Umformen · Erklären & üben

Formel umstellen

Beim Umstellen einer Formel bringst du eine gewünschte Variable allein auf eine Seite. Der Zusammenhang zwischen den Größen bleibt dabei erhalten, sofern jede Operation zulässig ist.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Zielvariable und Umkehroperationen

Lege zuerst fest, nach welcher Variable du umstellen möchtest. Addiere oder subtrahiere auf beiden Seiten denselben Ausdruck. Multiplizieren und Dividieren sind als Umkehroperationen nur dann sicher, wenn der verwendete Faktor beziehungsweise Divisor ungleich null ist. Beachte außerdem alle Nennerbedingungen der ursprünglichen Formel.

Markiere die Zielvariable
Entferne die äußeren Operationen in umgekehrter Reihenfolge.

Jede Umformung betrifft beide Seiten.

So geht es am Beispiel

Stelle $\mathsf{y=x+7}$ nach x um.

Subtrahiere auf beiden Seiten sieben: $\mathsf{y-7=x}$ .

Vertausche die Seiten: $\mathsf{x=y-7}$ .

Erklärung 02

Produkte und Quotienten

Für ein Rechteck mit positiven Seiten gilt $\mathsf{A=ab}$ . Beim Umstellen nach a darf durch b geteilt werden, weil b positiv ist. Bei Quotienten kann die Zielvariable auch im Nenner stehen. Dann bleibt die ursprüngliche Nennerbedingung bestehen, selbst wenn der Nenner nach dem Umstellen nicht mehr sichtbar ist.

Halte die Domäne fest
Multipliziere zuerst mit einem zulässigen Nenner, wenn die Zielvariable darunter steht.

Eine Nennerbedingung verschwindet nicht durch Umformen.

Ein Dreieck mit positiver Grundseite und senkrechter positiver Höhe. Ein Rechtwinkelsymbol markiert die Höhe zur Grundseite. Fläche gleich Grundseite mal Höhe geteilt durch zwei; Höhe gleich zweimal Fläche geteilt durch Grundseite.

So geht es am Beispiel

Stelle $\mathsf{A=ab}$ für positive Rechteckseiten nach a um.

Wegen $\mathsf{b>0}$ gilt $\mathsf{b\ne0}$ .

Teile beide Seiten durch b: $\mathsf{\frac{A}{b}=a}$ .

Vertausche die Seiten: $\mathsf{a=\frac{A}{b}}$ .

So geht es am Beispiel

Stelle $\mathsf{v=\frac{s}{t}}$ für eine positive Strecke s und eine positive Zeit t nach t um.

Es gelten $\mathsf{s>0}$ und $\mathsf{t>0}$ , also auch $\mathsf{v>0}$ .

Multipliziere beide Seiten mit t: $\mathsf{vt=s}$ .

Teile beide Seiten durch v: $\mathsf{t=\frac{s}{v}}$ .

Erklärung 03

Mehrere Operationen und Parameter

In $\mathsf{y=ax+b}$ wird zuerst b subtrahiert. Erst dann teilst du durch a. Falls a null sein könnte, brauchst du eine Fallunterscheidung: Bei a gleich null hängt die rechte Seite nicht mehr von x ab. Die Formel kann dann entweder für jedes x oder für kein x erfüllt sein. Alle Parameter werden als reell betrachtet, sofern keine engere Domäne genannt ist.

Entferne zuerst den addierten Anteil
Prüfe vor einer Division, ob der Parameter null sein kann.

Durch einen möglicherweise null werdenden Parameter nicht ungeprüft teilen.

Die Formel y gleich vier x minus sieben wird auf beiden Seiten zuerst um sieben erhöht und dann durch vier geteilt. Ergebnis x gleich y plus sieben geteilt durch vier. Vier ist ungleich null.

Verzweigung bei y gleich a x plus b. Für a ungleich null wird durch a geteilt. Für a gleich null bleibt die Frage, ob y gleich b ist: dann jedes reelle x, sonst kein x.

So geht es am Beispiel

Stelle $\mathsf{y=ax+b}$ unter der Voraussetzung $\mathsf{a\ne0}$ nach x um.

Subtrahiere b: $\mathsf{y-b=ax}$ .

Teile durch a: $\mathsf{\frac{y-b}{a}=x}$ .

Vertausche die Seiten: $\mathsf{x=\frac{y-b}{a}}$ .

So geht es am Beispiel

Was gilt in $\mathsf{y=ax+b}$ für a gleich null?

Setze a gleich null: $\mathsf{y=0x+b}$ .

