Dreieck Aufbau · Erklären & üben

Ankathete, Gegenkathete, Hypotenuse

Im rechtwinkligen Dreieck bleibt die Hypotenuse fest. Ankathete und Gegenkathete hängen davon ab, welchen spitzen Winkel du betrachtest.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Zuerst den rechten Winkel finden

Die Hypotenuse liegt gegenüber dem rechten Winkel und ist die längste Seite. Die beiden anderen Seiten heißen Katheten. Hier liegt der rechte Winkel bei C; daher ist AB die Hypotenuse c.

Markiere den rechten Winkel.
Suche die gegenüberliegende Seite.

$\mathsf{c=|AB|}$

C ist rechtwinklig. a gegenüber α, b an α, c gegenüber C.

Erklärung 02

Vom Bezugswinkel aus schauen

Bezüglich des spitzen Winkels α bei A liegt die Gegenkathete a gegenüber. Die Ankathete b berührt α und ist eine Kathete. Auch die Hypotenuse berührt α, zählt aber niemals als Ankathete.

Wähle den Bezugswinkel.
Schließe die Hypotenuse aus.
Unterscheide anliegende und gegenüberliegende Kathete.

Bezüglich α: Ankathete b, Gegenkathete a.

So geht es am Beispiel

Im Dreieck gilt AC = 8 cm, BC = 6 cm und AB = 10 cm; C ist rechtwinklig. Ordne bezüglich A zu.

AB liegt gegenüber C: Hypotenuse.

AC berührt A und ist Kathete; BC liegt gegenüber A.

Erklärung 03

Ein anderer Winkel, dieselben Seiten

Wechselst du von α bei A zu β bei B, tauschen die beiden Katheten ihre Rollen. Die Hypotenuse bleibt c.

Betrachte jetzt B.
Benenne die anliegende Kathete BC.

Bezüglich β: Ankathete a, Gegenkathete b.

Dieselbe Figur mit β: a ist Ankathete, b Gegenkathete.

Erklärung 04

Von den Namen zur Rechnung

Im Thema Hypotenuse berechnen nutzt du zwei Katheten im Satz des Pythagoras oder eine Kathete mit Bezugswinkel. Die Begriffe An- und Gegenkathete werden hier nur im rechtwinkligen Dreieck zu einem spitzen Winkel verwendet.

Prüfe den rechten Winkel.
Ordne erst zu, rechne danach.

$\mathsf{\sin\alpha=\frac{a}{c},\qquad\cos\alpha=\frac{b}{c}}$

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Ankathete, Gegenkathete, Hypotenuse · AnwendenC ist rechtwinklig; α liegt bei A. Welche Seite ist die Hypotenuse?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Hypotenuse
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die gegenüber C liegende Seite ist AB.
Ergebnis
1. HypotenuseAB
02
Aufgabe 2Ankathete, Gegenkathete, Hypotenuse · AnwendenC ist rechtwinklig; β liegt bei B. Welche Seite ist die Ankathete zu β?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ankathete
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  BC berührt β und ist keine Hypotenuse.
Ergebnis
1. AnkatheteBC
03
Aufgabe 3Ankathete, Gegenkathete, Hypotenuse · AnwendenC ist rechtwinklig; β liegt bei B. AC = 12 cm, BC = 5 cm, AB = 13 cm. Gib Gegenkathete und Hypotenusenlänge an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gegenkathete
Hypotenusenlänge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  AC liegt gegenüber B; AB liegt gegenüber dem rechten Winkel.
Ergebnisse & Teilantworten
1. GegenkatheteAC
2. Hypotenusenlänge13 cm
04
Aufgabe 4Ankathete, Gegenkathete, Hypotenuse · AnwendenBeschrifte die Vorlage bezüglich α: a = Gegenkathete, b = Ankathete und c = Hypotenuse.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Seitenzuordnung
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Seitenzuordnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  α liegt bei A; die linke Kathete liegt gegenüber A.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die untere Kathete berührt A; die schräge Seite liegt gegenüber C.
Ergebnis
1. Seitenzuordnunga an BC, b an CA, c an AB.
05
Aufgabe 5Ankathete, Gegenkathete, Hypotenuse · AnwendenJemand sagt: Wenn ich von α zu β wechsle, wird die Hypotenuse zur Gegenkathete. Korrigiere die Aussage.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Korrektur
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der rechte Winkel und seine Gegenseite ändern sich nicht.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Nur die beiden Katheten wechseln ihre Rollen.
Ergebnis
1. KorrekturDie Hypotenuse bleibt AB; Ankathete und Gegenkathete tauschen die Rollen.
06
Aufgabe 6Ankathete, Gegenkathete, Hypotenuse · AnwendenEin Dreieck hat Winkel 50°, 60° und 70°. Darf seine längste Seite Hypotenuse heißen?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Keiner der Winkel beträgt 90°.
Ergebnis
1. BegründungNein. Eine Hypotenuse gibt es nur im rechtwinkligen Dreieck.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich prüfe die Voraussetzungen vor jeder Rechnung.
Ich kann die Zeichnung und meine Begründung vergleichen.

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