Trigonometrie vertiefen · Erklären & üben

Arcustangens

Der Arcustangens ordnet einem Tangenswert genau einen ausgewählten Winkel zu. Dieser Hauptwert liegt zwischen −π/2 und π/2. Für alle Winkel einer Tangensgleichung muss zusätzlich die Periodizität berücksichtigt werden.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Tangens auf einem eindeutigen Bereich umkehren

Der Tangens ist auf $\mathsf{(-\pi/2,\pi/2)}$ streng steigend und nimmt dort jeden reellen Wert genau einmal an. Seine Umkehrfunktion auf diesem eingeschränkten Bereich heißt Arcustangens.

\mathsf{y=\operatorname{\textsf{arctan}}x\quad\Longleftrightarrow\quad\operatorname{\textsf{tan}}y=x\textsf{ und }-\pi/2<y<\pi/2}

Der Definitionsbereich ist $\mathsf{\mathbb R}$ , der Wertebereich $\mathsf{(-\pi/2,\pi/2)}$ . Die Randwerte werden nicht angenommen. In Grad liegt der Hauptwert zwischen −90° und 90°.

Erklärung 02

Bekannte Werte und Graph

\mathsf{\operatorname{\textsf{arctan}}0=0}

\mathsf{\operatorname{\textsf{arctan}}1=\pi/4}

\mathsf{\operatorname{\textsf{arctan}}(-1)=-\pi/4}

\mathsf{\operatorname{\textsf{arctan}}(\sqrt3)=\pi/3}

Der Graph steigt, ist punktsymmetrisch zum Ursprung und nähert sich den waagerechten Geraden $\mathsf{y=\pm\pi/2}$ . Für endliche Eingaben erreicht er sie nicht.

Arcustangensgraph mit offenen Grenzwerten ±π/2 und markiertem Wert bei 1.

So geht es am Beispiel

Bestimme $\mathsf{\operatorname{\textsf{arctan}}(1/\sqrt3)}$ .

\mathsf{\operatorname{\textsf{tan}}(\pi/6)=1/\sqrt3}

\mathsf{\pi/6\in(-\pi/2,\pi/2)}

Erklärung 03

Hauptwert und alle Lösungen unterscheiden

Der Tangens hat die Periode π. Deshalb lautet die vollständige Lösung von $\mathsf{\operatorname{\textsf{tan}}x=c}$ :

\mathsf{x=\operatorname{\textsf{arctan}}c+k\pi,\quad k\in\mathbb Z}

Der Arcustangens selbst ist nicht periodisch. Er gibt nur den einen Hauptwert zurück.

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{\operatorname{\textsf{tan}}x=1}$ im Intervall $\mathsf{[0,2\pi)}$ .

\mathsf{x=\pi/4+k\pi}

Für k = 0: $\mathsf{x=\pi/4}$ .

Für k = 1: $\mathsf{x=5\pi/4}$ .

Andere ganze k liegen außerhalb des Intervalls.

Erklärung 04

Taschenrechner und Winkel aus Verhältnissen

Für Näherungswerte muss der Winkelmodus passen: RAD liefert Bogenmaß, DEG Gradmaß. Eine als tan⁻¹ beschriftete Taste bezeichnet häufig den Arcustangens, nicht den Kehrwert.

Im rechtwinkligen Dreieck gilt für einen spitzen Winkel $\mathsf{\operatorname{\textsf{tan}}\alpha=\textsf{Gegenkathete}/\textsf{Ankathete}}$ . Dann ergibt der Arcustangens direkt den passenden spitzen Winkel. Bei allgemeinen Punkten muss dagegen der Quadrant zusätzlich berücksichtigt werden.

Rechtwinkliges Dreieck mit Ankathete 4 cm, Gegenkathete 3 cm und gesuchtem spitzen Winkel.

So geht es am Beispiel

Ein rechtwinkliges Dreieck hat zum Winkel α Gegenkathete 3 cm und Ankathete 4 cm. Berechne α.

\mathsf{\operatorname{\textsf{tan}}\alpha=3/4}

\mathsf{\alpha=\operatorname{\textsf{arctan}}(3/4)}

\mathsf{\alpha\approx0{,}6435\,\mathsf{rad}}

\mathsf{\alpha\approx36{,}87^\circ}

Erklärung 05

Umkehrung und Ableitung korrekt verwenden

Für jedes reelle x gilt $\mathsf{\operatorname{\textsf{tan}}(\operatorname{\textsf{arctan}}x)=x}$ . Dagegen gilt $\mathsf{\operatorname{\textsf{arctan}}(\operatorname{\textsf{tan}}y)=y}$ nur für $\mathsf{y\in(-\pi/2,\pi/2)}$ . Außerhalb wird ein gleichwertiger Hauptwinkel zurückgegeben.