Vereinfache: $\mathsf{y=b}$ .

Ist y gleich b, ist jedes reelle x zulässig. Ist y ungleich b, gibt es kein x.

Erklärung 04

Quadrate, Wurzeln und weitere Umkehrungen

Bei $\mathsf{x^2=c}$ mit c positiv gibt es zwei reelle Lösungen: die positive und die negative Quadratwurzel. Für c gleich null bleibt nur null; für c negativ gibt es keine reelle Lösung. Ist x aufgrund der Situation eine positive Länge, wählst du nur die positive Wurzel. Die Quadratwurzel selbst bezeichnet immer den nichtnegativen Wert. Als begrenzter Ausblick: Bei $\mathsf{q=b^x}$ mit $\mathsf{b>0}$ , $\mathsf{b\ne1}$ und $\mathsf{q>0}$ kann die Zielvariable mit $\mathsf{x=\log_b(q)}$ beschrieben werden. Exponentialfunktionen und Logarithmen behandeln dieses eigene Verfahren ausführlich. Hier werden diese Begriffe nicht als weiteres Rechenverfahren eingeübt.

Kläre zuerst den Wertebereich
Unterscheide eine positive Länge von einer beliebigen reellen Variable.

Wurzelziehen darf keine negative Lösung unbemerkt verlieren.

Links ein Quadrat mit neunundvierzig Quadratzentimetern und positiver Seitenlänge sieben Zentimeter. Rechts hat die freie reelle Gleichung x Quadrat gleich neunundvierzig die beiden Lösungen minus sieben und sieben.

So geht es am Beispiel

Ein Quadrat hat den Flächeninhalt A und die positive Seitenlänge a. Stelle $\mathsf{A=a^2}$ nach a um.

Gegeben sind $\mathsf{A>0}$ und $\mathsf{a>0}$ .

Die positive Seitenlänge ist $\mathsf{a=\sqrt{A}}$ .

Bei $\mathsf{A=49\,\mathsf{cm}^2}$ folgt $\mathsf{a=7\,\mathsf{cm}}$ .

Erklärung 05

Einsetzen und den Zusammenhang prüfen

Setze ein umgestelltes Ergebnis in die ursprüngliche Formel ein. Beachte dabei Einheiten und die ursprünglichen Bedingungen. Eine erfolgreiche Zahlenprobe ist hilfreich, ersetzt bei allgemeinen Formeln aber keine begründete Umformung. Das Thema Terme vereinfachen behandelt das Zusammenfassen und Kürzen von Ausdrücken; beim Formelumstellen steht die Zielvariable im Mittelpunkt.

Setze in die ursprüngliche Formel ein
Prüfe Bedingung und Einheit getrennt vom Zahlenwert.

