Symmetrie · Erklären & üben

Symmetrie

Eine Figur ist symmetrisch, wenn eine passende Spiegelung oder eine Drehung um weniger als eine volle Umdrehung sie wieder mit sich selbst zur Deckung bringt. Entscheidend ist die gesamte Figur, nicht nur ein ähnlich aussehender Teil.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

In sich oder zueinander symmetrisch?

Eine Figur ist in sich symmetrisch, wenn Original und Bild dieselbe Punktmenge bilden. Zwei verschiedene Figuren können dagegen zueinander Spiegelbilder sein. Das bedeutet nicht automatisch, dass jede einzelne Figur in sich symmetrisch ist. Eine Figur ohne Achsen-, Punkt- oder nichttriviale Drehsymmetrie heißt hier asymmetrisch.

Bestimme die vorgegebene Achse oder das Zentrum.
Prüfe die Zuordnung mit gleichen Abständen oder passenden Koordinaten.

$\mathsf{\textsf{Originalfigur}=\textsf{Bildfigur}}$

So geht es am Beispiel

Welche Symmetrien besitzt ein Rechteck mit verschieden langen Seiten?

Die Geraden durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten sind Spiegelachsen.

Eine Drehung um 180 Grad um den Diagonalenschnittpunkt bildet das Rechteck auf sich ab.

Erklärung 02

Achse, Punkt oder Drehung

Bei der Achsensymmetrie spiegelst du an einer Geraden. Bei Punktsymmetrie drehst du um $\mathsf{180^\circ}$ um ein Zentrum. Allgemeine Drehsymmetrie erlaubt andere Winkel zwischen null und 360 Grad. Ein Quadrat passt nach 90 Grad wieder auf sich; ein gleichseitiges Dreieck nach 120 Grad. Punkte auf einer Spiegelachse beziehungsweise das Drehzentrum bleiben fest.

Bestimme die vorgegebene Achse oder das Zentrum.
Prüfe die Zuordnung mit gleichen Abständen oder passenden Koordinaten.

$\mathsf{\textsf{Punktspiegelung}=\textsf{Drehung um }180^\circ}$

Gleichseitiges Dreieck: kleinste Drehung 120°

So geht es am Beispiel

Ist ein gleichseitiges Dreieck punktsymmetrisch?

Es passt nach Drehungen um 120 und 240 Grad auf sich.

Bei 180 Grad trifft eine Ecke keine Ecke der ursprünglichen Figur.

Erklärung 03

Optional: Symmetrie von Funktionsgraphen

Voraussetzung sind Funktionsterme und das Einsetzen negativer Zahlen. Für eine zur Null symmetrische Definitionsmenge bedeutet $\mathsf{f(-x)=f(x)}$ y-Achsensymmetrie, $\mathsf{f(-x)=-f(x)}$ Ursprungssymmetrie. Vereinfache Polynome zuerst: Nur gerade Exponenten einschließlich des konstanten Terms liefern eine gerade Funktion; nur ungerade Exponenten liefern eine ungerade. Gemischte nicht verschwindende Anteile besitzen keine dieser beiden Symmetrien. Die Nullfunktion besitzt beide. Kosinus ist gerade, Sinus ungerade. Andere Achsen oder Zentren sind damit noch nicht ausgeschlossen.

Bestimme die vorgegebene Achse oder das Zentrum.
Prüfe die Zuordnung mit gleichen Abständen oder passenden Koordinaten.

$\mathsf{\cos(-x)=\cos x,\qquad\sin(-x)=-\sin x}$

So geht es am Beispiel

Untersuche $\mathsf{f(x)=x^4-3x^2+2}$ , $\mathsf{g(x)=x^3+2x}$ und $\mathsf{h(x)=x^3+x^2}$ .

\mathsf{f(-x)=x^4-3x^2+2=f(x)}

\mathsf{g(-x)=-x^3-2x=-g(x)}

\mathsf{h(-x)=-x^3+x^2}

Der letzte Term ist weder h(x) noch -h(x).

