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Zuordnungen · Erklären & üben

Proportionalitätsfaktor

Der Proportionalitätsfaktor beschreibt, wie viele Einheiten der Ausgabe auf eine Einheit der Eingabe kommen. Er ist der feste Multiplikator in einer proportionalen Zuordnung.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Der konstante Quotient

Bei y = kx heißt k Proportionalitätsfaktor. Für jedes Wertepaar mit x ≠ 0 gilt k=yx\mathsf{k=\frac{y}{x}}. Um das Modell an mehreren Wertepaaren zu prüfen, müssen alle diese Quotienten übereinstimmen.

Die Einheit von k ist „Einheit von y je Einheit von x“. Bei Masse in kg und Preis in Euro hat k die Einheit Euro/kg. Bei Strecke in km und Zeit in h ist k eine Geschwindigkeit in km/h.

So geht es am Beispiel

2,5 kg einer Ware kosten bei konstantem Kilopreis 7,50 Euro. Bestimme den Faktor.

k=7,50/2,5\mathsf{k=7{,}50/2{,}5}

k=3\mathsf{k=3} — Euro je kg.

p(m)=3m\mathsf{p(m)=3m} — Preis in Euro für Masse m in kg.

p(2,5)=7,50\mathsf{p(2{,}5)=7{,}50} — Probe.

Ergebnis

Der Proportionalitätsfaktor ist 3 Euro/kg.

Erklärung 02

Mit dem Faktor fehlende Werte berechnen

Ist x gegeben, berechnest du y = kx. Ist y gegeben und k ≠ 0, berechnest du x = y/k. Die Richtung der Zuordnung bestimmt, welcher Quotient gebraucht wird.

Bei einem umgekehrten Zusammenhang von y zu x ist der Faktor 1/k, sofern k ≠ 0. Die Einheit wird ebenfalls umgekehrt.

So geht es am Beispiel

Ein Drucker produziert idealisiert 18 Seiten je Minute. Wie viele Seiten schafft er in 4 min? Wie lange braucht er für 90 Seiten?

N=18⋅4=72\mathsf{N=18\cdot4=72} — Seiten.

t=90/18=5\mathsf{t=90/18=5} — Minuten.

18⋅5=90\mathsf{18\cdot5=90} — Probe.

Ergebnis

72 Seiten in 4 min; 90 Seiten in 5 min. Anlaufzeiten sind im Modell nicht berücksichtigt.

Erklärung 03

Die Gerade muss durch den Ursprung gehen

Der Graph y = kx ist eine Gerade durch (0 | 0). Ein zusätzlicher fester Betrag b in y = kx+b mit b ≠ 0 macht die Zuordnung nichtproportional.

Der Punkt (0 | 0) passt zu jedem proportionalen Modell, bestimmt k aber nicht: Der Quotient 0/0 ist nicht definiert. Mindestens ein Wertepaar mit x ≠ 0 wird benötigt.

Ursprungsgerade y = 3x mit beschrifteten Punkten; der Quotient y/x ist für x ungleich 0 stets 3.

So geht es am Beispiel

Ein Tarif kostet 5 Euro Grundpreis und 2 Euro je Stunde. Ist 2 Euro/h der Proportionalitätsfaktor des gesamten Preises?

K(t)=2t+5\mathsf{K(t)=2t+5}
K(1)=7\mathsf{K(1)=7}
K(2)=9\mathsf{K(2)=9}
7/1=7\mathsf{7/1=7}
9/2=4,5\mathsf{9/2=4{,}5}

Ergebnis

Nein. 2 Euro/h ist der variable Stundensatz; der Gesamtpreis ist wegen der Grundgebühr nicht proportional zur Zeit.

Erklärung 04

Nicht mit dem antiproportionalen Produkt verwechseln

Proportional: y = kx und y/x = k. Antiproportional: y = c/x und xy = c. Die konstanten Größen haben verschiedene Bedeutungen und normalerweise verschiedene Einheiten.

Beispiel: Bei konstantem Kilopreis ist Preis/Masse konstant. Bei einer festen Strecke ist dagegen Geschwindigkeit·Zeit konstant. Beides darf nicht mit derselben Rechenregel behandelt werden.

Zwei Tabellen vergleichen y = 3x mit konstantem Quotienten 3 und y = 12/x mit konstantem Produkt 12.

Erklärung 05

Einheiten vor der Rechnung abstimmen

Rechne alle Eingaben in dieselbe Einheit um, bevor du Quotienten vergleichst. Ein Faktor in Euro/kg besitzt einen anderen Zahlenwert als derselbe Preis in Euro/g.

Ein negatives k ist mathematisch möglich: Dann fällt die Ursprungsgerade. In vielen Mengen-Preis-Aufgaben sind x, y und k jedoch nichtnegativ. Ein Sachbereich kann außerdem nur ganze Stückzahlen erlauben.