Eine Formel wird nicht durch Verschieben einzelner Zeichen, sondern durch Operationen auf beiden Seiten umgestellt.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Formel umstellen · 1Stelle $\mathsf{p=q+9}$ nach q um.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Formel für q
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Subtrahiere neun: $\mathsf{p-9=q}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Vertausche die Seiten: $\mathsf{q=p-9}$ .
Ergebnis
1. Formel für q $\mathsf{q=p-9}$
02
Aufgabe 2Formel umstellen · 1Stelle $\mathsf{U=2a+2b}$ für positive Rechteckseiten nach a um.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Formel für a
Bedingung für positives a
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Subtrahiere zwei b: $\mathsf{U-2b=2a}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Teile durch zwei: $\mathsf{\frac{U-2b}{2}=a}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Für eine positive Seite muss $\mathsf{U>2b}$ gelten.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Formel für a $\mathsf{a=\frac{U-2b}{2}}$
2. Bedingung für positives a $\mathsf{U>2b}$
03
Aufgabe 3Formel umstellen · 2Stelle $\mathsf{A=\frac{gh}{2}}$ bei positiver Grundseite g und positiver Höhe h nach h um.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Formel für h
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Multipliziere mit zwei: $\mathsf{2A=gh}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Teile durch die positive Grundseite: $\mathsf{\frac{2A}{g}=h}$ .
Ergebnis
1. Formel für h $\mathsf{h=\frac{2A}{g}}$
04
Aufgabe 4Formel umstellen · 2Stelle $\mathsf{v=\frac{s}{t}}$ bei s und t positiv nach t um. Berechne t für s gleich 150 Meter und v gleich 6 Meter pro Sekunde.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Formel für t
Zeit
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Multipliziere mit t: $\mathsf{vt=s}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Teile durch das positive v: $\mathsf{t=\frac{s}{v}}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Setze ein: $\mathsf{t=\frac{150\,\mathsf{m}}{6\,\mathsf{m/s}}}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Berechne: $\mathsf{t=25\,\mathsf{s}}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Formel für t $\mathsf{t=\frac{s}{v}}$
2. Zeit25 Sekunden
05
Aufgabe 5Formel umstellen · 2Stelle $\mathsf{y=4x-7}$ nach x um. Berechne x für y gleich dreizehn.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Formel für x
Wert von x
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Addiere sieben: $\mathsf{y+7=4x}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Teile durch vier: $\mathsf{x=\frac{y+7}{4}}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Setze ein: $\mathsf{x=\frac{13+7}{4}}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Berechne: $\mathsf{x=5}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Formel für x $\mathsf{x=\frac{y+7}{4}}$
2. Wert von x5
06
Aufgabe 6Formel umstellen · 3Stelle $\mathsf{y=ax+b}$ nach x um. Gib die Formel für a ungleich null an. Nenne außerdem die Lösungsmenge für a gleich null und y gleich b sowie für a gleich null und y ungleich b. Grundmenge ist die Menge der reellen Zahlen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Formel bei a ungleich null
Lösungsmenge bei a gleich null und y gleich b
Lösungsmenge bei a gleich null und y ungleich b
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Subtrahiere b: $\mathsf{y-b=ax}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Für $\mathsf{a\ne0}$ teile durch a: $\mathsf{x=\frac{y-b}{a}}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Für $\mathsf{a=0}$ bleibt $\mathsf{y=b}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Diese Aussage ist entweder unabhängig von x wahr oder unabhängig von x falsch.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Formel bei a ungleich null $\mathsf{x=\frac{y-b}{a}}$
2. Lösungsmenge bei a gleich null und y gleich b $\mathsf{L=\mathbb{R}}$
3. Lösungsmenge bei a gleich null und y ungleich b $\mathsf{L=\varnothing}$
07
Aufgabe 7Formel umstellen · 3Stelle $\mathsf{z=\frac{a}{x-2}}$ unter den Voraussetzungen a ungleich null und z ungleich null nach x um. Nenne zusätzlich den ursprünglich ausgeschlossenen Wert für x.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Formel für x
Ursprünglich ausgeschlossener Wert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der ursprüngliche Nenner verlangt $\mathsf{x\ne2}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Multipliziere mit dem zulässigen Nenner: $\mathsf{z(x-2)=a}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Teile durch z: $\mathsf{x-2=\frac{a}{z}}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Addiere zwei: $\mathsf{x=2+\frac{a}{z}}$ .
5. Schritt 5 · Erklärung
  Wegen $\mathsf{a\ne0}$ und $\mathsf{z\ne0}$ ist der erhaltene Wert nicht zwei.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Formel für x $\mathsf{x=2+\frac{a}{z}}$
2. Ursprünglich ausgeschlossener Wert2
08
Aufgabe 8Formel umstellen · 2Ein Quadrat hat positive Seitenlänge a und Flächeninhalt 81 Quadratzentimeter. Stelle die Flächenformel nach a um und bestimme die Seitenlänge.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Formel für a
Seitenlänge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Aus $\mathsf{A=a^2}$ folgt wegen $\mathsf{a>0}$ die Formel $\mathsf{a=\sqrt{A}}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Setze ein: $\mathsf{a=\sqrt{81\,\mathsf{cm}^2}}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Berechne: $\mathsf{a=9\,\mathsf{cm}}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Formel für a $\mathsf{a=\sqrt{A}}$
2. Seitenlänge9 Zentimeter
09
Aufgabe 9Formel umstellen · 3Eine Person folgert aus $\mathsf{x^2=36}$ ausschließlich $\mathsf{x=6}$ . Ist das über den reellen Zahlen vollständig? Nenne die vollständige Lösungsmenge und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vollständig?
Vollständige Lösungsmenge
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die positive Lösung erfüllt $\mathsf{6^2=36}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Auch die negative Lösung erfüllt $\mathsf{(-6)^2=36}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Vollständig?Nein
2. Vollständige Lösungsmenge $\mathsf{L=\{-6;6\}}$
3. BegründungPositive und negative Zahlen mit Betrag sechs haben dasselbe Quadrat. Ohne positive Längenvorgabe müssen beide Lösungen erhalten bleiben.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich nenne die zulässigen Werte vor dem Teilen.
Ich begründe jede Operation auf beiden Seiten.
Ich erhalte alle Lösungen und ursprünglichen Bedingungen.

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