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Symmetrie · basisWie viele Spiegelachsen besitzt ein Quadrat, und welcher kleinste positive Drehwinkel bildet es auf sich ab?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Spiegelachsen
Kleinster Drehwinkel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die beiden Mittellinien und beide Diagonalen sind Spiegelachsen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Eine Vierteldrehung vertauscht jeweils benachbarte Ecken.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Spiegelachsen $\mathsf{4}$
2. Kleinster Drehwinkel $\mathsf{90^\circ}$
02
Aufgabe 2Symmetrie · standardEin Parallelogramm ist weder Rechteck noch Raute. Ist es trotzdem punktsymmetrisch? Nenne das Zentrum.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Entscheidung
Zentrum
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Diagonalen halbieren sich gegenseitig.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Eine halbe Drehung vertauscht gegenüberliegende Ecken.
Ergebnisse & Teilantworten
1. EntscheidungJa.
2. ZentrumSchnittpunkt der Diagonalen.
03
Aufgabe 3Symmetrie · standardWarum genügt Drehsymmetrie allein nicht, um Punktsymmetrie zu folgern? Nenne ein Gegenbeispiel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gegenbeispiel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Punktsymmetrie verlangt gerade eine Drehung um 180 Grad.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Ein gleichseitiges Dreieck besitzt Drehsymmetrie um 120 Grad, aber nicht um 180 Grad.
Ergebnis
1. GegenbeispielGleichseitiges Dreieck: drehsymmetrisch, nicht punktsymmetrisch.
04
Aufgabe 4Symmetrie · standardErgänze den Streckenzug $\mathsf{A(4|1)}$ , $\mathsf{B(2|1)}$ , $\mathsf{C(2|4)}$ , $\mathsf{D(4|5)}$ durch sein Spiegelbild an $\mathsf{a:x=4}$ zu einer achsensymmetrischen Figur. Verbinde die Bildpunkte in derselben Reihenfolge.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergänzte Figur
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Ergänzte Figur
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  A und D liegen auf der Achse und bleiben fest.
  $\mathsf{B\prime(6|1),\quad C\prime(6|4)}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Verbinde A–B′–C′–D.
Ergebnis
1. Ergänzte FigurBildstreckenzug $\mathsf{A(4|1),B\prime(6|1),C\prime(6|4),D(4|5)}$ .
05
Aufgabe 5Symmetrie · standardEin Dreieck hat drei verschieden lange Seiten. Besitzt es eine Spiegelachse? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Eine Spiegelachse eines Dreiecks würde zwei Ecken vertauschen und die dritte festhalten.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Dann müssten zwei Seiten gleich lang sein.
Ergebnis
1. BegründungNein. Drei verschieden lange Seiten schließen eine Spiegelachse aus.
06
Aufgabe 6Symmetrie · transferOptional: Prüfe $\mathsf{f(x)=2x^4-x^2+5}$ auf y-Achsensymmetrie.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(-x)=2(-x)^4-(-x)^2+5=2x^4-x^2+5=f(x)}$
Ergebnis
1. ErgebnisDer Graph ist zur y-Achse symmetrisch.
07
Aufgabe 7Symmetrie · transferOptional: Vereinfache $\mathsf{h(x)=x^3+(x+1)^2-x^2}$ und prüfe y-Achsen- sowie Ursprungssymmetrie.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Term
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h(x)=x^3+2x+1}$
  $\mathsf{h(-x)=-x^3-2x+1}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Dies ist weder h(x) noch -h(x). Der konstante Anteil verhindert Ursprungssymmetrie.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Vereinfachter Term $\mathsf{x^3+2x+1}$
2. ErgebnisWeder zur y-Achse noch zum Ursprung symmetrisch.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich unterscheide eine Abbildung von einer Symmetrie der Figur.
Ich kann das jeweilige Verfahren an einer eigenen Zeichnung erklären.
Ich prüfe Voraussetzungen und begründe mein Ergebnis.

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