Umformen · Erklären & üben

Äquivalenzumformung

Äquivalente Gleichungen haben in derselben Grundmenge dieselbe Lösungsmenge. Eine Äquivalenzumformung verändert daher die Darstellung, aber nicht die zulässigen Lösungen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Dieselbe Lösungsmenge erhalten

Wir lösen Gleichungen hier über den reellen Zahlen. Addierst oder subtrahierst du auf beiden Seiten denselben überall definierten Ausdruck, bleibt die Lösungsmenge gleich. Ebenso darfst du beide Seiten mit derselben von null verschiedenen Zahl multiplizieren oder durch sie dividieren. Der Äquivalenzpfeil $\mathsf{\Leftrightarrow}$ bedeutet, dass die beiden Aussagen unter den genannten Bedingungen in beide Richtungen gelten.

Nenne die Grundmenge und die Bedingungen
Wende dieselbe zulässige Operation auf beide Seiten an.

Äquivalent bedeutet: dieselben Lösungen.

Schematische Waage: links x plus acht, rechts dreizehn. Auf beiden Seiten wird acht subtrahiert. Die äquivalente Gleichung lautet x gleich fünf.

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{x+8=13}$ .

Subtrahiere acht auf beiden Seiten: $\mathsf{x=5}$ .

Probe in der Ausgangsgleichung: $\mathsf{5+8=13}$ .

Erklärung 02

Lineare Gleichungen schrittweise lösen

Löse Klammern wertgleich auf. Bringe danach die Terme mit der Unbekannten auf eine Seite und die konstanten Terme auf die andere. Teile zuletzt durch den von null verschiedenen Koeffizienten der Unbekannten. Setze das Ergebnis in die ursprüngliche Gleichung ein.

Klammern auflösen
Gleichartige Terme zusammenfassen
Mit gleichen Operationen auf beiden Seiten isolieren.

Jede Zeile enthält eine begründete Umformung.

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{3x-4=11}$ .

Addiere vier: $\mathsf{3x=15}$ .

Teile durch drei: $\mathsf{x=5}$ .

Probe: $\mathsf{3\cdot5-4=11}$ .

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{2(x+3)=x+10}$ .

Multipliziere die linke Klammer aus: $\mathsf{2x+6=x+10}$ .

Subtrahiere x: $\mathsf{x+6=10}$ .

Subtrahiere sechs: $\mathsf{x=4}$ .

Linke Seite der Probe: $\mathsf{2(4+3)=14}$ .

Rechte Seite der Probe: $\mathsf{4+10=14}$ .

Erklärung 03

Eine, keine oder unendlich viele Lösungen

Bleibt am Ende eine eindeutige Gleichung für x, gibt es genau diese Lösung. Eine immer wahre Aussage wie $\mathsf{0=0}$ bedeutet bei uneingeschränkter reeller Grundmenge, dass jede reelle Zahl löst. Eine falsche Aussage wie $\mathsf{0=5}$ bedeutet, dass keine Zahl löst. Bei ursprünglichen Definitionsbeschränkungen bleiben nur die dort zulässigen Werte möglich.

Beurteile die letzte Aussage
Schreibe die Lösungsmenge passend zur ursprünglichen Domäne.

Eine wahre Identität und ein Widerspruch sind verschiedene Ergebnisse.

Drei Ergebniszeilen: x gleich fünf ergibt die Menge mit fünf; null gleich null ergibt bei uneingeschränkter reeller Domäne alle reellen Zahlen; zwei gleich sieben ist falsch und ergibt die leere Menge.

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{4(x-1)=4x-4}$ .

Multipliziere aus: $\mathsf{4x-4=4x-4}$ .

Subtrahiere vier x: $\mathsf{-4=-4}$ .

Addiere vier: $\mathsf{0=0}$ .

Die Ausgangsgleichung ist für jedes reelle x wahr.

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{2(x+1)=2x+7}$ .

Multipliziere aus: $\mathsf{2x+2=2x+7}$ .

Subtrahiere zwei x: $\mathsf{2=7}$ .

Die letzte Aussage ist falsch; kein x erfüllt die Ausgangsgleichung.

Erklärung 04

Nicht jeder Schritt ist äquivalent

Multiplizieren mit null zerstört Information: Verschiedene Gleichungen werden zu $\mathsf{0=0}$ . Teilen durch einen variablen Ausdruck ist nur erlaubt, wenn er nachweislich ungleich null ist oder der Nullfall gesondert behandelt wird. Sonst können Lösungen verloren gehen. Quadrieren ist über den reellen Zahlen ohne weitere Bedingungen nicht umkehrbar. Aus $\mathsf{x=3}$ folgt zwar $\mathsf{x^2=9}$ , aber die zweite Gleichung erlaubt zusätzlich minus drei. Umgekehrt darf beim Wurzelziehen aus einem Quadrat keine negative Lösung verschwinden.

