse.
2. Andere Achse $\mathsf{x=1}$ ist eine Symmetrieachse.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich unterscheide eine Abbildung von einer Symmetrie der Figur.
Ich kann das jeweilige Verfahren an einer eigenen Zeichnung erklären.
Ich prüfe Voraussetzungen und begründe mein Ergebnis.

AT Academy · Version 2026-10-21