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Zuordnungen · Erklären & üben

Antiproportionale Zuordnung

Bei einer antiproportionalen Zuordnung bleibt das Produkt der beiden Größen gleich. Wird eine Größe mit einem Faktor vervielfacht, wird die andere durch denselben Faktor geteilt. Man spricht auch von indirekter Proportionalität.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Das Produkt bleibt konstant

Eine antiproportionale Zuordnung hat die Form xy=k\mathsf{xy=k} beziehungsweise y=kx\mathsf{y=\frac{k}{x}} mit x ≠ 0. Wir betrachten den üblichen nichttrivialen Fall k ≠ 0. Bei positiven Sachgrößen ist k positiv.

Verdoppelt sich x, halbiert sich y. Verdreifacht sich x, wird y gedrittelt. „Mehr führt zu weniger“ allein genügt aber nicht: Das Produkt muss konstant bleiben.

So geht es am Beispiel

Die Zahlenpaare lauten (2 | 12), (3 | 8) und (6 | 4). Prüfe sie.

2⋅12=24\mathsf{2\cdot12=24}
3⋅8=24\mathsf{3\cdot8=24}
6⋅4=24\mathsf{6\cdot4=24}

Alle angegebenen Produkte sind gleich.

Ergebnis

k=24,y=24/x\mathsf{k=24,\quad y=24/x}

Erklärung 02

Aus einem Wertepaar weiterrechnen

Ist das antiproportionale Modell vorgegeben, bestimmst du k durch Multiplikation eines bekannten Wertepaares. Danach berechnest du jede weitere Ausgabe mit k/x.

Ohne die Modellannahme beweist ein einziges Wertepaar noch keine Antiproportionalität. Mehrere Tabellenpaare können das Modell widerlegen oder mit ihm vereinbar sein.

So geht es am Beispiel

Eine feste Arbeitsmenge benötigt mit 3 gleich leistungsfähigen Maschinen 8 Stunden. Im idealisierten Modell arbeiten alle ohne gegenseitige Behinderung. Wie lange brauchen 6 Maschinen?

k=3⋅8=24\mathsf{k=3\cdot8=24} — Maschinenstunden.

t=24/6\mathsf{t=24/6} — durch die neue Maschinenzahl teilen.

t=4\mathsf{t=4} — Stunden.

6⋅4=24\mathsf{6\cdot4=24} — Produktprobe.

Ergebnis

6 Maschinen benötigen in diesem Modell 4 Stunden.

Erklärung 03

Der Sachbereich ist Teil des Modells

Im reinen Funktionsterm y = k/x sind alle reellen x außer 0 zulässig. In einer Aufgabe können nur positive Werte oder sogar nur positive ganze Zahlen sinnvoll sein.

Eine Maschinenzahl ist ganzzahlig und kann durch verfügbare Plätze begrenzt sein. Die Annahme gleicher Leistung und gleichbleibender Arbeit muss passen. Zusätzliche Maschinen verkürzen die Zeit nicht automatisch nach dieser Regel, wenn Wartezeiten oder Engpässe entstehen.

Die Einheit von k ist das Produkt der Einheiten von x und y. Bei Geschwindigkeit in km/h und Zeit in h ist k eine Strecke in km.

Erklärung 04

Hyperbel statt Gerade

Der Graph y = k/x ist für k ≠ 0 eine Hyperbel. Bei k > 0 liegen seine Äste im ersten und dritten Quadranten. In positiven Sachaufgaben ist meist nur der erste Ast relevant.

Der Graph erreicht weder x = 0 noch y = 0. Die beiden Äste dürfen nicht über die Definitionslücke verbunden werden. Bei ganzzahligen Eingaben gehören nur einzelne Punkte zum Sachmodell.

Positiver Ast der Hyperbel y = 6/x mit vier beschrifteten Punkten. Die Achsen werden nicht erreicht.

Erklärung 05

Eine feste Strecke als Beispiel

Für eine feste Strecke s und konstante Geschwindigkeit v > 0 gilt t = s/v. Die Zeit ist antiproportional zur Geschwindigkeit, solange dieselbe Strecke und passende Einheiten verwendet werden.

So geht es am Beispiel

Für 180 km wird mit 60 km/h gefahren. Bestimme die Zeit und anschließend die Zeit bei 90 km/h.

t1=180/60=3\mathsf{t_1=180/60=3} — Stunden.

t2=180/90=2\mathsf{t_2=180/90=2} — Stunden.

