Geometrische Begriffe · Erklären & üben

Ähnlichkeit

Ähnliche Figuren besitzen dieselbe Form. Entsprechende Winkel stimmen überein und entsprechende Seitenlängen haben einen gemeinsamen positiven Faktor. Sie können dabei unterschiedlich groß und anders angeordnet sein.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Winkel und Seitenverhältnisse zusammen betrachten

Bei Dreiecken genügen zwei übereinstimmende Winkel oder drei übereinstimmende Seitenverhältnisse für Ähnlichkeit. Bei allgemeinen Vielecken müssen Seitenverhältnisse und entsprechende Winkel passen. Der Ähnlichkeitsfaktor $\mathsf{k>0}$ beschreibt die Bildlänge geteilt durch die Originallänge. Bei $\mathsf{k=1}$ sind ähnliche Figuren kongruent.

Ordne zuerst die gegebenen Objekte und Größen zu.
Begründe das Ergebnis mit der angegebenen Eigenschaft.

$\mathsf{k=\frac{a\prime}{a}=\frac{b\prime}{b}=\frac{c\prime}{c}}$

So geht es am Beispiel

Vergleiche Dreiecke mit Seiten $\mathsf{3,4,5\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{6,8,10\,\mathsf{cm}}$ .

\mathsf{6/3=8/4=10/5=2}

Die drei Seitenverhältnisse sind gleich.

Erklärung 02

Ähnlichkeit durch Abbildungen

Eine zentrische Streckung verändert die Größe einheitlich. Verschiebung, Drehung und Spiegelung verändern nur die Lage und sind selbst Ähnlichkeitsabbildungen mit Faktor eins. Zusammengesetzt können diese Abbildungen ähnliche Figuren ineinander überführen. Bei einem negativen zentrischen Streckungsfaktor ist sein Betrag der positive Längenfaktor.

Ordne zuerst die gegebenen Objekte und Größen zu.
Begründe das Ergebnis mit der angegebenen Eigenschaft.

$\mathsf{a\prime=k\,a}$

So geht es am Beispiel

Ein Rechteck mit Seiten $\mathsf{3\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{5\,\mathsf{cm}}$ wird auf $\mathsf{6\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{10\,\mathsf{cm}}$ vergrößert. Bestimme den Faktor.

\mathsf{6/3=2,\quad10/5=2}

Die rechten Winkel bleiben gleich.

Erklärung 03

Längen und Flächen skalieren

Alle Längen, auch der Umfang, werden mit $\mathsf{k}$ multipliziert. Die Fläche erhält den Faktor $\mathsf{k^2}$ , weil zwei unabhängige Längenrichtungen vergrößert werden. Bei Verkleinerungen liegt $\mathsf{k}$ zwischen null und eins. Wenn nur die Flächen bekannt sind, erhältst du den Längenfaktor aus der positiven Quadratwurzel des Flächenverhältnisses.

Ordne zuerst die gegebenen Objekte und Größen zu.
Begründe das Ergebnis mit der angegebenen Eigenschaft.

$\mathsf{U\prime=kU,\qquad A\prime=k^2A}$

So geht es am Beispiel

Eine Figur mit $\mathsf{A=12\,\mathsf{cm}^2}$ wird ähnlich mit $\mathsf{k=1{,}5}$ vergrößert. Bestimme die neue Fläche.

\mathsf{A\prime=1{,}5^2\cdot12\,\mathsf{cm}^2=27\,\mathsf{cm}^2}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Ähnlichkeit · basisBestimme den Ähnlichkeitsfaktor vom Dreieck mit Seiten $\mathsf{3,4,5\,\mathsf{cm}}$ zum Dreieck mit Seiten $\mathsf{9,12,15\,\mathsf{cm}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Faktor
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{9/3=12/4=15/5=3}$
Ergebnis
1. Faktor $\mathsf{k=3}$
02
Aufgabe 2Ähnlichkeit · standardSind die Rechtecke $\mathsf{2\,\mathsf{cm}\times4\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{3\,\mathsf{cm}\times8\,\mathsf{cm}}$ ähnlich? Prüfe die Verhältnisse von kurzer und langer Seite.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Entscheidung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3/2=1{,}5,\quad8/4=2}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die Vergrößerungsfaktoren sind nicht gleich.
Ergebnis
1. EntscheidungNein, nicht ähnlich.
03
Aufgabe 3Ähnlichkeit · standardEine Seite ist $\mathsf{5\,\mathsf{cm}}$ lang. Berechne die entsprechende Bildseite bei $\mathsf{k=1{,}4}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bildseite
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{a\prime=1{,}4\cdot5\,\mathsf{cm}=7\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Bildseite $\mathsf{7\,\mathsf{cm}}$
04
Aufgabe 4Ähnlichkeit · standardZeichne zum Dreieck $\mathsf{A(1|1)}$ , $\mathsf{B(3|1)}$ , $\mathsf{C(1|2)}$ ein ähnliches Bild mit Zentrum $\mathsf{Z(0|0)}$ und Faktor $\mathsf{2}$ . Nutze die Strahlen vom Zentrum durch die Eckpunkte und beschrifte die Bildpunkte.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ähnliches Bild
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Ähnliches Bild
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{A\prime(2|2),\quad B\prime(6|2),\quad C\prime(2|4)}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Abstände vom Zentrum werden verdoppelt.
Ergebnis
1. Ähnliches BildBilddreieck $\mathsf{A\prime(2|2),B\prime(6|2),C\prime(2|4)}$ mit Hilfsstrahlen.
05
Aufgabe 5Ähnlichkeit · standardEine Figur hat $\mathsf{U=18\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{A=20\,\mathsf{cm}^2}$ . Sie wird ähnlich mit $\mathsf{k=0{,}5}$ verkleinert. Berechne Bildumfang und Bildfläche.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bildumfang
Bildfläche
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{U\prime=0{,}5\cdot18\,\mathsf{cm}=9\,\mathsf{cm}}$
  $\mathsf{A\prime=0{,}5^2\cdot20\,\mathsf{cm}^2=5\,\mathsf{cm}^2}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Bildumfang $\mathsf{9\,\mathsf{cm}}$
2. Bildfläche $\mathsf{5\,\mathsf{cm}^2}$
06
Aufgabe 6Ähnlichkeit · transferEine Figur wird nur gespiegelt. Ist sie zum Original ähnlich und kongruent? Gib auch den Längenfaktor an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ähnlichkeit
Kongruenz
Längenfaktor
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Spiegelungen erhalten Abstände und Winkel.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Damit sind Größe und Form identisch.
Ergebnisse & Teilantworten
1. ÄhnlichkeitJa.
2. KongruenzJa.
3. Längenfaktor $\mathsf{k=1}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich kann die zentralen Begriffe an einer eigenen Skizze erklären.
Ich ordne entsprechende Größen und Einheiten richtig zu.
Ich begründe meine Lösung mit einer geometrischen Eigenschaft.

AT Academy · Version 2026-10-21