So geht es am Beispiel

Ein Preis beträgt 4 Euro je kg. Welcher Faktor gilt für eine Masse in Gramm?

1 kg=1000 g\mathsf{1\,\mathsf{kg}=1000\,\mathsf{g}}
k=4/1000\mathsf{k=4/1000}

k=0,004\mathsf{k=0{,}004} — Euro je Gramm.

p(250)=0,004⋅250=1\mathsf{p(250)=0{,}004\cdot250=1} — Euro.

Ergebnis

Der Faktor ist 0,004 Euro/g; 250 g kosten 1 Euro.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Proportionalitätsfaktor · EinstiegEine proportionale Zuordnung enthält (3 | 12). Bestimme k und die Gleichung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      k=12/3=4\mathsf{k=12/3=4}
      y=4x\mathsf{y=4x}
      4⋅3=12\mathsf{4\cdot3=12}

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebnisk=4,y=4x\mathsf{k=4,\quad y=4x}
  2. Aufgabe 2Proportionalitätsfaktor · Einstieg5 Liter Farbe kosten 32,50 Euro ohne Grundpreis oder Rabatt. Bestimme den Faktor und den Preis für 8 Liter.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      k=32,50/5=6,50\mathsf{k=32{,}50/5=6{,}50}
      p(8)=6,50⋅8=52\mathsf{p(8)=6{,}50\cdot8=52}

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebnis6,50 Euro/Liter; 8 Liter kosten 52 Euro.
  3. Aufgabe 3Proportionalitätsfaktor · StandardPrüfe die Paare (2 | 7), (4 | 14), (6 | 21) auf Proportionalität.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      7/2=3,5\mathsf{7/2=3{,}5}
      14/4=3,5\mathsf{14/4=3{,}5}
      21/6=3,5\mathsf{21/6=3{,}5}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisAlle Paare passen zu y = 3,5x; k = 3,5.
  4. Aufgabe 4Proportionalitätsfaktor · StandardPrüfe die Paare (1 | 4), (2 | 7), (3 | 10).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      4/1=4\mathsf{4/1=4}
      7/2=3,5\mathsf{7/2=3{,}5}
      10/3e4\mathsf{10/3 e4}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisNicht proportional. Gleiche Zuwächse allein genügen nicht; die Quotienten sind verschieden.
  5. Aufgabe 5Proportionalitätsfaktor · StandardEin proportionaler Preis beträgt 2,40 Euro je kg. Welche Masse kostet 18 Euro?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      18=2,40m\mathsf{18=2{,}40m}
      m=18/2,40\mathsf{m=18/2{,}40}
      m=7,5\mathsf{m=7{,}5}
      2,40⋅7,5=18\mathsf{2{,}40\cdot7{,}5=18}

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebnis7,5 kg.
  6. Aufgabe 6Proportionalitätsfaktor · StandardBei konstanter Geschwindigkeit werden in 2 h genau 150 km zurückgelegt. Bestimme den Faktor für die Zuordnung Zeit → Strecke und gib seine Einheit an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      k=150/2=75\mathsf{k=150/2=75}
      s(t)=75t\mathsf{s(t)=75t}
      s(2)=150\mathsf{s(2)=150}

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebnis75 km/h. Bei der umgekehrten Zuordnung Strecke → Zeit wäre der Faktor 1/75 h/km.
  7. Aufgabe 7Proportionalitätsfaktor · StandardEine Tabelle enthält (2 | 12), (3 | 8), (6 | 4). Ist y/x oder xy konstant? Ordne das Modell ein.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      12/2=6\mathsf{12/2=6}
      8/3≠6\mathsf{8/3\ne6}
      2⋅12=24\mathsf{2\cdot12=24}
      3⋅8=24\mathsf{3\cdot8=24}
      6⋅4=24\mathsf{6\cdot4=24}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisDas Produkt ist konstant: antiproportional y = 24/x. Kein gemeinsamer proportionaler Faktor y/x.
  8. Aufgabe 8Proportionalitätsfaktor · VertiefungEin Kilopreis ist 5 Euro/kg. Gib den Faktor in Euro/g an und berechne den Preis für 600 g.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      k=5/1000=0,005\mathsf{k=5/1000=0{,}005}
      p=0,005⋅600\mathsf{p=0{,}005\cdot600}
      p=3\mathsf{p=3}

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebnis0,005 Euro/g; 600 g kosten 3 Euro.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich berechne den Quotienten in der richtigen Richtung.
  • Ich nenne die Einheit des Faktors.
  • Ich prüfe mehrere Paare und beachte eine mögliche Grundgebühr.
  • Ich unterscheide konstanten Quotienten und konstantes Produkt.

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