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Sinus, Cosinus und Tangens · Erklären & üben

Sinusfunktion

Die Sinusfunktion beschreibt eine periodische Schwingung. Mit Amplitude, Periode und Verschiebungen lassen sich ihre Kurve und einfache wiederkehrende Vorgänge gezielt modellieren.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Eigenschaften des Grundsinus

Die Grundfunktion sin(x) besitzt Definitionsbereich ℝ, Wertebereich [−1,1], Amplitude 1 und Periode 2π. Alle Funktionsargumente werden hier im Bogenmaß verwendet. Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Die markanten Punkte einer Periode sind (0|0), (π/2|1), (π|0), (3π/2|−1) und (2π|0). Eine glatte Kurve verbindet sie; sie ist kein Streckenzug.

  1. Kläre zuerst Winkelmaß, Definitionsbereich und gesuchte Größe.

  2. Nutze exakte Werte oder begründe die Rundung und kontrolliere die Lage am Graphen.

sin⁡(−x)=−sin⁡x\mathsf{\sin(-x)=-\sin x}

Erklärung 02

Vier Parameter mit klarer Klammer

Wir verwenden die Form a sin(b(x−c)) + d. Für a,b ungleich 0 ist |a| die Amplitude, 2π/|b| die Periode, c die Verschiebung nach rechts und d die Höhe der Mittellinie. Der Wertebereich ist [d−|a|,d+|a|]. Ein negatives a spiegelt an der Mittellinie. Ein negatives b kehrt zusätzlich die horizontale Orientierung um. Der verschobene Graph ist punktsymmetrisch zu (c|d). Bei a = 0 oder b = 0 entsteht eine konstante Funktion; die Periodenformel beschreibt dann keine kleinste Periode. Bei a sin(bx+q)+d lautet die horizontale Verschiebung −q/b, nicht q.

  1. Kläre zuerst Winkelmaß, Definitionsbereich und gesuchte Größe.

  2. Nutze exakte Werte oder begründe die Rundung und kontrolliere die Lage am Graphen.

f(x)=asin⁡(b(x−c))+d\mathsf{f(x)=a\sin(b(x-c))+d}

Transformierte Sinuskurve mit Viertelperioden und Mittellinie.

So geht es am Beispiel

Charakterisiere f(x)=2sin⁡(2(x−π/4))+1\mathsf{f(x)=2\sin(2(x-\pi/4))+1}.

A=2,T=π,c=π/4,d=1\mathsf{A=2,\quad T=\pi,\quad c=\pi/4,\quad d=1}

Der Wertebereich reicht von −1 bis 3. Über 0 bis π sind die Leitpunkte (0|−1), (π/4|1), (π/2|3), (3π/4|1), (π|−1).

Ergebnis

Der Graph ist um π/4 nach rechts verschoben und schwingt um y = 1.

Erklärung 03

Nullstellen und Extremwerte bestimmen

Der Grundsinus hat Nullstellen kπ, Maxima bei π/2 + 2kπ und Minima bei 3π/2 + 2kπ für ganze k. Bei einer transformierten Funktion muss zuerst die äußere Verschiebung und Streckung aufgelöst werden. Der Sinuswert wird dann einer passenden Winkelmenge zugeordnet. Insbesondere bei d ungleich 0 sind Nullstellen nicht einfach die verschobenen Grundnullstellen.

  1. Kläre zuerst Winkelmaß, Definitionsbereich und gesuchte Größe.

  2. Nutze exakte Werte oder begründe die Rundung und kontrolliere die Lage am Graphen.

asin⁡(b(x−c))+d=0⇒sin⁡(b(x−c))=−d/a\mathsf{a\sin(b(x-c))+d=0\Rightarrow\sin(b(x-c))=-d/a}

So geht es am Beispiel

Bestimme die Nullstellen von f(x)=2sin⁡(2(x−π/4))+1\mathsf{f(x)=2\sin(2(x-\pi/4))+1} im Intervall [0,π].

f(x)=1−2cos⁡(2x)\mathsf{f(x)=1-2\cos(2x)}
cos⁡(2x)=1/2\mathsf{\cos(2x)=1/2}
2x=π/3 oder 5π/3⇒x=π/6 oder 5π/6\mathsf{2x=\pi/3\textsf{ oder }5\pi/3\Rightarrow x=\pi/6\textsf{ oder }5\pi/6}

Ergebnis

Im vorgegebenen Intervall gibt es zwei Nullstellen.

Erklärung 04

Ableitung und Stammfunktion

Im Bogenmaß ist die Ableitung des Grundsinus der Cosinus; eine Stammfunktion ist −cos(x). Bei der transformierten Funktion wird beim Ableiten mit dem inneren Faktor b multipliziert, beim Integrieren durch ihn geteilt. Die folgenden Formeln setzen b ungleich 0 voraus. Die Integrationskonstante bleibt frei.

  1. Kläre zuerst Winkelmaß, Definitionsbereich und gesuchte Größe.

  2. Nutze exakte Werte oder begründe die Rundung und kontrolliere die Lage am Graphen.

f′(x)=abcos⁡(b(x−c)),F(x)=−abcos⁡(b(x−c))+dx+C\mathsf{f^{\prime}(x)=ab\cos(b(x-c)),\qquad F(x)=-\frac ab\cos(b(x-c))+dx+C}

Erklärung 05

Aus einer Kurvenbeschreibung ein Modell bilden

Ein periodisches Modell benötigt passende Einheiten und eine klare Anfangsphase. Die Amplitude ist die halbe Differenz zwischen Maximum und Minimum, die Mittellinie ihr Mittelwert. Aus der Periodendauer ergibt sich der innere Faktor. Ein Modell beschreibt den angenommenen regelmäßigen Verlauf; reale Daten können davon abweichen. Die allgemeine Winkel- und Funktionsübersicht steht in Trigonometrische Funktionen.