Prüfe, ob die Operation rückgängig gemacht werden kann
Behandle mögliche Nullfälle getrennt.

Neue oder verlorene Lösungen bedeuten: keine Äquivalenz.

Aus x gleich drei folgt x Quadrat gleich neun. Die erste Lösungsmenge enthält nur drei, die zweite zusätzlich minus drei. Der Pfeil zeigt deshalb nur eine Richtung und keinen Äquivalenzpfeil.

Bei x mal Klammer x minus zwei gleich null wird zuerst x gleich null als Lösung erhalten. Nur im Fall x ungleich null darf durch x geteilt werden; daraus folgt x gleich zwei. Die vollständige Menge enthält null und zwei.

So geht es am Beispiel

Darf aus $\mathsf{x(x-2)=0}$ ohne Fallunterscheidung durch x geteilt werden?

Der Faktor x könnte null sein. In diesem Fall ist $\mathsf{0(0-2)=0}$ wahr.

Für $\mathsf{x\ne0}$ darf geteilt werden: $\mathsf{x-2=0}$ .

Addiere zwei: $\mathsf{x=2}$ .

Beide Fälle zusammen ergeben null und zwei.

Erklärung 05

Probe und begrenzter Ausblick

Eine Probe untersucht einen gefundenen Wert in der ursprünglichen Gleichung. Sie findet aber nicht automatisch Lösungen, die zuvor durch unzulässiges Teilen verloren gingen. Deshalb müssen die Umformungen selbst begründet sein. Bei Ungleichungen ist zusätzlich die Richtung wichtig: Beim Multiplizieren oder Dividieren durch eine negative Zahl kehrt sich das Vergleichszeichen um. Das Thema Ungleichungen behandelt die zugehörigen Lösungsverfahren.

Prüfe die Ursprungsform und ihre Bedingungen
Unterscheide Gleichungs- und Ungleichungsregeln.

Eine Probe ergänzt einen zulässigen Rechenweg.

So geht es am Beispiel

Warum folgt aus $\mathsf{-2x<6}$ die Ungleichung $\mathsf{x>-3}$ ?

Teile beide Seiten durch minus zwei und kehre das Zeichen um: $\mathsf{x>-3}$ .

