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Sinus, Cosinus und Tangens · Erklären & üben

Additionstheoreme

Additionstheoreme berechnen Sinus, Cosinus und Tangens einer Winkelsumme oder Winkeldifferenz. Die Funktionswerte werden dabei durch Produkte verknüpft; bloßes Addieren der einzelnen Werte wäre falsch.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Summe und Differenz richtig zerlegen

Die Formeln für Sinus und Cosinus gelten für alle reellen Winkel. Beide Winkel müssen in demselben Winkelmaß verwendet werden. Für eine Differenz ersetzt man den zweiten Winkel durch sein Negatives und nutzt die Symmetrie. Die Cosinusformel hat bei einer Summe ein Minus zwischen den Produkten; bei einer Differenz ein Plus.

  1. Kläre zuerst Winkelmaß, Definitionsbereich und gesuchte Größe.

  2. Nutze exakte Werte oder begründe die Rundung und kontrolliere die Lage am Graphen.

sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\mathsf{\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta}

Exakte Werte für die eigene Rechnung bei 75 Grad.

So geht es am Beispiel

Berechne sin(75°) aus 45° + 30°.

sin⁡75∘=2232+2212\mathsf{\sin75^\circ=\frac{\sqrt2}2\frac{\sqrt3}2+\frac{\sqrt2}2\frac12}
sin⁡75∘=6+24\mathsf{\sin75^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}4}

Ergebnis

Der exakte Wert ist (√6 + √2)/4.

So geht es am Beispiel

Berechne cos(15°) aus 45° − 30°.

cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\mathsf{\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta}
cos⁡15∘=64+24\mathsf{\cos15^\circ=\frac{\sqrt6}4+\frac{\sqrt2}4}

Ergebnis

Der exakte Wert ist ebenfalls (√6 + √2)/4.

Erklärung 02

Ein Schulbeweis über gedrehte Komponenten

Der Einheitsvektor zum Winkel β hat Komponenten (cos β, sin β). Eine Drehung um α bildet die x-Einheitsrichtung auf (cos α, sin α) und die y-Einheitsrichtung auf (−sin α, cos α) ab. Die beiden gedrehten, gewichteten Komponenten ergeben zusammen den gedrehten Vektor. Dieser liegt auf dem Einheitskreis beim Winkel α + β. Der Vergleich seiner beiden Koordinaten beweist die Summenformeln; mit −β folgen die Differenzformeln.

  1. Kläre zuerst Winkelmaß, Definitionsbereich und gesuchte Größe.

  2. Nutze exakte Werte oder begründe die Rundung und kontrolliere die Lage am Graphen.

(cos⁡(α+β)sin⁡(α+β))=cos⁡β(cos⁡αsin⁡α)+sin⁡β(−sin⁡αcos⁡α)\mathsf{\binom{\cos(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha+\beta)}=\cos\beta\binom{\cos\alpha}{\sin\alpha}+\sin\beta\binom{-\sin\alpha}{\cos\alpha}}

Winkelsumme am Einheitskreis mit erhaltenem Ausgangsradius.

Erklärung 03

Doppelwinkel als Spezialfall

Setze in den Summenformeln beide Winkel gleich. Für den doppelten Cosinus entstehen durch sin²α + cos²α = 1 mehrere gleichwertige Formen. Sie helfen, einen gegebenen Sinus- oder Cosinuswert ohne Winkelrückrechnung zu verwenden. Ein einzelner Sinuswert bestimmt das Vorzeichen des Cosinus nicht ohne zusätzliche Quadrantenangabe.

  1. Kläre zuerst Winkelmaß, Definitionsbereich und gesuchte Größe.

  2. Nutze exakte Werte oder begründe die Rundung und kontrolliere die Lage am Graphen.

sin⁡(2α)=2sin⁡αcos⁡α,cos⁡(2α)=cos⁡2α−sin⁡2α=1−2sin⁡2α\mathsf{\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha,\qquad\cos(2\alpha)=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha}

So geht es am Beispiel

Für einen spitzen Winkel gelten sin α = 3/5 und cos α = 4/5. Berechne den doppelten Sinus.

sin⁡(2α)=2⋅35⋅45=2425\mathsf{\sin(2\alpha)=2\cdot\frac35\cdot\frac45=\frac{24}{25}}

Ergebnis

Der Wert beträgt 24/25.

Erklärung 04

Nur bei zulässigen Quotienten

Die Tangensformel entsteht durch Division der Sinus-Summenformel durch die Cosinus-Summenformel. Sie darf in dieser Darstellung nur verwendet werden, wenn tan α und tan β definiert sind und der neue Nenner nicht 0 ist. Bei einer Differenz wechseln das Vorzeichen im Zähler und das zwischen den Nennerprodukten. Definitionen und Grundgraphen stehen in Trigonometrische Funktionen.