  1. Kläre zuerst Winkelmaß, Definitionsbereich und gesuchte Größe.

  2. Nutze exakte Werte oder begründe die Rundung und kontrolliere die Lage am Graphen.

b=2πT\mathsf{b=\frac{2\pi}{T}}

Periodisches Höhenmodell mit Zeitachse in Stunden.

So geht es am Beispiel

Eine Modellhöhe schwankt zwischen 1 m und 5 m, wiederholt sich nach 12 h und startet bei 3 m steigend. Bestimme eine Vorschrift.

A=2 m,d=3 m,b=π/6 pro Stunde\mathsf{A=2\,\mathsf m,\quad d=3\,\mathsf m,\quad b=\pi/6\textsf{ pro Stunde}}
H(t)=3+2sin⁡(πt/6)\mathsf{H(t)=3+2\sin(\pi t/6)}

t wird in Stunden eingesetzt, H in Metern gelesen. Das erste Maximum liegt nach 3 h bei 5 m.

Ergebnis

H(t) = 3 + 2 sin(πt/6) erfüllt die Angaben.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Sinusfunktion · EinstiegGegeben ist f(x)=2sin⁡(2(x−π/4))+1\mathsf{f(x)=2\sin(2(x-\pi/4))+1}. Bestimme Amplitude und Mittellinie.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Der äußere Betrag liefert die Amplitude, der Summand die Mittellinie.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Amplitude2\mathsf{2}
    2. Mittelliniey=1\mathsf{y=1}
  2. Aufgabe 2Sinusfunktion · EinstiegBestimme die kleinste Periode und die Verschiebung nach rechts derselben Funktion.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      T=2π/2=π,c=π/4\mathsf{T=2\pi/2=\pi,\qquad c=\pi/4}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Periodeπ\mathsf{\pi}
    2. Verschiebungπ/4\mathsf{\pi/4}
  3. Aufgabe 3Sinusfunktion · StandardBestimme den kleinsten und größten Funktionswert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      1−2=−1,1+2=3\mathsf{1-2=-1,\qquad1+2=3}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Minimum−1\mathsf{-1}
    2. Maximum3\mathsf{3}
  4. Aufgabe 4Sinusfunktion · StandardBestimme die Nullstellen im Intervall [0,π]. Nutze die äquivalente Form f(x) = 1 − 2 cos(2x).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      cos⁡(2x)=1/2⇒2x=π/3 oder 5π/3\mathsf{\cos(2x)=1/2\Rightarrow2x=\pi/3\textsf{ oder }5\pi/3}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Erste Nullstelleπ/6\mathsf{\pi/6}
    2. Zweite Nullstelle5π/6\mathsf{5\pi/6}
  5. Aufgabe 5Sinusfunktion · TransferZeichne f im vorbereiteten Bereich [0,π]. Nutze die Leitpunkte (0|−1), (π/4|1), (π/2|3), (3π/4|1), (π|−1).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Sinuskurve

    Vorbereitete Darstellung mit unveränderten Vorgaben.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Die Kurve beginnt im Minimum, steigt zum Maximum bei π/2 und fällt zum nächsten Minimum. Verbinde die Leitpunkte glatt.

    Ergebnis

    1. SinuskurveGlatte Kurve durch die fünf gegebenen Leitpunkte.
  6. Aufgabe 6Sinusfunktion · TransferLeite f(x)=2sin⁡(2(x−π/4))+1\mathsf{f(x)=2\sin(2(x-\pi/4))+1} ab.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f′(x)=4cos⁡(2(x−π/4))\mathsf{f^{\prime}(x)=4\cos(2(x-\pi/4))}

    Ergebnis

    1. Ableitung4cos⁡(2(x−π/4))\mathsf{4\cos(2(x-\pi/4))}
  7. Aufgabe 7Sinusfunktion · TransferDas Modell H(t)=3+2sin⁡(πt/6)\mathsf{H(t)=3+2\sin(\pi t/6)} verwendet Stunden und Meter. Wann erreicht es nach t = 0 erstmals sein Maximum und wie hoch ist es?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      πt/6=π/2⇒t=3\mathsf{\pi t/6=\pi/2\Rightarrow t=3}
      H(3)=5\mathsf{H(3)=5}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Zeit in Stunden3\mathsf{3}
    2. Höhe in Metern5\mathsf{5}
  8. Aufgabe 8Sinusfunktion · TransferBerechne ∫0π[2sin⁡(2(x−π/4))+1] dx\mathsf{\int_0^\pi[2\sin(2(x-\pi/4))+1]\,dx}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      F(x)=−cos⁡(2(x−π/4))+x\mathsf{F(x)=-\cos(2(x-\pi/4))+x}
      F(π)−F(0)=π\mathsf{F(\pi)-F(0)=\pi}

    Ergebnis

    1. Bestimmtes Integralπ\mathsf{\pi}

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich lese Titel, Achsen, Einheiten und Legende.
  • Ich zeichne proportional zur angegebenen Skala.
  • Ich begründe Aussagen mit den dargestellten Daten.

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