Dieser Richtungswechsel gehört zu Ungleichungen; ein Gleichheitszeichen besitzt keine solche Richtung.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Äquivalenzumformung · 1Löse $\mathsf{x-7=12}$ über den reellen Zahlen. Gib die Lösungsmenge an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Lösungsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Addiere sieben: $\mathsf{x=19}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Probe: $\mathsf{19-7=12}$ .
Ergebnis
1. Lösungsmenge $\mathsf{L=\{19\}}$
02
Aufgabe 2Äquivalenzumformung · 1Löse $\mathsf{5x=35}$ über den reellen Zahlen. Gib die Lösungsmenge an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Lösungsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Teile durch fünf: $\mathsf{x=7}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Probe: $\mathsf{5\cdot7=35}$ .
Ergebnis
1. Lösungsmenge $\mathsf{L=\{7\}}$
03
Aufgabe 3Äquivalenzumformung · 2Löse $\mathsf{\frac{x}{4}+3=8}$ über den reellen Zahlen. Gib die Lösungsmenge an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Lösungsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Subtrahiere drei: $\mathsf{\frac{x}{4}=5}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Multipliziere mit vier: $\mathsf{x=20}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Probe: $\mathsf{\frac{20}{4}+3=8}$ .
Ergebnis
1. Lösungsmenge $\mathsf{L=\{20\}}$
04
Aufgabe 4Äquivalenzumformung · 2Löse $\mathsf{3(x-2)=x+8}$ über den reellen Zahlen. Gib die Lösungsmenge und die Werte beider Seiten bei der Probe getrennt an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Lösungsmenge
Linke Seite der Probe
Rechte Seite der Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Multipliziere aus: $\mathsf{3x-6=x+8}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Subtrahiere x: $\mathsf{2x-6=8}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Addiere sechs: $\mathsf{2x=14}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Teile durch zwei: $\mathsf{x=7}$ .
5. Schritt 5 · Erklärung
  Linke Probe: $\mathsf{3(7-2)=15}$ .
6. Schritt 6 · Erklärung
  Rechte Probe: $\mathsf{7+8=15}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Lösungsmenge $\mathsf{L=\{7\}}$
2. Linke Seite der Probe15
3. Rechte Seite der Probe15
05
Aufgabe 5Äquivalenzumformung · 2Löse $\mathsf{5(x+2)=5x+10}$ über den reellen Zahlen. Nenne die Lösungsmenge und begründe ihre Größe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Lösungsmenge
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Multipliziere aus: $\mathsf{5x+10=5x+10}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Subtrahiere fünf x: $\mathsf{10=10}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die Aussage ist für alle reellen x wahr.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Lösungsmenge $\mathsf{L=\mathbb{R}}$
2. BegründungNach äquivalenten Umformungen bleibt eine stets wahre Aussage. Die ursprüngliche Gleichung hat keine Definitionsbeschränkung und gilt für jedes reelle x.
06
Aufgabe 6Äquivalenzumformung · 2Löse $\mathsf{4(x-1)=4x+3}$ über den reellen Zahlen. Nenne die Lösungsmenge und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Lösungsmenge
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Multipliziere aus: $\mathsf{4x-4=4x+3}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Subtrahiere vier x: $\mathsf{-4=3}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die letzte Aussage ist falsch.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Lösungsmenge $\mathsf{L=\varnothing}$
2. BegründungEs entsteht ein Widerspruch, der von x unabhängig ist. Deshalb erfüllt keine reelle Zahl die Ausgangsgleichung.
07
Aufgabe 7Äquivalenzumformung · 3Jemand teilt $\mathsf{x(x-5)=0}$ durch x und nennt nur fünf als Lösung. Ist der Weg ohne Fallunterscheidung zulässig? Nenne die vollständige Lösungsmenge und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ohne Fallunterscheidung zulässig?
Vollständige Lösungsmenge
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Für $\mathsf{x=0}$ gilt $\mathsf{0(0-5)=0}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Für $\mathsf{x\ne0}$ teile durch x: $\mathsf{x-5=0}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Addiere fünf: $\mathsf{x=5}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Probe der zweiten Lösung: $\mathsf{5(5-5)=0}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Ohne Fallunterscheidung zulässig?Nein
2. Vollständige Lösungsmenge $\mathsf{L=\{0;5\}}$
3. BegründungDie Lösung null erlaubt keine Division durch x. Sie muss vor dem Teilen als eigener Fall erhalten bleiben.
08
Aufgabe 8Äquivalenzumformung · 3Sind $\mathsf{x=-4}$ und $\mathsf{x^2=16}$ über den reellen Zahlen äquivalent? Nenne die Lösungsmenge jeder Gleichung und begründe dein Urteil.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Äquivalent?
Lösungsmenge der ersten Gleichung
Lösungsmenge der zweiten Gleichung
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die erste Gleichung hat nur $\mathsf{x=-4}$ als Lösung.
2. Schritt 2 · Erklärung
  In der zweiten gilt $\mathsf{(-4)^2=16}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Außerdem gilt $\mathsf{4^2=16}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Äquivalent?Nein
2. Lösungsmenge der ersten Gleichung $\mathsf{L_1=\{-4\}}$
3. Lösungsmenge der zweiten Gleichung $\mathsf{L_2=\{-4;4\}}$
4. BegründungDurch Quadrieren entsteht zusätzlich die positive Lösung vier. Die beiden Lösungsmengen sind daher verschieden.
09
Aufgabe 9Äquivalenzumformung · 3Löse $\mathsf{ax=6}$ über den reellen Zahlen getrennt für a ungleich null und a gleich null. Nenne jeweils die Lösungsmenge.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Lösungsmenge bei a ungleich null
Lösungsmenge bei a gleich null
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Für $\mathsf{a\ne0}$ darfst du teilen: $\mathsf{x=\frac{6}{a}}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Probe dieses Falls: $\mathsf{a\cdot\frac{6}{a}=6}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Für $\mathsf{a=0}$ steht $\mathsf{0=6}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Dieser Widerspruch hat keine Lösung.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Lösungsmenge bei a ungleich null $\mathsf{L=\{\frac{6}{a}\}}$
2. Lösungsmenge bei a gleich null $\mathsf{L=\varnothing}$
10
Aufgabe 10Äquivalenzumformung · 3Betrachte $\mathsf{\frac{x-2}{x-2}=1}$ . Nenne den ausgeschlossenen Wert und die Lösungsmenge. Darf der ausgeschlossene Wert nach dem Kürzen ergänzt werden? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ausgeschlossener Wert
Lösungsmenge
Darf der ausgeschlossene Wert ergänzt werden?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der ursprüngliche Nenner verlangt $\mathsf{x\ne2}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Für zulässiges x kürzt sich der Bruch zu $\mathsf{1=1}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Diese Identität gilt für alle ursprünglich zulässigen Werte.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Ausgeschlossener Wert2
2. Lösungsmenge $\mathsf{L=\mathbb{R}\setminus\{2\}}$
3. Darf der ausgeschlossene Wert ergänzt werden?Nein
4. BegründungBei x gleich zwei ist der ursprüngliche Bruch nicht definiert. Kürzen erweitert die ursprüngliche Definitionsmenge nicht.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich nenne die zulässigen Werte vor dem Teilen.
Ich begründe jede Operation auf beiden Seiten.
Ich erhalte alle Lösungen und ursprünglichen Bedingungen.

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