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Dreieck Aufbau · Erklären & üben

Höhen- und Kathetensatz

Die Höhe auf die Hypotenuse zerlegt ein rechtwinkliges Dreieck in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke. Daraus entstehen drei zusammengehörige Rechenregeln.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Ein Bild, feste Bezeichnungen

C ist der rechte Winkel. Das Lot von C trifft AB in D. Wir setzen AD = p, DB = q, CD = h, AC = b, BC = a und AB = c. p gehört hier zu b, q zu a. Andere Bücher können p und q vertauscht benennen.

  1. Markiere die Hypotenuse AB.

  2. Zeichne die Höhe CD.

  3. Lies die Abschnitte an ihren Endpunkten ab.

c=p+q\mathsf{c=p+q}

Rechter Winkel C, D Lotfuß, AD=p, DB=q, CD=h, AC=b und BC=a.

Erklärung 02

Die Höhe aus zwei Abschnitten

Der Höhensatz verbindet die Höhe mit den beiden Hypotenusenabschnitten. Für Längen nimmst du die positive Wurzel.

  1. Multipliziere p und q.

  2. Ziehe die Wurzel.

h2=pq\mathsf{h^2=pq}

Rechteck 4 mal 9 und Quadrat 6 mal 6 haben denselben Flächeninhalt.

So geht es am Beispiel

Die Abschnitte sind 4 cm und 9 cm. Berechne h.

h2=4⋅9=36 cm2\mathsf{h^2=4\cdot9=36\,\mathsf{cm}^2}
h=6 cm\mathsf{h=6\,\mathsf{cm}}

Ergebnis

Die Höhe beträgt 6 cm.

Erklärung 03

Eine Kathete und ihre Projektion

Der Kathetensatz multipliziert die ganze Hypotenuse mit der Projektion der gesuchten Kathete. Die Projektion von AC ist AD; die Projektion von BC ist BD.

  1. Finde den zur Kathete gehörenden Abschnitt.

  2. Multipliziere mit der ganzen Hypotenuse.

  3. Ziehe die positive Wurzel.

b2=cp,a2=cq\mathsf{b^2=cp,\qquad a^2=cq}

So geht es am Beispiel

c = 25 cm und p = 9 cm. Berechne beide Katheten.

q=25−9=16 cm\mathsf{q=25-9=16\,\mathsf{cm}}
b=25⋅9=15 cm\mathsf{b=\sqrt{25\cdot9}=15\,\mathsf{cm}}
a=25⋅16=20 cm\mathsf{a=\sqrt{25\cdot16}=20\,\mathsf{cm}}

Ergebnis

b beträgt 15 cm, a beträgt 20 cm.

Erklärung 04

Warum die Sätze gelten

Voraussetzung für diese Vertiefung: Ähnlichkeit über gleiche Winkel. Die Dreiecke ADC, CDB und ACB sind ähnlich: jedes hat einen rechten Winkel; ihre spitzen Winkel stimmen paarweise überein. Vergleiche jeweils entsprechende Seiten.

  1. ADC und CDB liefern p/h = h/q.

  2. ADC und ACB liefern p/b = b/c.

  3. CDB und ACB liefern q/a = a/c.

ph=hq⇒h2=pq\mathsf{\frac{p}{h}=\frac{h}{q}\Rightarrow h^2=pq}

So geht es am Beispiel

Leite den Kathetensatz für b aus dem Seitenverhältnis ab.

pb=bc\mathsf{\frac{p}{b}=\frac{b}{c}}

Multipliziere beide Seiten mit bc.

cp=b2\mathsf{cp=b^2}

Ergebnis

Die Projektion p gehört zu b.

Erklärung 05

Den passenden Satz auswählen

Zwei Abschnitte und gesuchte Höhe: Höhensatz. Ganze Hypotenuse und zugehöriger Abschnitt: Kathetensatz. Zwei Katheten und gesuchte Hypotenuse: Pythagoras. Die Einzelthemen Höhensatz und Kathetensatz üben das Umstellen und geometrische Konstruktionen.

  1. Notiere gegeben und gesucht.

  2. Wähle die Formel ohne unnötige Unbekannte.

a2+b2=cq+cp=c(p+q)=c2\mathsf{a^2+b^2=cq+cp=c(p+q)=c^2}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Höhen- und Kathetensatz · AnwendenGegeben sind p und q, gesucht ist h. Nenne die passende Formel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Die Höhe verbindet beide Abschnitte.

    Ergebnis

    1. Formelh=pq\mathsf{h=\sqrt{pq}}
  2. Aufgabe 2Höhen- und Kathetensatz · Anwendenp = 9 cm und q = 16 cm. Berechne h und c.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      h=9⋅16=12 cm\mathsf{h=\sqrt{9\cdot16}=12\,\mathsf{cm}}
      c=9+16=25 cm\mathsf{c=9+16=25\,\mathsf{cm}}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Höhe12 cm\mathsf{12\,\mathsf{cm}}
    2. Hypotenuse25 cm\mathsf{25\,\mathsf{cm}}
  3. Aufgabe 3Höhen- und Kathetensatz · Anwendenc = 20 cm und p = 5 cm. Berechne b.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      p ist die Projektion von b.

      b=20⋅5=10 cm\mathsf{b=\sqrt{20\cdot5}=10\,\mathsf{cm}}

    Ergebnis

    1. Kathete b10 cm\mathsf{10\,\mathsf{cm}}
  4. Aufgabe 4Höhen- und Kathetensatz · AnwendenErgänze in der Vorlage p an AD, q an DB, h an CD sowie a an BC und b an AC.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Beschriftung

    Leere Beschriftungsvorlage mit ABC, Lot CD und rechtem Winkel.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Die ganze Strecke AB ist c.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Der Abschnitt an derselben Hypotenusenecke gehört zur dort anliegenden Kathete.

    Ergebnis

    1. Beschriftungp: AD; q: DB; h: CD; a: BC; b: AC.
  5. Aufgabe 5Höhen- und Kathetensatz · Anwendenh = 10 cm und p = 4 cm. Berechne q.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      q=h2p=1004=25 cm\mathsf{q=\frac{h^2}{p}=\frac{100}{4}=25\,\mathsf{cm}}

    Ergebnis

    1. Abschnitt q25 cm\mathsf{25\,\mathsf{cm}}
  6. Aufgabe 6Höhen- und Kathetensatz · AnwendenBegründe mit beiden Kathetensätzen, warum die Summe der Kathetenquadrate gleich c² ist.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      a2+b2=cq+cp=c(q+p)\mathsf{a^2+b^2=cq+cp=c(q+p)}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die Abschnitte ergeben zusammen c.

      a2+b2=c2\mathsf{a^2+b^2=c^2}

    Ergebnis

    1. Begründungcq+cp=c(p+q)=c2\mathsf{cq+cp=c(p+q)=c^2}

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich prüfe die Voraussetzungen vor jeder Rechnung.
  • Ich kann die Zeichnung und meine Begründung vergleichen.

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