Im Bogenmaß lautet die Ableitung $\mathsf{\frac{d}{dx}\operatorname{\textsf{arctan}}x=1/(1+x^2)}$ . Sie ist stets positiv, passend zum steigenden Graphen.

Für kleine Beträge von x ist $\mathsf{\operatorname{\textsf{arctan}}x\approx x}$ eine lokale Näherung. Sie ersetzt für größere Eingaben keine genaue Berechnung.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Arcustangens · EinstiegGib Definitionsbereich und Wertebereich des Arcustangens an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Jede reelle Eingabe ist erlaubt.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Der ausgewählte Winkel liegt strikt zwischen −π/2 und π/2.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{D=\mathbb R}$ , $\mathsf{W=(-\pi/2,\pi/2)}$ .
02
Aufgabe 2Arcustangens · EinstiegBerechne $\mathsf{\operatorname{\textsf{arctan}}(-\sqrt3)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\operatorname{\textsf{tan}}(-\pi/3)=-\sqrt3}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-\pi/3}$ liegt im Hauptbereich.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{-\pi/3}$ , also −60°.
03
Aufgabe 3Arcustangens · StandardLöse $\mathsf{\operatorname{\textsf{tan}}x=0}$ für alle reellen x, für die der Tangens definiert ist.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\operatorname{\textsf{arctan}}0=0}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Alle Lösungen entstehen durch Addition ganzer Vielfacher von π.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{x=k\pi}$ , $\mathsf{k\in\mathbb Z}$ .
04
Aufgabe 4Arcustangens · StandardLöse $\mathsf{\operatorname{\textsf{tan}}x=-1}$ auf $\mathsf{[0,2\pi)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=-\pi/4+k\pi}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  k = 1 liefert $\mathsf{3\pi/4}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  k = 2 liefert $\mathsf{7\pi/4}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{3\pi/4}$ und $\mathsf{7\pi/4}$ .
05
Aufgabe 5Arcustangens · StandardBerechne $\mathsf{\operatorname{\textsf{arctan}}(\operatorname{\textsf{tan}}(3\pi/4))}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\operatorname{\textsf{tan}}(3\pi/4)=-1}$
  $\mathsf{\operatorname{\textsf{arctan}}(-1)=-\pi/4}$
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{-\pi/4}$ , nicht $\mathsf{3\pi/4}$ .
06
Aufgabe 6Arcustangens · StandardBerechne $\mathsf{\operatorname{\textsf{tan}}(\operatorname{\textsf{arctan}}5)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Arcustangens liefert den Hauptwinkel mit Tangenswert 5.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Der äußere Tangens macht diese Umkehrung rückgängig.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis5.
07
Aufgabe 7Arcustangens · StandardEin rechtwinkliges Dreieck hat Gegenkathete 5 cm und Ankathete 12 cm zu einem spitzen Winkel α. Bestimme α näherungsweise.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\operatorname{\textsf{tan}}\alpha=5/12}$
  $\mathsf{\alpha=\operatorname{\textsf{arctan}}(5/12)}$
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{\alpha\approx22{,}62^\circ}$ beziehungsweise etwa 0,3948 rad.
08
Aufgabe 8Arcustangens · VertiefungBestimme die Steigung von $\mathsf{f(x)=\operatorname{\textsf{arctan}}x}$ bei x = 1.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=1/(1+x^2)}$
  $\mathsf{f^{\prime}(1)=1/2}$
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisDie Steigung ist 1/2 im Bogenmaßmodell.
09
Aufgabe 9Arcustangens · VertiefungKann der Arcustangens für eine endliche reelle Eingabe den Wert π/2 haben?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der Wertebereich besitzt die offene Grenze π/2.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Der Graph nähert sich diesem Wert nur an.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisNein.
10
Aufgabe 10Arcustangens · VertiefungWarum ist $\mathsf{\operatorname{\textsf{arctan}}x}$ nicht dasselbe wie $\mathsf{1/\operatorname{\textsf{tan}}x}$ ? Nutze x = 0 als Beispiel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\operatorname{\textsf{arctan}}0=0}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\operatorname{\textsf{tan}}0=0}$ , daher ist der Kehrwert dort nicht definiert.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisArcustangens ist eine Umkehrfunktion, kein Kehrwert.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich unterscheide Arcustangens als Umkehrfunktion und Cotangens als Quotient.
Ich beachte Winkelmaß, Hauptbereich und Definitionslücken.
Ich ergänze bei Gleichungen alle zulässigen periodischen Lösungen.

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