Geometrische Begriffe · Erklären & üben

Kongruenz

Zwei Figuren sind kongruent, wenn sie sich durch Verschieben, Drehen und gegebenenfalls Spiegeln zur Deckung bringen lassen. Ihre Lage darf verschieden sein; Größe und Form stimmen überein.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Deckungsgleichheit erkennen

Entsprechende Seiten sind gleich lang und entsprechende Winkel gleich groß. Bei Dreiecken reichen bereits die drei Seitenlängen, um Kongruenz nach SSS festzustellen. Die Eckpunktzuordnung muss stimmen. Für beliebige Vielecke genügen gleiche Seitenlängen allein nicht; beispielsweise können Rauten mit derselben Seitenlänge unterschiedliche Winkel haben.

Ordne zuerst die gegebenen Objekte und Größen zu.
Begründe das Ergebnis mit der angegebenen Eigenschaft.

$\mathsf{|AB|=|A\prime B\prime|}$

So geht es am Beispiel

Zwei Dreiecke besitzen Seitenlängen $\mathsf{3,4,5\,\mathsf{cm}}$ beziehungsweise $\mathsf{4,5,3\,\mathsf{cm}}$ . Sind sie kongruent?

Die Reihenfolge der Aufzählung ist unerheblich; entsprechende Seiten haben dieselbe Länge.

Der Kongruenzsatz SSS legt die Dreiecksform fest.

Erklärung 02

Verschieben, drehen und spiegeln

Bei einer Verschiebung werden alle Punkte um denselben Pfeil versetzt. Eine Drehung erfolgt um dasselbe Zentrum und denselben Winkel. Bei der Spiegelung liegen Punkt und Bildpunkt gleich weit auf entgegengesetzten Seiten der Spiegelachse; die Verbindung steht senkrecht auf der Achse. Auch ein Spiegelbild ist kongruent.

Ordne zuerst die gegebenen Objekte und Größen zu.
Begründe das Ergebnis mit der angegebenen Eigenschaft.

$\mathsf{P(x|y)\longmapsto P\prime(-x|y)\quad\textsf{bei Spiegelung an der y-Achse}}$

So geht es am Beispiel

Spiegle $\mathsf{A(1|1)}$ , $\mathsf{B(4|1)}$ und $\mathsf{C(1|3)}$ an der y-Achse.

\mathsf{A\prime(-1|1),\quad B\prime(-4|1),\quad C\prime(-1|3)}

Nur das Vorzeichen der x-Koordinate wechselt.

Erklärung 03

Gleiche Fläche reicht nicht

Zwei Figuren können denselben Flächeninhalt haben und trotzdem verschieden geformt sein. Ähnliche Figuren haben gleiche Form, dürfen aber unterschiedlich groß sein. Erst beim Längenfaktor eins sind ähnliche Figuren kongruent. Umgekehrt sind kongruente Figuren immer ähnlich.

Ordne zuerst die gegebenen Objekte und Größen zu.
Begründe das Ergebnis mit der angegebenen Eigenschaft.

$\mathsf{k=1\quad\textsf{bei kongruenten Figuren}}$

Vergrößert: ähnlich, aber nicht kongruent

So geht es am Beispiel

Vergleiche die Rechtecke $\mathsf{2\,\mathsf{cm}\times6\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{3\,\mathsf{cm}\times4\,\mathsf{cm}}$ .

\mathsf{A_1=2\cdot6=12\,\mathsf{cm}^2,\quad A_2=3\cdot4=12\,\mathsf{cm}^2}

Die Seitenpaare sind verschieden lang und lassen sich nicht passend zuordnen.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Kongruenz · basisDreieck eins hat Seiten $\mathsf{3,4,5\,\mathsf{cm}}$ , Dreieck zwei $\mathsf{4,5,3\,\mathsf{cm}}$ . Entscheide über Kongruenz und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Entscheidung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Ordne gleiche Seitenlängen einander zu.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Drei übereinstimmende Seitenlängen reichen bei Dreiecken aus.
Ergebnis
1. EntscheidungJa, kongruent nach SSS.
02
Aufgabe 2Kongruenz · standardZwei Rechtecke messen $\mathsf{2\,\mathsf{cm}\times6\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{3\,\mathsf{cm}\times4\,\mathsf{cm}}$ . Berechne ihre Flächen und entscheide über Kongruenz.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erste Fläche
Zweite Fläche
Kongruenz
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{A_1=12\,\mathsf{cm}^2,\quad A_2=12\,\mathsf{cm}^2}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die entsprechenden Seitenlängen stimmen nicht überein.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erste Fläche $\mathsf{12\,\mathsf{cm}^2}$
2. Zweite Fläche $\mathsf{12\,\mathsf{cm}^2}$
3. KongruenzNicht kongruent.
03
Aufgabe 3Kongruenz · standardEin Dreieck wird um $\mathsf{90^\circ}$ gedreht. Was geschieht mit seinen Seitenlängen und Innenwinkeln?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Seitenlängen
Innenwinkel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Drehungen erhalten Abstände und Winkel.
Ergebnisse & Teilantworten
1. SeitenlängenBleiben unverändert.
2. InnenwinkelBleiben unverändert; das Bild ist kongruent.
04
Aufgabe 4Kongruenz · standardVerschiebe das Rasterdreieck $\mathsf{A(1|1)}$ , $\mathsf{B(3|1)}$ , $\mathsf{C(1|3)}$ um drei Einheiten nach rechts. Zeichne und beschrifte das Bilddreieck.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bilddreieck
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Bilddreieck
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{A\prime(4|1),\quad B\prime(6|1),\quad C\prime(4|3)}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Bei jedem Punkt wird zur x-Koordinate drei addiert; y bleibt unverändert.
Ergebnis
1. Bilddreieck $\mathsf{A\prime(4|1),B\prime(6|1),C\prime(4|3)}$ korrekt verbunden.
05
Aufgabe 5Kongruenz · standardVergleiche Dreiecke mit Seiten $\mathsf{3,4,5\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{6,8,10\,\mathsf{cm}}$ . Sind sie kongruent, ähnlich oder keines von beiden?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vergleich
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{6/3=8/4=10/5=2}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Alle Seiten haben denselben Vergrößerungsfaktor; dieser ist nicht eins.
Ergebnis
1. VergleichÄhnlich, aber nicht kongruent.
06
Aufgabe 6Kongruenz · transferEin angebliches Spiegelbild eines Dreiecks hat eine längere Seite als jede Seite des Originals. Kann dies eine korrekte Spiegelung sein? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Eine Spiegelung bewahrt sämtliche Abstände.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die größte Seitenlänge muss daher unverändert bleiben.
Ergebnis
1. BegründungNein. Die veränderte größte Seitenlänge widerspricht der Längentreue einer Spiegelung.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich kann die zentralen Begriffe an einer eigenen Skizze erklären.
Ich ordne entsprechende Größen und Einheiten richtig zu.
Ich begründe meine Lösung mit einer geometrischen Eigenschaft.

AT Academy · Version 2026-10-21