  1. Kläre zuerst Winkelmaß, Definitionsbereich und gesuchte Größe.

  2. Nutze exakte Werte oder begründe die Rundung und kontrolliere die Lage am Graphen.

tan⁡(α±β)=tan⁡α±tan⁡β1∓tan⁡αtan⁡β\mathsf{\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}}

So geht es am Beispiel

Berechne tan(75°) aus 45° + 30°.

tan⁡75∘=1+1/31−1/3=3+13−1\mathsf{\tan75^\circ=\frac{1+1/\sqrt3}{1-1/\sqrt3}=\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}}
tan⁡75∘=(3+1)23−1=2+3\mathsf{\tan75^\circ=\frac{(\sqrt3+1)^2}{3-1}=2+\sqrt3}

Ergebnis

Der Nenner ist ungleich 0; der Wert lautet 2 + √3.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Additionstheoreme · EinstiegBerechne sin(75°) mithilfe von 45° + 30°.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      sin⁡75∘=sin⁡45∘cos⁡30∘+cos⁡45∘sin⁡30∘=6+24\mathsf{\sin75^\circ=\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}4}

    Ergebnis

    1. Exakter Sinuswert6+24\mathsf{\frac{\sqrt6+\sqrt2}4}
  2. Aufgabe 2Additionstheoreme · EinstiegBerechne cos(15°) mithilfe von 45° − 30°.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      cos⁡15∘=cos⁡45∘cos⁡30∘+sin⁡45∘sin⁡30∘=6+24\mathsf{\cos15^\circ=\cos45^\circ\cos30^\circ+\sin45^\circ\sin30^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}4}

    Ergebnis

    1. Exakter Cosinuswert6+24\mathsf{\frac{\sqrt6+\sqrt2}4}
  3. Aufgabe 3Additionstheoreme · StandardBerechne sin(15°) aus 45° − 30°.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      sin⁡15∘=sin⁡45∘cos⁡30∘−cos⁡45∘sin⁡30∘=6−24\mathsf{\sin15^\circ=\sin45^\circ\cos30^\circ-\cos45^\circ\sin30^\circ=\frac{\sqrt6-\sqrt2}4}

    Ergebnis

    1. Exakter Sinuswert6−24\mathsf{\frac{\sqrt6-\sqrt2}4}
  4. Aufgabe 4Additionstheoreme · StandardFür einen spitzen Winkel gilt sin α = 3/5 und cos α = 4/5. Berechne sin(2α) und cos(2α).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      sin⁡(2α)=2⋅3/5⋅4/5=24/25\mathsf{\sin(2\alpha)=2\cdot3/5\cdot4/5=24/25}
      cos⁡(2α)=16/25−9/25=7/25\mathsf{\cos(2\alpha)=16/25-9/25=7/25}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Doppelter Sinus2425\mathsf{\frac{24}{25}}
    2. Doppelter Cosinus725\mathsf{\frac7{25}}
  5. Aufgabe 5Additionstheoreme · TransferIn der Vorlage ist der Radius bei 30° gestrichelt vorgegeben. Ergänze eine Drehung um 45° gegen den Uhrzeigersinn: Zeichne den neuen Radius, den Kreispunkt und seine senkrechte Projektion auf die x-Achse.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Winkelsumme

    Vorbereitete Darstellung mit unveränderten Vorgaben.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Der neue Winkel beträgt 75°. Der Kreispunkt liegt im ersten Quadranten näher an der y-Achse.

    Ergebnis

    1. WinkelsummeRadius und Kreispunkt bei 75°, Projektion ergänzt, 30°-Vorgabe erhalten.
  6. Aufgabe 6Additionstheoreme · TransferBerechne tan(75°) mit dem Additionstheorem.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      tan⁡75∘=1+1/31−1/3=2+3\mathsf{\tan75^\circ=\frac{1+1/\sqrt3}{1-1/\sqrt3}=2+\sqrt3}

    Ergebnis

    1. Exakter Tangenswert2+3\mathsf{2+\sqrt3}
  7. Aufgabe 7Additionstheoreme · TransferWarum darf die Tangensformel für 45° + 45° keinen endlichen Wert liefern?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      1−tan⁡45∘tan⁡45∘=1−1=0\mathsf{1-\tan45^\circ\tan45^\circ=1-1=0}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die Winkelsumme beträgt 90°; dort ist Tangens nicht definiert.

    Ergebnis

    1. BegründungDer Nenner wird 0; tan(90°) ist nicht definiert.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich lese Titel, Achsen, Einheiten und Legende.
  • Ich zeichne proportional zur angegebenen Skala.
  • Ich begründe Aussagen mit den dargestellten Daten.

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