60⋅3=180\mathsf{60\cdot3=180}
90⋅2=180\mathsf{90\cdot2=180}

Ergebnis

3 h beziehungsweise 2 h. Das konstante Produkt ist die Strecke 180 km.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Antiproportionale Zuordnung · EinstiegPrüfe die Paare (1 | 18), (2 | 9), (3 | 6) auf ein konstantes Produkt und gib ein passendes antiproportionales Modell an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      1⋅18=18\mathsf{1\cdot18=18}
      2⋅9=18\mathsf{2\cdot9=18}
      3⋅6=18\mathsf{3\cdot6=18}

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebnisy=18/x,xe0\mathsf{y=18/x,\quad x e0}
  2. Aufgabe 2Antiproportionale Zuordnung · EinstiegEin antiproportionales Modell enthält (4 | 15). Berechne y für x = 10.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      k=4⋅15=60\mathsf{k=4\cdot15=60}
      y=60/10=6\mathsf{y=60/10=6}
      10⋅6=60\mathsf{10\cdot6=60}

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebnisy=6\mathsf{y=6}
  3. Aufgabe 3Antiproportionale Zuordnung · StandardErgänze für y = 24/x die Werte zu x = 1, 2, 3, 4, 6, 8.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      24/1=24\mathsf{24/1=24}
      24/2=12\mathsf{24/2=12}
      24/3=8\mathsf{24/3=8}
      24/4=6\mathsf{24/4=6}
      24/6=4\mathsf{24/6=4}
      24/8=3\mathsf{24/8=3}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisAusgaben: 24; 12; 8; 6; 4; 3.
  4. Aufgabe 4Antiproportionale Zuordnung · StandardSind die Paare (1 | 10), (2 | 8), (4 | 4) antiproportional? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      1⋅10=10\mathsf{1\cdot10=10}
      2⋅8=16\mathsf{2\cdot8=16}
      4⋅4=16\mathsf{4\cdot4=16}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisNein. Die Werte fallen zwar, aber das Produkt ist nicht durchgehend konstant.
  5. Aufgabe 5Antiproportionale Zuordnung · StandardVier gleich leistungsfähige Pumpen leeren im idealisierten Modell ein Becken in 6 h. Wie lange brauchen drei Pumpen? Nenne k mit Einheit.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      k=4⋅6=24\mathsf{k=4\cdot6=24} — Pumpenstunden.

      t=24/3=8\mathsf{t=24/3=8}
      3⋅8=24\mathsf{3\cdot8=24}

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebnis8 h; k = 24 Pumpenstunden.
  6. Aufgabe 6Antiproportionale Zuordnung · StandardEine Strecke ist 150 km lang. Berechne die Fahrzeit bei konstant 50 km/h und bei 75 km/h.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      t1=150/50=3\mathsf{t_1=150/50=3}
      t2=150/75=2\mathsf{t_2=150/75=2}
      50⋅3=150\mathsf{50\cdot3=150}
      75⋅2=150\mathsf{75\cdot2=150}

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebnis3 h und 2 h; konstantes Produkt 150 km.
  7. Aufgabe 7Antiproportionale Zuordnung · StandardBei einer antiproportionalen Zuordnung wird x mit 5 multipliziert. Wie ändert sich y? Begründe mit k.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      y=kx\mathsf{y=\frac{k}{x}}
      yneu=k5x\mathsf{y_{neu}=\frac{k}{5x}}
      yneu=15y\mathsf{y_{neu}=\frac15y}

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebnisy wird durch 5 geteilt.
  8. Aufgabe 8Antiproportionale Zuordnung · VertiefungZeichne y = 6/x für positive x in das vorbereitete System. Nutze x = 1, 2, 3 und 6. Erkläre, weshalb (0 | 0) nicht dazugehört.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Leeres beschriftetes Koordinatensystem von 0 bis 7 auf beiden Achsen zum Eintragen der berechneten Punkte.

    Rechnung und Ergebnis

    Leeres beschriftetes Koordinatensystem von 0 bis 7 auf beiden Achsen zum Eintragen der berechneten Punkte.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      y(1)=6\mathsf{y(1)=6}
      y(2)=3\mathsf{y(2)=3}
      y(3)=2\mathsf{y(3)=2}
      y(6)=1\mathsf{y(6)=1}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die Punkte durch einen passenden glatten Hyperbelast verbinden. Bei x = 0 ist die Division nicht definiert.

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisPunkte: (1 | 6), (2 | 3), (3 | 2), (6 | 1). Die Achsen werden nicht erreicht.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich prüfe das Produkt statt nur eine fallende Tendenz.
  • Ich berechne k mit seiner Einheit.
  • Ich beachte den Sachbereich und schließe x = 0 aus.

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